Tekst źródłowy strony Rachunek zdań

'''Rachunek zdań''' – dział [[logika matematyczna|logiki matematycznej]] badający związki między [[zmienna zdaniowa|zmiennymi zdaniowymi]] (zdaniami) lub [[funkcja zdaniowa|funkcjami zdaniowymi]], utworzonymi za pomocą [[Funktor zdaniotwórczy|funktorów zdaniotwórczych]] (spójników zdaniowych) ze zdań lub prostszych funkcji zdaniowych. Rachunek zdań określa sposoby stosowania funktorów zdaniotwórczych w poprawnym wnioskowaniu<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 4000878 | tytuł = zdań rachunek | data dostępu = 2022-03-14}}</ref>.

== Wstęp ==
Rachunek zdań jest sztucznym, bardzo uproszczonym, językiem, który umożliwia obejście wielu problemów związanych z potocznym językiem np. dwuznaczność słów. W rachunku zdań istotnymi pojęciami są pojęcia składni i semantyki. Składnia odpowiada na pytania z jakich podstawowych znaków składa się język oraz jak stworzyć bardziej skomplikowane wyrażenia, a w szczególności zdania, za pomocą podstawowych znaków. Z kolei pojęcie semantyki zajmuje się kwestią znaczenia podstawowych znaków języka. Semantyka odpowiada również na pytanie odnośnie do znaczenia wyrażeń złożonych z podstawowych znaków, w szczególności spełnienia warunków, aby zdanie mogło być prawdziwe{{odn|Beckermann}}.

W klasycznym rachunku zdań przyjmuje się założenie, że każdemu zdaniu można przypisać jedną z dwu [[wartość logiczna|wartości logicznych]] – [[prawda (logika)|prawdę]] lub [[fałsz]], które umownie przyjęto oznaczać odpowiednio 1 lub 0. ''Klasyczny rachunek zdań'' jest więc ''dwuwartościowym rachunkiem zdań''.

W rachunku zdań treść rozpatrywanych zdań nie ma znaczenia, istotna jest jedynie ich wartość logiczna. Wartość logiczną zdań złożonych powstałych przez zastosowanie funktorów zdaniotwórczych określa funkcja prawdy, związana z każdym funktorem zdaniotwórczym. Wartość ta zależy wyłącznie od wartości logicznej zdań składowych, a nie zależy od ich treści. Szczególną rolę w rachunku zdań odgrywają takie zdania złożone, dla których wartość logiczna jest równa 1, niezależnie od tego, jakie wartości logiczne mają zdania proste, z których się składają. Takie zdania nazywa się ''prawami rachunku zdań'' lub [[Tautologia (logika)|tautologiami]].

== Początki ==
Zalążki klasycznego rachunku zdań odnaleźć można już w [[Filozofia starożytna|filozofii starożytnej]]. Rachunkiem zdań zajmowano się również w [[średniowiecze|średniowieczu]]. Współczesne, sformalizowane oraz pełne ujęcie rachunku zdań po raz pierwszy podał w [[1879]] roku logik niemiecki [[Gottlob Frege]]. Niemałą rolę w dalszym rozwoju rachunku zdań odegrali matematycy polscy, a wśród nich głównie [[Jan Łukasiewicz]] i [[Alfred Tarski]].

== Metajęzyk i język obiektowy ==
Należy rozróżniać stosowanie wyrażenia od mówienia o nim{{odn|Beckermann}}. Język staje się językiem obiektowym, gdy o nim mówimy. Aby mówić o języku potrzebujemy również języka, w którym to robimy. Ów język nazywamy metajęzykiem. W tym wypadku metajęzykiem jest język polski.

Przykład:

[[Londyn]] jest dużym miastem.

Londyn jest największym miastem [[Anglia|Anglii]].

Zatem: Największe miasto Anglii jest dużym miastem.

Londyn ma sześć liter.

Największe miasto Anglii ma więcej niż sześć liter.

Zatem: Londyn nie jest największym miastem Anglii.

Obydwa przykłady na pierwszy rzut oka wydają się być poprawne. Z drugiej strony wydają się brzmieć dziwnie. Należy zatem rozróżnić między miastem Londyn i wyrażeniem ‘Londyn’. Aby mówić o wyrażeniu należy to zaznaczyć np. poprzez skorzystanie z apostrofów. Drugi przykład powinien wyglądać zatem następująco.

‘Londyn’ ma sześć liter.

‘Największe miasto Anglii’ ma więcej niż sześć liter.

Zatem: ‘Londyn’ nie jest ‘największym miastem Anglii’.

Gdy mówimy „Londyn jest dużym miastem”, stosujemy zwrot ‘Londyn’, aby powiedzieć coś o mieście. Z kolei gdy używamy zwrotu „‘Londyn’ ma sześć liter”, to mówimy o wyrażeniu ‘Londyn’.

== Składnia rachunku zdań ==
Alfabet rachunku zdań składa się z trzech rodzajów znaków{{odn|Beckermann}}: [[zmienna zdaniowa|zmiennych zdaniowych]], [[Funktor zdaniotwórczy|funktorów zdaniotwórczych]] i znaków pomocniczych:

; Zmienne zdaniowe (zdania)
: '<math>p</math>', '<math>q</math>', '<math>r</math>', '<math>s</math>' itd. lub gdy potrzebne: '<math>p_1</math>', '<math>p_2</math>', '<math>p_3</math>', ..., '<math>q_1</math>', '<math>q_2</math>',...

; Funktory zdaniotwórcze (spójniki zdaniowe)
: [[Koniunkcja (logika)|koniunkcja]], [[alternatywa]], [[równoważność]], [[implikacja logiczna]] itd.

; Znaki pomocnicze
: [[nawias]]y: '(', ')', '[', ']', '{', '}'.

'''Definicja:''' <math>A</math> jest wtedy i tylko wtedy zdaniem rachunku zdań, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków

1) <math>A</math> jest zmienną zdaniową

2) <math>B</math> i <math>C</math> są zdaniami rachunku zdań i <math>A</math> jest równe <math>\neg B,</math> <math>(B \wedge C),</math> <math>(B \vee C),</math> <math>(B \rightarrow C)</math> lub <math>(B \leftrightarrow C).</math>

; Zasada opuszczania nawiasów
* Zewnętrzne nawiasy mogą zostać opuszczone.
* '<math>\wedge</math> i '<math>\vee</math>' wiążą mocniej niż '<math>\rightarrow</math>' i '<math>\leftrightarrow</math>'.

== Definicja wyrażenia sensownego KRZ ==
Wyrażeniem sensownym KRZ lub formułą KRZ, nazywamy taki i tylko taki skończony ciąg symboli alfabetu KRZ, który jest zbudowany zgodnie z następującymi regułami:
* Każda [[zmienna zdaniowa]] jest formułą.
* Jeżeli α i β są formułami, to ich połączenie [[funktor]]em też jest formułą.

== Zobacz też ==
{{wikibooks2|książka=Matematyka dla liceum|rozdział=Logika|link=Matematyka dla liceum/Logika}}
* [[algebra Boole’a]]
* [[binegacja]] (NOR)
* [[Dysjunkcja (Sheffera)|dysjunkcja]] (NAND)
* [[negacja]]
* [[prawa rachunku zdań]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Beckermann |imię = Ansgar |tytuł = Wprowadzenie do logiki |wydanie = 4 |odn = {{odn/id|Beckermann}}}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{SEP | url = logic-algebraic-propositional/ | tytuł = Algebraic Propositional Logic | autor = Ramon Jansana | data = 2016-12-12 | data dostępu = 2018-08-07 | tytuł polski = (Algebraiczna logika zdań)}}

{{Podstawy matematyki}}
{{Działy matematyki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Rachunek zdań| ]]