Tekst źródłowy strony Rachunek umbralny

Termin '''rachunek umbralny''' był pierwotnie związany z zaskakującymi podobieństwami pomiędzy pozornie niepowiązanymi [[Równanie algebraiczne|równaniami algebraicznymi]] i pewnymi niejasnymi technikami użytymi w celu ich uzyskania (ale nie udowodnienia). Te techniki zostały wprowadzone przez [[John Blissard|Johna Blissarda]] i są czasami nazywane '''metodą symboliczną Blissarda'''<ref>{{Cytuj |autor = John Blissard |tytuł = Theory of generic equations |czasopismo = The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics |wolumin = 4 |s = 279–305 |url = https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN600494829_0004 |język = en de}}</ref>. Często są one przypisywane innym matematykom ([[Édouard Lucas]], [[James Joseph Sylvester]]), którzy wykorzystywali te techniki ekstensywnie<ref>{{Cytuj |autor = Eric Temple Bell |tytuł = The History of Blissard’s Symbolic Method, with a Sketch of its Inventor’s Life |czasopismo = The American Mathematical Monthly |data = 1938 |wolumin = 45 |s = 414–421 |język = en}}</ref>.

W latach 30. i 40. XX wieku [[Eric Temple Bell]] spróbował stworzyć rygorystyczne podstawy rachunku umbralnego.

W latach 70. XX wieku [[Steven Roman]], [[Gian-Carlo Rota]] oraz inni rozwinęli rachunek różniczkowy za pomocą [[Forma liniowa|funkcjałów liniowych]] na przestrzeniach wielomianów. Obecnie termin rachunek umbralny odnosi się do badań [[Ciągi Sheffera|ciągów Sheffera]] (w tym ciągi wielomianowe [[Typ dwumianowy|typu dwumianowego]] i [[ciągi Appella]]), ale może obejmować również techniki systematycznej korespondencji skończonego [[Rachunek różnicowy|rachunku różnicowego]].

== Rachunek umbralny w XIX wieku ==
Ta metoda jest proceduralną notacją używaną do wyprowadzania tożsamości obejmujących indeksowane sekwencje liczb poprzez ''udawanie, że indeksy są wykładnikami potęg''. Rozumiejąc to dosłownie, jest to absurdalne, lecz skuteczne. Tożsamości wyprowadzone metodą symboliczną Blissarda mogą być odpowiednio wyprowadzone za pomocą bardziej skomplikowanych metod, które mogą być zrozumiane bez żadnych logicznych trudności.

Przykładem są [[wielomiany Bernoulliego]]. Ilustrując, rozważając zwykły [[dwumian Newtona]] (który zawiera w sobie [[Symbol Newtona|współczynnik dwumianowy]])
: <math>(y + x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} y^{n-k}x^k</math>

oraz podobnie wyglądającą relację na wielomianach Bernoulliego
: <math>B_n(y + x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}B_{n-k}(y)x^k,</math>

a także porównanie [[Pochodna funkcji|pochodnej funkcji]]
: <math>\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}</math>

do podobnie wyglądającej relacji na wielomianach Bernoulliego
: <math>\frac{d}{dx} B_n(x) = nB_{n-1}(x),</math>

można zauważyć, że te podobieństwa pozwalają na skonstruowanie tzw. ''dowodu umbralnego'', który pozornie nie może być poprawny, ale zdaje się działać mimo wszystko. Zatem przykładowo, poprzez udawanie, że indeks <math>n - k</math> jest wykładnikiem potęgi wiadomym jest, że
: <math>B_n(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} b^{n-k}x^k = (b+x)^n.</math>

Poprzez późniejsze zróżniczkowanie, otrzymany jest oczekiwany wynik:
: <math>B'_n(x) = n(b+x)^{n-1} = nB_{n-1}(x).</math>

W powyższym przykładzie, zmienna <math>b</math> jest tzw. ''umbrą'' ([[Łacina|łac.]] cień).

== Umbralny szereg Taylora ==
W [[Rachunek różniczkowy i całkowy|rachunku różniczkowym]] [[Wzór Taylora|szereg Taylora]] jest nieskończoną sumą wyrażeń zbudowanych na podstawie [[Pochodna funkcji|pochodnej]] funkcji w jednym punkcie. To znaczy, że oparta na [[Liczby rzeczywiste|liczbach rzeczywistych]] bądź [[Liczby zespolone|zespolonych]] funkcja <math>f(x)</math> odznaczająca się [[Funkcja regularna|regularnością]] w <math>a,</math> może zostać zapisana w sposób następujący:
: <math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n.</math>

Podobne relacje zostały zaobserwowane w [[Rachunek różnicowy|rachunku różnicowym]]. Wersja umbralna szeregu Taylora jest dana za pomocą podobnego wyrażenia, zawierającego w sobie <math>k</math>-tą różnicę <math>\Delta^k [f]</math> [[Wielomian|funkcji wielomianowej]] <math>f.</math>
: <math>f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{\Delta^k[k](a)}{k!} (x - a)_k,</math>

gdzie:
: <math>(x - a)_k = \prod_{k=0}^{k+1} (x - a - k)</math>

jest [[Potęgi kroczące|potęgą kroczącą]]. Podobna relacja obowiązuje dla różnic wstecznych i silni rosnących.

Ten szereg znany jest również jako szereg Newtona ([[Postać Newtona wielomianu|postać Newtona]]). Podobieństwo do standardowego szeregu Taylora jest utylizowana w rachunku różnicowym.

== Współczesny rachunek umbralny ==
[[Kombinatoryka|Kombinatoryk]] [[Gian-Carlo Rota]] wykazał, że, pomimo historycznej absurdalności, rachunek umbralny ma rzeczywiste podstawy matematyczne. Rozważając funkcjonał liniowy <math>L</math> na <math>z</math> zdefiniowany jako
: <math>L(z^n) = B_n(0) = B_n,</math>

a następnie używając definicji [[Wielomiany Bernoulliego|wielomianów Bernoulliego]] i definicji liniowości <math>L,</math> można zapisać:
: <math>\begin{align}
B_n(x)
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_{n-k} x^k \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} L(z^{n-k}) x^k \\
&= L \left( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} z^{n-k} x^k \right) \\
&= L((z + x)^n)
\end{align}.</math>

Pozwala to na zastąpienie <math>B_n(x)</math> za pomocą <math>L((z + x)^n),</math> co oznacza przeniesienie indeksu do wykładnika, a więc głównej operacji rachunku umbralnego. Przykład takiego podstawienia może wyglądać następująco:
: <math>\begin{align}
\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_{n - k}(y) x^k
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} L((z + y)^{n - k}) x^k \\
&= L \left( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (z + y)^{n-k} x^k \right) \\
&= L((z + x + y)^n) \\
&= B_n(x + y)
\end{align}</math>

Rota stwierdził później, że konfuzja wynikała z nierozróżnienia trzech [[Relacja równoważności|relacji równoważności]], które często występują w rachunku umbralnym. Wszystkie one były notowane za pomocą [[Znak równości|znaku równości]] „<math>=</math>”.

W artykule opublikowanym w 1964 roku Rota użył metod umbralnych w celu wyprowadzenia równania [[Rekurencja|rekurencyjnego]] związanego z [[Liczby Bella|liczbami Bella]].

W artykule Stevena M. Romana i Gian-Carlo Roty rachunek umbralny został scharakteryzowany jako kategoria '''algebry umbralnej''', dziedziny matematyki zdefiniowanej jako algebra [[Forma liniowa|funkcjałów linearnych]] w przestrzeni wektorowej wielomianów ze zmienną <math>x,</math> w której iloczyn <math>L_1L_2</math> funkcjałów liniowych zdefiniowany jest jako:
: <math>\langle L_1L_2 | x^n \rangle = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \langle L_1 | x^k \rangle \langle L_2 | x^{n-k} \rangle.</math>

Gdy ciągi wielomianowe zastępują ciągi liczbowe w taki sposób, że wynikiem jest szereg o elementach w postaci <math>y^n</math> spełniający odwzorowanie liniowe <math>L,</math> wtedy metoda umbralna jest głównym komponentem generalnej teorii specjalnych wielomianów Roty. Ta teoria jest, według pewnych definicji, esencją współczesnego rachunku umbralnego<ref>{{Cytuj |autor = Gian-Carlo Rota; David Kahaner; Andrew Odlyzko |tytuł = On the foundations of combinatorial theory. VIII. Finite operator calculus |czasopismo = Journal of Mathematical Analysis and Applications |data = 1973 |wolumin = 42 |numer = 3 |s = 684 |doi = 10.1016/0022-247X(73)90172-8 |url = https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022247X73901728?via%3Dihub |język = en}}</ref>.

Rota użył również rachunku umbralnego w znacznym stopniu w innym artykule, by przebadać różne własności [[Kumulanta|kumulant]] w kombinatoryce<ref>{{Cytuj |autor = Gian-Carlo Rota, Jianhong Shen |tytuł = On the Combinatorics of Cumulants |czasopismo = Journal of Combinatorial Theory, Series A |data = 2000-07-01 |data dostępu = 2022-08-14 |issn = 0097-3165 |wolumin = 91 |numer = 1 |s = 283–304 |doi = 10.1006/jcta.1999.3017 |url = https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0097316599930170 |język = en}}</ref>.

== Zobacz też ==
* [[kompozycja umbralna ciągów wielomianowych]]
* [[rachunek różnicowy]]
* [[umbra Bernoulliego]]
* [[wielomiany Pidducka]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* Eric Temple Bell, ''The History of Blissard’s Symbolic Method, with a Sketch of its Inventor’s Life'', [[The American Mathematical Monthly]], Mathematical Association of America, 45 (7), 1938, s. 414–421, [[DOI (identyfikator cyfrowy)|DOI]]: [https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00029890.1938.11990829 10.1080/00029890.1938.11990829], [[International Standard Serial Number|ISSN]] [https://www.worldcat.org/title/american-mathematical-monthly/oclc/1013763600 0002-9890], [[JSTOR]] [https://www.jstor.org/stable/2304144 2304144].
* Steven M. Roman, Gian-Carlo Rota, ''The umbral calculus'', Advances in Mathematics, 27 (2), 1978, s. 85–188, [[DOI (identyfikator cyfrowy)|DOI]]: [https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0001870878900877?via%3Dihub 10.1016/0001-8708(78)90087-7], [[International Standard Serial Number|ISSN]] [https://www.worldcat.org/title/advances-in-mathematics/oclc/907908610 0001-8708], [[Mathematical Reviews|MR]] [https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0485417 0485417].
* Gian-Carlo Rota, David Kahaner, Andrew Odlyzko, ''Finite Operator Calculus'', Journal of Mathematical Analysis and its Applications, 42 (3), 1973. Przedruk w książce o tym samym tytule, Academic Press, Nowy Jork, 1975.
* Steven M. Roman, ''The umbral calculus'', Pure and Applied Mathematics, 111, London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], {{ISBN|978-0-12-594380-2}}, [[Mathematical Reviews|MR]] [https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0741185 0741185].
* Steven M. Roman, ''Umbral calculus'', Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001.

== Linki zewnętrzne ==
* Eric Wolfgang Weisstein, [https://mathworld.wolfram.com/UmbralCalculus.html ''Umbral Calculus''], MathWorld;
* A. Di Bucchianico, D. Loeb, ''[https://web.archive.org/web/20120224193628/http://www.combinatorics.org/Surveys/ds3.pdf A Selected Survey of Umbral Calculus]'', Electronic Journal of Combinatorics;
* Steven M. Roman, ''[http://www.romanpress.com/MathArticles/TheoryI.pdf The Theory of the Umbral Calculus. I]'', 1982.

[[Kategoria:Kombinatoryka]]
[[Kategoria:Wielomiany]]
[[Kategoria:Rachunek różnicowy]]