Tekst źródłowy strony Równanie stanu (teoria układów dynamicznych)

'''Równania stanu''' – sposób na reprezentację [[Modelowanie matematyczne|modelu matematycznego]] [[układ dynamiczny|układu dynamicznego]] (zwłaszcza [[Układ regulacji (automatyka)|układu automatycznej regulacji]]). Znajomość [[stan układu|stanu układu]] daje bardzo wiele, ale jeszcze więcej wiemy o układzie, gdy znamy związki [[zmienna (automatyka)|zmiennej stanu]] z innymi ważnymi [[zmienna (automatyka)|zmiennymi]]. Dlatego w opisie układu (w jego modelu matematycznym) kluczową rolę odgrywa związek rządzący zachowaniem się [[zmienna (automatyka)|zmiennej]] [[Wejście-wyjście (automatyka)|stanu]], czyli równania stanu. Opis układu za pomocą równań stanu nazywany jest też czasami '''opisem w [[Stan układu|przestrzeni stanów]]''' lub modelem [[zmienna (automatyka)|zmiennych]] stanu.

== Sformułowanie równań stanu ==
Szeroką klasę układów dynamicznych, których miarą zmiany procesu w czasie jest pochodna [[Stan układu|wektora stanu]], a [[stan układu|stan procesu]] dla <math>t \geqslant t_0</math> zależy tylko od stanu w chwili początkowej <math>t_0</math> oraz od wymuszenia <math>\mathbf{u}(t)</math> dla <math>t\geqslant t_0,</math> można opisać równaniem <math>\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{f}(t, \mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t))</math> z warunkiem początkowym <math>\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0.</math> Jest to tak zwane '''równanie stanu'''.

Zwykle nie wszystkie zmienne stanu są dostępne (bezpośrednio mierzalne), czyli wektor stanu <math>\mathbf{x}(t)</math> nie jest zarazem wektorem odpowiedzi układu. Do pełnego opisu potrzebne jest jeszcze równanie wiążące <math>\mathbf{y}(t)</math> z <math>\mathbf{x}(t)</math> i z wektorem wymuszenia <math>\mathbf{u}(t)</math> o postaci: <math>\mathbf{y}(t) = \mathbf{g}(t, \mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t)).</math> Równanie to nazywamy '''równaniem wyjścia''' układu. Równanie wyjścia jest [[równanie algebraiczne|równaniem algebraicznym]] i dlatego nie zawiera się w nim opis dynamiki układu.

W ten sposób otrzymaliśmy '''równania stanu''', czyli [[Równanie różniczkowe|równania różniczkowe]] pierwszego rzędu, które stanowią matematyczny model układu fizycznego określonego przez powiązane między sobą:
* [[Zmienna (automatyka)|zmienne]]: [[Wejście-wyjście (automatyka)|wejściowe]] <math>\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^m,</math> [[Wejście-wyjście (automatyka)|wyjściowe]] <math>\mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^p</math> i zmienne [[Stan układu|stanu]] <math>\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n</math> oraz
* '''macierz stanu <math>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{qn},</math> macierz wyjść <math>\mathbf{C} \in \mathbb{R}^{pn},</math> macierz wejść''' <math>\mathbf{B} \in \mathbb{R}^{qm}</math> oraz '''macierz przenoszenia''' <math>\mathbf{D} \in \mathbb{R}^{pm}</math> (macierz przenoszenia <math>\mathbf{D}</math> zwana też macierzą sterowania bezpośredniego pojawia się w równaniach stanu tylko dla układów właściwych – to znaczy mających [[transmitancja właściwa|transmitancję właściwą]]; dla układów ściśle właściwych – to znaczy mających [[transmitancja ściśle właściwa|transmitancję ściśle właściwą]] – macierz <math>\mathbf{D}</math> nie występuje w równaniach stanu).
[[Plik:State space model integral.PNG|framed|Schemat blokowy równań stanu dla [[Układ regulacji ciągłej|układu ciągłego]]. [[Człon całkujący]] (integrator) zachowuje się jak element magazynujący (zob. [[stan układu]])]]
Związek ten w przypadku modelu dla układu [[układ liniowy|liniowego]], [[Układ regulacji ciągłej|ciągłego]], stacjonarnego, o wielu wejściach i wielu wyjściach, deterministycznego, o parametrach stałych, można zapisać w postaci:
: <math>\dot\mathbf{x}(t) = \mathbf{Ax}(t) + \mathbf{Bu}(t)</math>
: <math>\mathbf{y}(t) = \mathbf{Cx}(t) + \mathbf{Du}(t)</math>

(jak już wyżej wskazano, drugie z powyższych równań nazywa się równaniem wyjścia), gdzie
: <math>\dim[A] = n \times n</math>
: <math>\dim[B] = n \times m</math>
: <math>\dim[C] = p \times n</math>
: <math>\dim[D] = p \times m</math>
: <math>\dot\mathbf{x}(t) = \frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}.</math>

Dla przypadku braku wymuszeń zewnętrznych <math>\mathbf{u}(t)</math> mamy do czynienia z tak zwanym [[układ swobodny|układem swobodnym]] (opisanym ''jednorodnym równaniem stanu''). W przypadku gdy takie wymuszenia pojawiają się w równaniu stanu, nazywane jest ono też czasami ''niejednorodnym równaniem stanu''.

Dla przypadku układu o jednym [[wejście-wyjście (automatyka)|wejściu]] <math>u(t)</math> i jednym [[wejście-wyjście (automatyka)|wyjściu]] <math>y(t),</math> podane powyżej równania stanu przybierają postać:
: <math>\dot\mathbf{x}(t) = \mathbf{Ax}(t) + \mathbf{b}u(t),</math>
: <math>y(t) = \mathbf{c^T x}(t) + du(t),</math>

gdzie <math>\mathbf{b},\mathbf{c}</math> są odpowiednimi wektorami, a <math>d</math> jest czynnikiem [[Skalar (matematyka)|skalarnym]].

Dla przypadku [[układ niestacjonarny|układu niestacjonarnego]], podane na wstępie równania stanu przybierają postać:
: <math>\dot\mathbf{x}(t) = \mathbf{A}(t)\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t)\mathbf{u}(t),</math>
: <math>\mathbf{y}(t) = \mathbf{C}(t)\mathbf{x}(t) + \mathbf{D}(t)\mathbf{u}(t).</math>

Dla przypadku [[układ nieliniowy|układu nieliniowego]], podane na wstępie równania stanu przybierają postać:
: <math>\mathbf\dot{x}(t) = \mathbf{f}(t, \mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t)),</math>
: <math>\mathbf{y}(t) = \mathbf{g}(t, \mathbf{x}(t), \mathbf{u}(t)),</math>

gdzie <math>\mathbf{f}</math> i <math>\mathbf{g}</math> są funkcjami nieliniowymi. Jeśli funkcja <math>\mathbf{f}(\cdot,\cdot,\cdot)</math> jest liniową kombinacja stanów i wejść, to równania te można zapisać w notacji macierzowej jak w zapisach wyżej.

Dla przypadku [[Sterowanie stochastyczne|układu stochastycznego]], podane na wstępie równania stanu przybierają postać:
: <math>\mathbf\dot{x}(t)=\mathbf{Ax}(t)+\mathbf{Bu}(t)+\mathbf{v}(t),</math>
: <math>\mathbf{y}(t)=\mathbf{Cx}(t)+\mathbf{Du}(t)+\mathbf{w}(t),</math>

gdzie dodatkowo ujęte zostały wektory [[Zakłócenie (automatyka)|zakłóceń]] stochastycznych (wektory [[Szum (sygnał)|szumu]]): <math>\mathbf{v}(t)</math> – wektor [[szum przetwarzania|szumu przetwarzania]], <math>\mathbf{w}(t)</math> – wektor [[szum pomiarowy|szumu pomiarowego]].

[[Plik:State space model delay.PNG|framed|Schemat blokowy równań stanu dla [[układ dyskretny|układu dyskretnego]]. Jednokrokowy operator opóźnienia <math>z^{-1}</math> wskazuje, że mamy do czynienia z [[Człon opóźniający|członem opóźniającym]].]]
Dla przypadku [[Układ dyskretny|modelu dyskretnego (z czasem dyskretnym)]], podane na wstępie równania stanu przybierają postać:
: <math>\mathbf{x}(n+1) = \mathbf{Ax}(n) + \mathbf{Bu}(n),</math>
: <math>\mathbf{y}(n) = \mathbf{Cx}(n) + \mathbf{Du}(n),</math>

gdzie: <math>n=\ldots,-1,0,1,2,\dots</math> oznacza dyskretną chwilę czasu.

W przypadku tzw. [[układ uogólniony|układów uogólnionych]], podane na wstępie równania stanu (zwane też w tym kontekście równaniami stanu ''układu normalnego'') mają postać uogólnioną:
: <math>\mathbf{E}\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{Ax}(t) + \mathbf{Bu}(t),</math>
: <math>\mathbf{y}(t) = \mathbf{Cx}(t) + \mathbf{Du}(t),</math>

gdzie <math>\mathbf{E}</math> jest macierzą o elementach rzeczywistych (tzn. <math>\mathbf{E} \in \mathbb{R}^{pm}</math>) a <math>\dot\mathbf{x}(t)</math> jest tu tzw. '''semiwektorem stanu''' (deskryptorem). Cechą układu uogólnionego jest to, że macierz <math>\mathbf{E}</math> może nie mieć pełnego [[rząd macierzy|rzędu]], to znaczy rząd <math>\mathbf{E}</math> = <math>r \leqslant min(q,n).</math>

[[Układ uogólniony]] nazywany jest [[układ singularny|układem singularnym]], jeśli rząd <math>\mathbf{E} = r < n.</math> W przypadku szczególnym, gdy <math>q=n</math> wyżej podany układ uogólniony jest singularny, jeżeli <math>\det\mathbf{E} =0</math> (tzn. <math>\mathbf{E}</math> jest [[Macierz odwrotna#Odwracalność a nieosobliwość|macierzą osobliwą]]).

== Rozwiązanie równań stanu ==
{{osobny artykuł|Macierz przejścia (automatyka)}}
Dla równań przedstawionych na wstępie rozwiązanie ogólne dane jest równaniem (jest to tak zwany '''wzór Cauchy-Bellmana'''):
: <math>\mathbf{x}(t)= \mathbf\Phi (t, t_0)\mathbf{x}(t_0)+\int_{t_0}^t \mathbf\Phi (t, \tau)\mathbf{B}(\tau)\mathbf{u}(\tau)d\tau,</math>

gdzie <math>\mathbf{\Phi}(t, \tau)</math> jest [[Macierz przekształcenia liniowego|macierzą przejścia]].

== Niejednoznaczność opisu równaniami stanu ==
W przeciwieństwie do [[opis typu wejście-wyjście|opisu typu wejście-wyjście]] (w postaci odpowiedniego [[Równanie różniczkowe|równania różniczkowego]], [[transmitancja operatorowa|transmitancji]] lub [[całka splotowa|całki splotowej]]) opis równaniami stanu nie jest jednoznaczny. Oznacza to, że:
* różnym postaciom opisu w przestrzeni stanów może odpowiadać jeden opis transmitancyjny, a z drugiej strony
* dla danej transmitancji istnieje nieskończenie wiele opisów w przestrzeni stanów (tym niemniej spośród różnych możliwych sposobów wyboru [[zmienna (automatyka)|zmiennych]] [[stan układu|stanu]] kilka jest szczególnie ciekawych).

Wprowadzenie [[Funkcja|przekształcenia]] [[Macierz odwrotna|nieosobliwego]] [[zmienna (automatyka)|zmiennych]] [[stan układu|stanu]] (to znaczy takiej zmiany [[Zmienna (automatyka)|współrzędnych]] w [[Stan układu|przestrzeni stanów]], że przejście od jednych współrzędnych do drugich jest [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|wzajemnie jednoznaczne]]) spowoduje, że ten sam układ będzie mógł być opisany innymi zmiennymi stanu i równaniami o innej postaci – przy zachowaniu tych samych własności.

[[Funkcja|Przekształcenie]] współrzędnych w przypadku układu liniowego oznacza, że współrzędne stanu <math>x</math> są kombinacjami liniowymi nowych współrzędnych z (i na odwrót), np:
: <math>x_1 = p_{11} z_1 + p_{12} z_2 + \ldots + p_{1n} z_n</math>
: <math>x_2 = p_{21} z_1 + p_{22} z_2 + \ldots + p_{2n} z_n</math>
: <math>\vdots</math>
: <math>x_n = p_{n1} z_1 + p_{n2} z_2 + \ldots + p_{nn} z_n</math>

[[Macierz odwrotna|Nieosobliwość]] przekształcenia oznacza, że wyznacznik macierzy przekształcenia <math>\mathbf{P}=[p_{ij}]</math> jest różny od zera, co zapewni jednoznaczność zamiany zmiennych <math>x</math> na <math>z</math> i na odwrót.

Równania można zapisać w skrócie jako <math>\mathbf{x}=\mathbf{P} \mathbf{z}</math> lub <math>\mathbf{z}=P^{-1} \mathbf{x}.</math> Zastępując w poprzednich równaniach [[wektor stanu]] <math>\mathbf{x}</math> przez <math>\mathbf{P} \mathbf{z},</math> otrzymuje się nowe równania:
: <math>\frac{dz}{dt} = P^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}\mathbf{z}+P^{-1}\mathbf{B} u,</math>
: <math>\mathbf{y} = \mathbf{CPz} + du.</math>

Przy użyciu nowych zmiennych stanu <math>\mathbf{z}</math> otrzymuje się równania podobnej postaci, przy czym w miejscu macierzy <math>\mathbf{A}</math> pojawia się macierz <math>P^{-1}\mathbf{AP},</math> zamiast wektora <math>\mathbf{B}</math> – wektor <math>P^{-1}\mathbf{B},</math> zamiast wektora <math>\mathbf{C}</math> – wektor <math>\mathbf{CP}.</math>

Najważniejsze jest spostrzeżenie, że macierz <math>\mathbf{B}</math> charakteryzuje cecha [[Macierz#Klasy macierzy a wybór bazy|podobieństwa]] do macierzy <math>\mathbf{A}.</math> Przesądza to o identyczności właściwości dynamicznych układu niezależnie od wyboru współrzędnych stanu.

Nieosobliwe przekształcenie współrzędnych stanu nie zmienia więc zasadniczych właściwości układu. Właściwości te są w istocie określone przez [[Wartość własna układu|wartości własne]], które są jednoznaczne w odróżnieniu od współrzędnych stanu i macierzy <math>A</math> układu.

Pojęciowo jest oczywiste, że właściwości układu nie mogą zależeć od wyboru [[zmienna (automatyka)|zmiennych]] [[stan układu|stanu]]. Istnieje nieskończenie wiele sposobów wyboru zmiennych stanu.

== Powiązanie równań stanu z transmitancją ==
Alternatywnym do równań stanu sposobem opisu układu dynamicznego (aczkolwiek zakładającym zerowy stan początkowy) jest [[transmitancja operatorowa|transmitancja]].

W przypadku [[wejście-wyjście (automatyka)|układu o jednym wejściu i jednym wyjściu]] macierze stanu łączy z [[transmitancja operatorowa|transmitancją]] następująca zależność:
: <math>G(s) = \mathbf{C}(sI - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B} + D.</math>

[[Plik:Typical State Space model.png|framed|Typowy model w przestrzeni stanów dla układu opisanego macierzami '''A''', '''B''', '''C''', '''D''']]

Istnieje nieskończenie wiele kombinacji macierzy '''A''', '''B''', '''C''' reprezentujących daną transmitancję ''G''. Dla układu rzędu ''n''&nbsp;=&nbsp;2 macierze stanu można opisać następująco:
: <math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} &a_{12}/\alpha\\ a_{21}\alpha &a_{22}\end{bmatrix},</math>
: <math>\mathbf{B} = \begin{bmatrix} b_{11}\\ b_{21}\alpha \end{bmatrix},</math>
: <math>\mathbf{C} = \begin{bmatrix} c_{11} &c_{12}/\alpha \end{bmatrix},</math>

gdzie <math>\alpha</math> jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0.

W przypadku [[wejście-wyjście (automatyka)|układu o wielu wejściach i wielu wyjściach]] w miejsce wspomnianej wyżej transmitancji określa się tak zwaną [[macierz transmitancji]] <math>\mathbf{G}(s).</math> Wówczas wyżej podana zależność przybiera postać:
: <math>\mathbf{G}(s) = \mathbf{C}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B} + \mathbf{D}.</math>

(wytłuszczenia symboli we wzorach wskazują na to, że chodzi o wektory, a nie o wartości skalarne).

=== Postacie kanoniczne ===
Jeśli wybiera się zmienne stanu dla układu o danej transmitancji, to spośród różnych możliwych sposobów wyboru tych zmiennych kilka jest szczególnie ciekawych.

Ze względów rachunkowych najbardziej pożądany jest sposób, w którym otrzymuje się macierz <math>A</math> układu w postaci [[macierz diagonalna|diagonalnej]], przy czym na przekątnej tej macierzy występują poszczególne [[wartość własna układu|wartości własne układu]] (czyli bieguny [[transmitancja operatorowa|transmitancji]]). Model taki (ang. ''uncoupled form'') można uzyskać, rozkładając transmitancję na [[ułamki proste]]. Jako zmienne wybiera się wtedy zmienne poszczególnych członów elementarnych połączonych równolegle. Zasadnicze wady tego opisu wynikają z braku ogólności metody (innymi słowy z braku jej '''kanoniczności'''), ponieważ przy wielokrotnych [[wartość własna układu|wartościach własnych układu]] nie jest możliwy rozkład na ułamki o mianownikach tylko pierwszego stopnia.

Cechy ogólności (kanoniczności) ma sposób wyboru zmiennych jako tzw. współrzędnych fazowych (ang. ''direct phase variable form'') – w efekcie uzyskuje się model, który zawsze będzie odpowiadał modelowi [[sterowalność|sterowalnemu]]. Podobną strukturę ma model, w którym przyjmiemy <math>y=x_n,</math> zmienne stanu ponumerujemy odwrotnie i uzależnimy wszystkie równania stanu od <math>x</math> (ang. ''direct feed-forward form'') – uzyskuje się wówczas strukturę systematyczną i ogólną, a model taki odpowiada zawsze układowi [[obserwowalność|obserwowalnemu]]. Modele sterowalne i obserwowalne są szczególnie pożądane z uwagi na to, że z niesterowalnością i nieobserwowalnością wiąże się pewna „niezręczność” w sposobie wprowadzenia sterowania lub wyprowadzenia wyjścia układu – w stosunku do układu swobodnego (zobacz też [[dekompozycja Kalmana]]).

=== Przykład ===
Rozważmy przykład dla układu 4-wymiarowego o jednym wejściu i jednym wyjściu. Każda [[transmitancja ściśle właściwa]] może być zamieniona do przestrzeni stanów w następujący sposób. Transmitancję należy przekształcić tak, aby w mianowniku i liczniku pojawiły się odpowiednie współczynniki:
: <math>\mathbf{G}(s) = \frac{n_1 s^3 + n_2 s^2 + n_3 s + n_4}{s^4 + d_1 s^3 + d_2 s^2 + d_3 s + d_4}.</math>

==== Sterowalna ====
: <math>\dot\mathbf{x}(t) = \begin{bmatrix}
0 &1 &0 &0\\
0 &0 &1 &0\\
0 &0 &0 &1\\
-d_4 &-d_3 &-d_2 &-d_1
\end{bmatrix}\mathbf{x}(t) +
\begin{bmatrix} 0 \\0 \\0 \\1 \end{bmatrix}\mathbf{u}(t)</math>

: <math>\mathbf{y}(t) = \begin{bmatrix} n_4 &n_3 &n_2 &n_1 \end{bmatrix}\mathbf{x}(t).</math>

Powstały model jest [[sterowalność|sterowalny]].

==== Obserwowalna ====
: <math>\dot\mathbf{x}(t) = \begin{bmatrix}
-d_1 &1 &0 &0\\
-d_2 &0 &1 &0\\
-d_3 &0 &0 &1\\
-d_4 &0 &0 &0
\end{bmatrix}\mathbf{x}(t) +
\begin{bmatrix} n_1\\ n_2\\ n_3\\ n_4 \end{bmatrix}\mathbf{u}(t)</math>

: <math>\mathbf{y}(t) = \begin{bmatrix} 1 &0 &0 &0 \end{bmatrix}\mathbf{x}(t).</math>

Powstały model jest [[obserwowalność|obserwowalny]].

== Równania dla układów ze sprzężeniem zwrotnym ==
=== Sprzężenie zwrotne od wyjścia ===
[[Plik:Typical State Space model with feedback.png|framed|Typowy model w przestrzeni stanu dla układu ze sprzężeniem zwrotnym od wyjścia]]
W przypadku sprzężenia zwrotnego od wyjścia, wyjście mnożone jest przez macierz <math>K</math> i podawane jest na wejście systemu:
: <math>\mathbf{u}(t) = -K \mathbf{y}(t).</math>

Ponieważ wartości <math>K</math> nie są ograniczone, można je w prosty sposób zanegować dla ujemnego [[sprzężenie zwrotne|sprzężenia zwrotnego]]. Obecność znaku minus (zwykle spotykana w notacji) ma charakter jedynie notacyjny – jego nieobecność nie ma wpływu na wyniki końcowe obliczeń. Wówczas równania:
: <math>\dot\mathbf{x}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t),</math>
: <math>\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t)</math>

można zapisać:
: <math>\dot\mathbf{x}(t) = A \mathbf{x}(t) - B K \mathbf{y}(t),</math>
: <math>\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) - D K \mathbf{y}(t).</math>

Przekształcając równanie wyjścia dla <math>\mathbf{y}(t)</math> i dokonując podstawienia w równaniu stanu, otrzymujemy:
: <math>\dot\mathbf{x}(t) = \left(A + B K \left(I - DK\right)^{-1} C \right) \mathbf{x}(t),</math>
: <math>\mathbf{y}(t) = \left(I - DK\right)^{-1} C \mathbf{x}(t).</math>

Zaleta powyższego zapisu polega na tym, że na [[Wektory i wartości własne|wartości własne]] macierzy <math>A</math> można wpływać poprzez odpowiednie określenie <math>K</math> przez dekompozycję własną wyrażenia
<math>\left(A + B K \left(I - D K\right)^{-1} C \right).</math>

Zakłada się przy tym, ze układ zamknięty jest [[sterowalność|sterowalny]] lub że niestabilne wartości własne <math>A</math> można uczynić stabilnymi poprzez odpowiedni dobór <math>K.</math>

Często spotyka się uproszczenie dla takiego układu polegające na usunięciu <math>D</math> i określeniu <math>C</math> jako macierz jednostkową, co redukuje równania do postaci:
: <math>\dot\mathbf{x}(t) = \left(A + B K \right) \mathbf{x}(t),</math>
: <math>\mathbf{y}(t) = \mathbf{x}(t).</math>

To znów sprowadza niezbędną dekompozycję własną jedynie do wyrażenia <math>A + B K.</math>

== Zobacz też ==
* [[model minimalny]]

== Bibliografia ==
* [[Tadeusz Kaczorek]] ''Teoria sterowania i systemów'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993, {{ISBN|83-01-10936-X}}.
* [[Tadeusz Kaczorek]], A. Dzieliński, W. Dąbrowski, R. Łopatka, ''Podstawy teorii sterowania'', Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2005, {{ISBN|83-204-2967-6}}.
* {{Cytuj |autor = Andrzej Markowski; Jerzy Kostro; Andrzej Lewandowski |tytuł = Automatyka w pytaniach i odpowiedziach |data = 1979 |isbn = 83-204-0110-0 |miejsce = Warszawa |wydawca = Wydawnictwa Naukowo-Techniczne |oclc = 830948960}}
{{Teoria sterowania}}

[[Kategoria:Teoria układów dynamicznych]]
[[Kategoria:Równania w fizyce|Stanu, układów dynamicznych]]
[[Kategoria:Robotyka]]