Tekst źródłowy strony Rozdzielność

{{Inne znaczenia|pojęcia matematycznego|[[Umowa majątkowa małżeńska]] dla pojęcia rozdzielności majątkowej}}

[[Plik:Illustration of distributive property with rectangles.svg|mały|Ilustracja rozdzielności [[Mnożenie|mnożenia]] liczb dodatnich względem [[Dodawanie|dodawania]] liczb dodatnich.]]

'''Rozdzielność''', '''dystrybutywność'''{{fakt|data=2023-07}} – własność pewnych pojęć [[Matematyka|matematycznych]] występujących w [[Arytmetyka|arytmetyce]], [[Algebra|algebrze]] i [[Podstawy matematyki|podstawach matematyki]] – [[Logika matematyczna|logice matematycznej]] i [[Teoria mnogości|teorii mnogości]]. Wyróżnia się rozdzielność:
* [[Działanie dwuargumentowe|działania dwuargumentowego]] względem innego działania dwuargumentowego; taka rozdzielność to [[relacja dwuargumentowa]] między działaniami dwuargumentowymi, zdefiniowana równaniem podanym niżej;
* [[kwantyfikator]]a względem [[Funktor zdaniotwórczy|spójnika logicznego]]; jest to [[równoważność]] pewnych zdań opisana niżej.

Pojęcie rozdzielności działania pojawiło się najpóźniej w XIX wieku; w 1814 roku użył go [[François Joseph Servois]]<ref>{{otwarty dostęp}} Jeff Miller, ''Commutative and distributive'', [w:] ''[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/c/ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C)]'' {{lang|en}}, [[MacTutor History of Mathematics archive]], [[University of St Andrews]], mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-07-07].</ref>. Rozdzielność mnożenia względem dodawania i odejmowania znalazła się w [[Podstawa programowa|podstawie programowej]] matematyki w polskich [[Szkoła podstawowa|szkołach podstawowych]]<ref>{{otwarty dostęp}} ''[https://podstawaprogramowa.pl/Szkola-podstawowa-IV-VIII/Matematyka Podstawa programowa. Matematyka, szkoła podstawowa IV-VIII]'', podstawaprogramowa.pl [dostęp 2024-08-13].</ref>.

== Definicje rozdzielności działań dwuargumentowych ==
{{zobacz też|dodawanie|odejmowanie|mnożenie|dzielenie}}

Zależność między mnożeniem a dodawaniem liczb postaci
: <math>7 \cdot (5 + 4) = 7 \cdot 5 + 7 \cdot 4,</math>

i podobnie z przestawioną kolejnością czynników,
: <math>(8 + 4) \cdot 5 = 8 \cdot 5 + 4 \cdot 5,</math>

wykorzystuje się, niekiedy nieświadomie, podczas prowadzenia obliczeń w pamięci:
: <math>13 \cdot 6 = (10 + 3) \cdot 6 = 10 \cdot 6 + 3 \cdot 6 = 60 + 18 = 78,</math>

czyli (w tym przypadku) [[Mnożenie|mnożenia]] przez ustaloną liczbę osobno dziesiątek i jedności danej liczby.

Można też uzupełnić jeden z czynników do „okrągłej” liczby, której iloczyn łatwo obliczyć, a następnie zrównoważyć obliczenia osobno odliczając dodaną nadwyżkę:
: <math>4 \cdot 19 = 4 \cdot (20 - 1) = 4 \cdot 20 - 4 \cdot 1 = 80 - 4 = 76.</math>

Role mnożenia i dodawania/odejmowania w powyższych przykładach są dokładnie określone i nie można ich zamienić bez szkody dla poprawności obliczeń:
: <math>7 + (2 \cdot 3) \ne (7 + 2) \cdot (7 + 3).</math>

W przypadku dzielenia regułę zaobserwowaną dla mnożenia można stosować tylko częściowo: choć
: <math>(16 + 4) : 4 = (16 : 4) + (4 : 4),</math>

to jednak
: <math>30 : (5 - 2) \ne (30 : 5) - (30 : 2).</math>

Zapisując dzielenie w postaci [[ułamek|ułamka]], obliczenia można przeprowadzić zgodnie z następującym przykładem:
: <math>\frac{8 + 6}{2} = \frac{8}{2} + \frac{6}{2},</math>

ale mimo wszystko, podobnie jak wyżej:
: <math>\frac{4}{2 + 4} \ne \frac{4}{2} + \frac{4}{4}.</math>

Niech <math>\circ</math> oraz <math>\heartsuit</math> oznaczają działania dwuargumentowe określone na ustalonym zbiorze <math>X</math><ref group="uwaga">Innymi słowy: niech dane będą funkcje <math>\circ \colon X \times X \to X</math> oraz <math>\heartsuit \colon X \times X \to X.</math></ref>. Działanie <math>\circ</math> jest względem <math>\heartsuit</math><ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN |id = 3969230 |tytuł = rozdzielność |data dostępu = 2021-10-15}}</ref>:
* ''rozdzielne lewostronnie'', gdy dla dowolnych <math>a, b, c \in X</math>
*: <math>a \circ (b \;\heartsuit\; c) = (a \circ b) \;\heartsuit\; (a \circ c);</math>
* ''rozdzielne prawostronnie'', gdy dla dowolnych <math>a, b, c \in X</math>
*: <math>(a \;\heartsuit\; b) \circ c = (a \circ c) \;\heartsuit\; (b \circ c);</math>
* ''rozdzielne obustronnie'' lub krótko ''rozdzielne'', gdy zachodzą oba powyższe warunki.

Jeśli działanie <math>\circ</math> jest [[przemienność|przemienne]], to powyższe warunki są równoważne logicznie i wynikają one wszystkie z jednego z nich.

== Przykłady [[Arytmetyka|arytmetyczne]] ==
=== [[Arytmetyka elementarna]] ===
Dla dowolnych liczb [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] <math>a, b, c{:}</math>
* mnożenie jest rozdzielne względem dodawania<ref name="epwn-mn">{{Encyklopedia PWN |id = 3969231 |tytuł = rozdzielność mnożenia względem dodawania |data dostępu = 2021-10-15}}</ref> i [[Odejmowanie|odejmowania]]:
*: <math>a(b \pm c) = ab \pm ac,</math>
*: <math>(a \pm b)c = ac \pm bc;</math>
* [[dzielenie]] jest prawostronnie rozdzielne względem dodawania i odejmowania:
*: <math>(a\pm b):c = a:c \pm b:c;</math>
* [[funkcje minimum i maksimum|minimum i maksimum]] są rozdzielne względem siebie nawzajem{{fakt|data=2023-07}}:
*: <math>\min(a, \max(b, c)) = \max(\min(a, b), \min(a, c));</math>
*: <math>\max(a, \min(b, c)) = \min(\max(a, b), \max(a, c));</math>
* dodawanie jest rozdzielne względem [[funkcje minimum i maksimum|maksimum i minimum]]{{fakt|data=2023-07}}:
*: <math>a + \max(b, c) = \max(a + b, a + c);</math>
*: <math>a + \min(b, c) = \min(a + b, a + c).</math>

Podane własności mnożenia i dzielenia uogólnia się na [[liczby zespolone]], [[Liczby hiperzespolone|hiperzespolone]] oraz inne [[Algebra nad ciałem|algebry]] jak [[liczby podwójne]] czy [[Liczby dualne|dualne]]. Na tych strukturach nie rozważa się funkcji minimum i maksimum, ponieważ nie da się na nich określić [[Porządek liniowy|porządku]] o pożądanych własnościach.

W dodatku dla [[Znak liczby|liczb dodatnich]] [[potęgowanie]] jest prawostronnie rozdzielne względem mnożenia i dzielenia<ref>{{otwarty dostęp}} ''[http://www.matematyka.wroc.pl/book/w%C5%82asno%C5%9Bci-dzia%C5%82a%C5%84 Własności działań]'', Wrocławski Portal Matematyczny, matematyka.wroc.pl, 14 września 2018 [dostęp 2024-06-21].</ref>:
: <math>(ab)^c = a^c b^c;</math>
: <math>(a:b)^c = a^c : b^c.</math>

Te własności trudno uogólnić na inne liczby; zero do potęgi zerowej <math>(0^0)</math> bywa uznawane za nieokreślone, za to przy dopuszczeniu ujemnych argumentów potęgowanie przestaje być ściśle rozumianym [[Działanie algebraiczne|działaniem]] – wynikiem potęgowania liczb ujemnych może być liczba zespolona. Na zbiorze niezerowych liczb zespolonych można określić potęgowanie, jednak ono również nie jest ściśle określonym działaniem, ponieważ jego wyniki nie są pojedynczymi liczbami – jest to [[multifunkcja]].

=== [[Teoria liczb]] ===
* [[największy wspólny dzielnik]] i [[najmniejsza wspólna wielokrotność]] są wzajemnie rozdzielne{{fakt|data=2023-07}}:
*: <math>\operatorname{nwd}(a, \operatorname{nww}(b, c)) = \operatorname{nww}(\operatorname{nwd}(a, b), \operatorname{nwd}(a, c)),</math>
*: <math>\operatorname{nww}(a, \operatorname{nwd}(b, c)) = \operatorname{nwd}(\operatorname{nww}(a, b), \operatorname{nww}(a, c));</math>

== Przykłady z [[Podstawy matematyki|podstaw matematyki]] ==
=== [[Rachunek zdań]] ===
Definicję rozdzielności można poszerzyć; dla działań na [[zdanie logiczne|zdaniach logicznych]] oznacza ona [[równoważność]] odpowiednich wyrażeń. Dla dowolnych zdań <math>p, q, r</math> [[koniunkcja (logika)|koniunkcja]] i [[alternatywa]] są wzajemnie rozdzielne{{fakt|data=2023-07}}:
: <math>p \land (q \lor r) \Leftrightarrow (p \land q) \lor (p \land r),</math>
: <math>p \lor (q \land r) \Leftrightarrow (p \lor q) \land (p \lor r).</math>

=== [[Teoria mnogości]] ===
Dla dowolnie wybranych zbiorów <math>A, B, C{:}</math>
* [[część wspólna]] i [[suma zbiorów]] są rozdzielne względem siebie nawzajem<ref>{{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Distributivity Distributivity]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-07-07].</ref>:
*: <math>A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C),</math>
*: <math>A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C),</math>

* przekrój zbiorów jest też rozdzielny względem [[Różnica symetryczna zbiorów|różnicy symetrycznej]]<ref>{{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Symmetric_difference_of_sets Symmetric difference of sets]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-07-07].</ref>:
*: <math>A\cap (B\Delta C) = (A\cap B)\Delta (A\cap C),</math>

* [[iloczyn kartezjański]] jest rozdzielny względem sumy, [[Różnica zbiorów|różnicy]] i przekroju zbiorów<ref>{{otwarty dostęp}} [https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogo%C5%9Bci/Wyk%C5%82ad_5:_Para_uporz%C4%85dkowana,_iloczyn_kartezja%C5%84ski,_relacje,_domykanie_relacji,_relacja_r%C3%B3wnowa%C5%BCno%C5%9Bci,_rozk%C5%82ady_zbior%C3%B3w#Iloczyn_kartezja.C5.84ski Logika i teoria mnogości, Wykład 5: Para uporządkowana, iloczyn kartezjański, relacje, domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów], wazniak.mimuw.edu.pl, 28 września 2020 [dostęp 2023-07-06].</ref>:
*: <math>A\times (B\cup C) = (A\times B)\cup (A\times C),</math>
*: <math>A\times (B\backslash C) = (A\times B)\backslash (A\times C),</math>
*: <math>A\times (B\cap C) = (A\times B)\cap (A\times C).</math>

== Przykłady [[algebra]]iczne ==
=== [[Algebra liniowa]] ===
* [[iloczyn wektorowy]] jest rozdzielny względem dodawania i odejmowania [[wektor]]ów<ref>{{Encyklopedia PWN |tytuł = Iloczyn wektorowy |id = 3914173 |data dostępu = 2023-07-06}}</ref>:
*: <math>\vec{a}\times (\vec{b}\pm\vec{c}) = \vec{a}\times\vec{b} \pm \vec{a}\times\vec{c};</math>
* [[Mnożenie macierzy|iloczyn Cauchy’ego]] macierzy – odpowiadający [[Złożenie funkcji|składaniu]] [[Przekształcenie liniowe|przekształceń liniowych]] – jest rozdzielny względem dodawania i odejmowania tych macierzy oraz przekształceń:
*: <math>A(B\pm C) = AB\pm AC,</math>
*: <math>(A\pm B)C = AC\pm BC.</math>

=== [[Teoria kategorii]] ===
Dla dowolnie wybranych [[obiekt (teoria kategorii)|obiektów]] <math>a, b, c</math> kategorii dwukartezjańsko domkniętej<ref group="uwaga">''Kategoria dwukartezjańsko domknięta'' to [[kategoria kartezjańsko domknięta]] (tj. mająca [[Obiekty początkowy i końcowy|obiekt końcowy]] oraz [[Produkt (teoria kategorii)|produkty]] i [[Eksponent (teoria kategorii)|eksponenty]] dowolnych dwóch obiektów) wyposażona dodatkowo w [[Obiekty początkowy i końcowy|obiekt początkowy]] i [[koprodukt]] wraz z podanym tu warunkiem rozdzielności produktu względem koproduktu.</ref><ref group="uwaga">Kanonicznym przykładem takiej kategorii jest kategoria <math>\mathbf{Set}</math> zbiorów z [[iloczyn kartezjański|iloczynem kartezjańskim]] i [[suma rozłączna|sumą rozłączną]] pełniących role produktu i koproduktu.</ref>
* [[produkt (teoria kategorii)|produkt]] jest rozdzielny względem [[koprodukt]]u{{fakt|data=2023-07}}:
*: <math>a \times (b + c) \simeq a \times b + a \times c.</math>

== Własności ==
Rozdzielność działań jako [[relacja dwuargumentowa]] w ogólności:
* nie jest [[Relacja zwrotna|zwrotna]] – są działania nierozdzielne względem siebie samego, np. [[dodawanie]]: a+(b+c) ≠ (a+b)+(a+c);
* nie jest przeciwzwrotna – są działania rozdzielne względem siebie samego, np. [[suma zbiorów]]: <math>A\cup (B\cup C) = (A\cup B)\cup (A\cup C);</math>
* nie jest [[Relacja symetryczna|symetryczna]] – [[mnożenie]] jest rozdzielne względem dodawania, ale dodawanie względem mnożenia już nie: a+bc ≠ (a+b)(a+c);
* nie jest [[Relacja przeciwsymetryczna|asymetryczna]] – są działania rozdzielne wzajemnie, np. suma i przekrój zbiorów.

== Uogólnienia ==
Rozdzielność działań, przynajmniej jednostronną, zakłada się w [[aksjomat]]ycznych definicjach [[Algebra ogólna|struktur algebraicznych]] takich jak:
* [[półpierścień]], w tym [[pierścień (matematyka)|pierścienie]], a więc i [[ciało (matematyka)|ciała]];
* [[krata (matematyka)#Rozdzielność|kraty rozdzielne]] (dystrybutywne), w tym [[Algebra Heytinga|algebry pseudoboolowskie]] (Heytinga) i [[Algebra Boole’a|algebry boolowskie]] (Boole’a).

Mnożenie przez ustalony element – z lewej lub prawej strony – można traktować jako operator. Jest to w istocie [[funkcja addytywna (algebra)|funkcja addytywna]] w danym pierścieniu<ref group="uwaga">Obserwację tę można przyjąć jako aksjomat w definicji pierścieni, z którego wynikać będzie rozdzielność mnożenia względem dodawania.</ref>. Takie spojrzenie na mnożenie umożliwiło rozpatrywanie działań zewnętrznych względem ustalonej [[grupa addytywna|grupy addytywnej]], co doprowadziło do rozwinięcia teorii m.in. [[działanie grupy na zbiorze|działań grup na zbiorach]], [[moduł (matematyka)|modułów]] nad pierścieniami ([[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowych]] nad ciałami; w tym [[moduł dualny|modułów/przestrzeni sprzężonych]]), czy [[grupa z operatorami|grup z operatorami]]{{fakt|data=2023-07}}.

== [[Rachunek predykatów pierwszego rzędu|Rachunek kwantyfikatorów]] ==
=== Ścisłe rozdzielności ===
Pewne własności [[kwantyfikator]]ów nazywa się rozdzielnością, np.:
* [[Kwantyfikator ogólny|kwantyfikatora dużego]] względem [[Koniunkcja (logika)|koniunkcji]]{{odn|Rasiowa|2004|s=229}}{{odn|Marek|Onyszkiewicz|2012|s=33}}:
: <math>\mathop\forall\limits_x \big(p(x)\and q(x)\big) \Leftrightarrow \big(\mathop\forall\limits_x p(x)\and \mathop\forall\limits_x q(x)\big);</math>
* [[Kwantyfikator egzystencjalny|kwantyfikatora małego]] względem [[Alternatywa|alternatywy]]{{odn|Rasiowa|2004|s=230}}{{odn|Marek|Onyszkiewicz|2012|s=33}}:
: <math>\mathop\exists\limits_x \big(p(x)\or q(x)\big) \Leftrightarrow \big(\mathop\exists\limits_x p(x)\or \mathop\exists\limits_x q(x)\big).</math>

=== Słabsze wynikania ===
Kwantyfikator duży nie jest rozdzielny względem alternatywy{{odn|Rasiowa|2004|s=229}}, jednak zachodzi słabsza [[Implikacja materialna|implikacja]], w jedną stronę{{odn|Rasiowa|2004|s=230}}{{odn|Marek|Onyszkiewicz|2012|s=33}}:
: <math>\mathop\forall\limits_x \big(p(x)\or q(x)\big) \Leftarrow \big(\mathop\forall\limits_x p(x)\or \mathop\forall\limits_x q(x)\big).</math>

Kwantyfikator mały nie jest rozdzielny względem koniunkcji{{odn|Rasiowa|2004|s=231}}, jednak zachodzi słabsza [[Implikacja materialna|implikacja]], w jedną stronę{{odn|Rasiowa|2004|s=231}}{{odn|Marek|Onyszkiewicz|2012|s=33}}:
: <math>\mathop\exists\limits_x \big(p(x)\and q(x)\big) \Rightarrow \big(\mathop\exists\limits_x p(x)\and \mathop\exists\limits_x q(x)\big).</math>

Kwantyfikator duży nie jest rozdzielny względem implikacji, jednak zachodzi słabsze wynikanie, w jedną stronę{{odn|Marek|Onyszkiewicz|2012|s=33}}, nazywane '''prawem rozkładania'''{{odn|Rasiowa|2004|s=232}}{{odn|Stanosz|2012|s=53}}:
: <math>\mathop\forall\limits_x \big(p(x)\Rightarrow q(x)\big) \Rightarrow \big(\mathop\forall\limits_x p(x)\Rightarrow \mathop\forall\limits_x q(x)\big).</math>

Kwantyfikator mały nie jest rozdzielny względem implikacji i nie zachodzą analogiczne reguły z implikacją w jedną stronę. Jest jednak podobne  prawo, również nazywane prawem rozkładania{{odn|Rasiowa|2004|s=232}}{{odn|Stanosz|2012|s=54}}:
: <math>\mathop\forall\limits_x \big(p(x)\Rightarrow q(x)\big) \Rightarrow \big(\mathop\exists\limits_x p(x)\Rightarrow \mathop\exists\limits_x q(x)\big).</math>

=== Tabela ===
Powyższe informacje można podsumować [[Tabela|tabelą]]:
{| class="wikitable"
|+
! rowspan="2" |[[kwantyfikator]]
! colspan="3" |[[Funktor zdaniotwórczy|spójnik logiczny]]
|-
![[Koniunkcja (logika)|koniunkcja]] <math>\and</math>
![[alternatywa]] <math>\or</math>
![[Implikacja materialna|implikacja]] <math>\Rightarrow</math>
|-
|[[Kwantyfikator ogólny|duży]] <math>\forall</math>
|tak
|nie
|nie
|-
|[[Kwantyfikator egzystencjalny|mały]] <math>\exists</math>
|nie
|tak
|nie
|}

== Zobacz też ==
* [[modularność]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę | imię = Wiktor | nazwisko = Marek | imię2 = Janusz | nazwisko2 = Onyszkiewicz | autor link2 = Janusz Onyszkiewicz | tytuł = Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach | wydawca =  [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] | miejsce = Warszawa | rok = 2012 | isbn = 978-83-01-14547-7 | odn = tak }}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Rasiowa |imię = Helena |autor link = Helena Rasiowa |tytuł = Wstęp do matematyki współczesnej |seria = [[Biblioteka Matematyczna]]. Tom 30 |wydawca = WN PWN |miejsce = Warszawa |rok = 2004 | isbn = 83-01-14294-4 | odn = tak }}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Stanosz |imię = Barbara |autor link = Barbara Stanosz |tytuł = Ćwiczenia z logiki |wydawca = WN PWN |miejsce = Warszawa |rok = 2012 |isbn = 978-83-01-14428-9 |odn = tak}}

== Literatura dodatkowa ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Białynicki-Birula |imię = Andrzej |autor link = Andrzej Białynicki-Birula |tytuł = Zarys algebry |seria = [[Biblioteka Matematyczna]]. Tom 63 |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1987 |isbn = 83-01-06260-6}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Birkhoff |imię = Garret |autor link = Garret Birkhoff |nazwisko2 = Mac Lane |imię2 = Saunders |autor link2 = Saunders Mac Lane |tytuł = Przegląd algebry współczesnej |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |miejsce = Warszawa |rok = 1963 |wydanie = 2}}

{{Arytmetyka elementarna}}
{{Algebra zbiorów}}
{{Działania dwuargumentowe}}

[[Kategoria:Własności działań]]
[[Kategoria:Dwuczłonowe relacje matematyczne]]
[[Kategoria:Logika matematyczna]]