Tekst źródłowy strony Równanie pędu Cauchy’ego

== Wprowadzenie ==
'''Równanie pędu Cauchy’ego''' – wektorowe [[równanie różniczkowe]] cząstkowe zaproponowane przez Cauchy’ego, które opisuje nierelatywistyczny transport pędu w każdym [[Ośrodek ciągły|ośrodku ciągłym]]<ref name=Acheson>{{Cytuj książkę |nazwisko = Acheson |imię = D.J. |tytuł = Elementary Fluid Dynamics |wydawca = [[Oxford University Press]] |rok = 1990 |strony = 205 |isbn = 0-19-859679-0}}</ref>. Dane jest ono następująco:
:: <math>\rho \frac{d\vec v}{dt}=\nabla\cdot\boldsymbol\sigma + \rho\vec f</math>

gdzie:
: <math>\rho\; \mathrm{[kg/m^3]}</math> – gęstość,
: <math>d\vec v/dt=\partial_t\vec v + \vec v\cdot\nabla\vec v\; \mathrm{[m/s^2]}</math> – [[Operator Stokesa|pochodna substancjalna]] [[prędkość|prędkości]],
: <math>\nabla\; \mathrm{[1/m]}</math> – [[operator nabla]],
: <math>\boldsymbol\sigma\; \mathrm{[Pa=N/m^2]}</math> – [[Naprężenie|tensor naprężenia]],
: <math>\vec f\; \mathrm{[m/s^2]}</math> – [[przyspieszenie]] związane z [[Siła masowa|siłami masowymi]].

Jest to równanie wektorowe (tzn. jego rozwiązaniem jest [[pole wektorowe]]) które po rozwinięciu w [[Układ współrzędnych kartezjańskich|układzie kartezjańskim]] ma postać trzech równań – po jednym dla każdej składowej wynikowego pola wektorowego<ref name=Berdahl>{{Cytuj książkę |nazwisko = Berdahl |imię = W.Z. |tytuł = Behavior of a Vorticity-Influenced Asymmetric Stress Tensor in Fluid Flow |wydawca = AIR FORCE WRIGHT AERONAUTICAL LABORATORIES |rok = 1986 |strony = 13 (poniżej głównego równania, autor opisuje: <math>\sigma_{ki,k}=\partial \sigma_{ki}/\partial x_k=\nabla\cdot\sigma</math>) |url = http://web.archive.org/web/20200221104424/https://apps.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a181244.pdf}}</ref>:

:: <math>\begin{align}
x&: & \rho \left(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}\right) &= \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z} + \rho f_x \\[8pt]
y&: & \rho \left(\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}\right) &= \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial z} + \rho f_y \\[8pt]
z&: & \rho \left(\frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}\right) &= \frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} + \rho f_z
\end{align}</math>

Jak widać układ nie jest zamknięty, gdyż mamy tylko 3 równania a 13 niewiadomych tj. <math>\rho</math> (skalar – 1 niewiadoma), <math>\vec v</math> (vektor – 3 niewiadome), <math>\boldsymbol\sigma</math> (macierz – 9 niewiadomych). Poza tym <math>t, x, y, z, \vec f</math> są wiadome w ramach warunków początkowych/brzegowych.

: {| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!Detale dotyczące <math>\nabla\cdot\boldsymbol\sigma</math>
|-
|
Dla <math>\nabla\cdot\boldsymbol\sigma</math> [[Działanie algebraiczne|operacja]] „<math>\cdot</math>” pomiędzy [[Operator nabla|operatorem nabla]] <math>\nabla</math> a tensorem naprężenia <math>\boldsymbol\sigma</math> NIE JEST [[Mnożenie macierzy|mnożeniem macierzy]] – nie można użyć lewostronnego mnożenia pomiędzy wektorem [[Współrzędne krzywoliniowe|kontrawariantnym]] (kolumnowym; „pionowym”; co wynika z definicji [[Operator nabla|operatora]]) a macierzą. Wyrażenie <math>\nabla\cdot\boldsymbol\sigma</math> ma tylko symboliczne znaczenie. Standardowo [[dywergencja]] jest zdefiniowana jako operator na polu wektorowym (jako [[Iloczyn skalarny]] pomiędzy operatorem nabla i wektorem (więcej: [[Pochodna kowariantna]])), ale może zostać rozszerzona na pola tensorowe 2 rzędu (macierze), jednak w tym przypadku mamy do czynienia z inną operacją: <math>\nabla\cdot\boldsymbol\sigma = \cfrac{\partial \sigma_{ki}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = \sigma_{ki,k}~\mathbf{e}_i</math>. W ogólności mamy <math>\nabla\cdot\boldsymbol\sigma\neq \mathrm{div}(\boldsymbol\sigma)=\nabla\cdot\boldsymbol\sigma^T.</math> W [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjańskim układzie współrzędnych]] możemy tę operację zapisać jako [[mnożenie macierzy]] (poniżej używamy „pusty” symbol mnożenia) w następujący sposób:

:: <math>
\nabla\cdot\boldsymbol\sigma = (\nabla^T\boldsymbol\sigma)^T =
\left(
\begin{bmatrix}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial z}
\end{bmatrix}^T

\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\
\sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\
\sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}\right)^T
=
\left(\left[\tfrac{\partial}{\partial x}\ \ \tfrac{\partial}{\partial y}\ \ \tfrac{\partial}{\partial z}\right]

\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\
\sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\
\sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix}\right)^T
=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z} \\
\frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial z} \\
\frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z}
\end{bmatrix}
</math>

gdzie rezultat (po prawej) jest kolumnowym wektorem, <math>\mathbb{\ }^T</math> oznacza [[transpozycja|transpozycję]]. Transpozycja operatora nabla w powyższych równaniach pozwala na użycie lewostronnego mnożenia macierzy (od drugiej równości), kolejna transpozycja (wykonana po mnożeniu macierzowym) zmienia rezultat z wektora wierszowego na kolumnowy ([[Współrzędne krzywoliniowe|kontrawariantnym]]) co powzowli na dodawanie pozostałych składowych równania pędu (które są wektorami kolumnowymi) jak np. <math>\rho\vec f.</math> Dla przypadku gdy sigma jest tensorem symetrycznym <math>\sigma_{ij}=\sigma_{ji}</math> (np. dla płynu Newtonowskiego w równaniach Naviera-Stokesa bazujących na równaniu pędu Cauchego) zachodzi <math>\nabla\cdot\boldsymbol\sigma = \mathrm{div}(\boldsymbol\sigma).</math>
Jednak w ogólności nie powinniśmy mylić operacji <math>\nabla\cdot\boldsymbol\sigma</math> z operacją <math>\mathrm{div}(\boldsymbol\sigma)</math> która dla niesymetrycznego tensora sigma (używanym np. dla modelowania płynów nienewtonowskich jak polimery) daje inne rezultaty<ref name=Kelly>{{Cytuj książkę |nazwisko = Kelly |imię = Piaras |tytuł = Solid Mechanics Part III |url = http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/Chapter_1_Vectors_Tensors/Vectors_Tensors_14_Tensor_Calculus.pdf |wydawca = University of Auckland |rok = 2019 |strony = 119}}</ref>
|}

== Wyprowadzenie różniczkowe ==
Wychodzimy od [[Pęd (fizyka)|uogólnionej zasady zachowania pędu]], którą można zapisać następująco: „zmiana pędu układu jest proporcjonalna do siły wypadkowej działającej na ten układ” wyraża się ona wzorem:
:: <math>\vec p(t+\Delta t)-\vec p(t)=\Delta t \vec\bar F</math>

gdzie:
: <math>\vec p(t)</math> – pęd w chwili <math>t,</math>
: <math>\vec\bar F</math> – uśredniona w czasie <math>\Delta t</math> siła.

Po podzieleniu przez <math>\Delta t</math> i przejściu do granicy <math>\Delta t\to 0</math> otrzymujemy:
:: <math>\frac{d\vec p}{dt}=\vec F</math>

Skupimy się teraz kolejno na wyznaczeniu lewej, a następnie prawej strony powyższego równania dla stałej masy w różniczkowej sześciennej objętości kontrolnej (czyli elemencie ciała) której pęd i działające nań siły chcemy zbadać. Na koniec zestawimy lewą i prawą stronę powyższego równania, otrzymując równanie Pędu Cauchy’ego.

=== Zacznijmy od prawej strony równania ===
[[Plik:CauchyDeriv.png|thumb|Składowa X sił działających na ścianki sześciennego elementu płynu (zielone dla górnej-dolnej ścianki; czerwone dla lewej-prawej; czarne dla przedniej-tylnej).]]
[[Plik:RozZupelnaC.png|thumb|Na górnym wykresie widzimy przybliżenie funkcji <math>f(x)</math> (niebieska linia) za pomocą różnicy skończonej (żółta linia). Na dolnym wykresie jest „nieskończenie wiele razy powiększone otoczenie punktu <math>x_1</math>” (fioletowy kwadracik z górnego wykresu). Na dolnym wykresie żółta linia nie została naniesiona. Na rysunku użyto dwóch równoważnych oznaczeń pochodnej <math>f'(x_1)=\frac{df(x_1)}{dx_1}</math> ponadto oznaczono <math>\Delta f = f(x_1+\Delta x) - f(x_1).</math>]]
Siły dzielimy na [[siła masowa|masowe]] i [[siła powierzchniowa|powierzchniowe]]
:: <math>\vec F=\vec F_p + \vec F_m</math>

Na ścianki objętości kontrolnej działają siły powierzchniowe. Składowa X tych sił (w formie iloczynu [[naprężenie|naprężenia]] i [[Pole powierzchni|pola powierzchni]] np. <math>-\sigma_{xx}dydz\ \mathrm{[Pa\cdot m\cdot m=\frac{N}{m^2}\cdot m\cdot m=N]}</math>), dla każdej ścianki, została umieszczona na rysunku z elementem sześciennym.
: {| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!Wyjaśnienie wartości sił (przybliżeń i znaków minus) na ściankach sześcianu
|-
|
Wyjaśnienia wymaga dlaczego przy naprężeniach na ściankach leżących na osiach współrzędnych mamy znak minus (np. na lewej ściance mamy wartość <math>-\sigma_{xx}</math>). Dla uproszczenia skupmy się na lewej ściance z naprężeniem <math>-\sigma_{xx}.</math> Znak minus spowodowany jest tym, że [[wektor normalny]] do tej ścianki <math>\vec n =[-1,0,0]=-\vec e_x</math> jest ujemnym wektorem jednostkowym. Wówczas przy obliczaniu [[naprężenie|wektora naprężenia]] z definicji <math>\vec s=\vec n\cdot \boldsymbol\sigma=[-\sigma_{xx},-\sigma_{xy},-\sigma_{xy}]</math> zatem składowa x tego wektora to <math>s_x=-\sigma_{xx}</math> (podobne rozumowanie używamy dla naprężeń na ściance dolnej i tylnej tj.: <math>-\sigma_{yx},-\sigma_{zx}</math>).

Drugim elementem wymagającym wyjaśnienia jest przybliżenie wartości naprężeń na ściankach przeciwległych do ścianek leżących na osiach. Skupmy się na ściance prawej na której naprężenie jest przybliżeniem naprężenia <math>\sigma_{xx}</math> ze ścianki lewej w punktach o wsp. <math>x+dx</math> i wynosi ono <math>\sigma_{xx}+\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}dx.</math> To przybliżenie wzięło się z zastosowania [[Wzór Taylora|wzoru Taylora]] na przybliżenie funkcji tj.:
: <math>\sigma_{xx}(x+dx)=\sigma_{xx}(x) + dx\frac{\partial\sigma_{xx}(x)}{\partial x} +\frac{dx^2}{2}\frac{\partial^2\sigma_{xx}(x)}{\partial x^2}+...</math>

Ponieważ wartość <math>dx^2</math> jest nieskończenie mniejsza od wartości <math>dx</math>  więc wszystkie wyrazy z <math>dx</math> w potęgach wyższych niż jeden możemy porzucić, uznając za nieistotne (argument Leibnitza - związany z iloczynem pochodnych). W ten sposób otrzymaliśmy szukane przybliżenie naprężenia na przeciwległej ściance. Bardziej intuicyjne przedstawienie przybliżenia wartości <math>\sigma_{xx}</math> w punkcie <math>x+dx</math> obrazuje rysunek pod sześcianem. Podobne rozumowanie przeprowadzamy dla przybliżeń naprężeń <math>\sigma_{yx},\sigma_{zx}</math>
|}

Sumując siły (ich składowe X) działające na każdą ze ścian, otrzymujemy:
:: <math>F_p^x=(\sigma_{xx}+\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}dx)dydz-\sigma_{xx}dydz
+ (\sigma_{yx}+\frac{\partial\sigma_{yx}}{\partial y}dy)dxdz-\sigma_{yx}dxdz
+ (\sigma_{zx}+\frac{\partial\sigma_{zx}}{\partial z}dz)dxdy-\sigma_{zx}dxdy</math>

Po uporządkowaniu <math>F_p^x</math> oraz po wykonaniu podobnego rozumowania dla składowych <math>F_p^y, F_p^z</math> (nie ma ich na rysunku – będą to wektory równoległe odpowiednio do osi Y i Z) otrzymamy:
:: <math>F_p^x=\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}dxdydz
+ \frac{\partial\sigma_{yx}}{\partial y}dydxdz
+ \frac{\partial\sigma_{zx}}{\partial z}dzdxdy</math>

:: <math>F_p^y=\frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial x}dxdydz
+ \frac{\partial\sigma_{yy}}{\partial y}dydxdz
+ \frac{\partial\sigma_{zy}}{\partial z}dzdxdy</math>

:: <math>F_p^z=\frac{\partial\sigma_{xz}}{\partial x}dxdydz
+ \frac{\partial\sigma_{yz}}{\partial y}dydxdz
+ \frac{\partial\sigma_{zz}}{\partial z}dzdxdy</math>

W zapisie operatorowym możemy to wówczas zapisać:
:: <math>\vec F_p=(\nabla\cdot\boldsymbol\sigma)dxdydz</math>

Na wnętrze objętości kontrolnej działają siły masowe, które zapiszemy z wykorzystaniem pola przyspieszenia <math>\vec f</math> (którym może być np. przyspieszenie ziemskie <math>\vec g</math>):
:: <math>\vec F_m=\rho\vec f dxdydz</math>

=== Lewa strona równania ===
Wyznaczmy pęd:
:: <math>\vec p=m\vec v=\rho\vec vdxdydz</math>

Ponieważ założyliśmy, że badana masa jest stała więc
:: <math>\frac{d\vec p}{dt}=\rho\frac{d\vec v}{dt}dxdydz</math>

=== Porównanie lewej i prawej strony równania ===
Otrzymamy:
:: <math>\rho\frac{d\vec v}{dt}dxdydz = (\nabla\cdot\boldsymbol\sigma)dxdydz + \rho\vec f dxdydz</math>

Dzieląc przez <math>dxdydz,</math> dostaniemy:
:: <math>\rho\frac{d\vec v}{dt} = \nabla\cdot\boldsymbol\sigma + \rho\vec f</math>

co kończy wywód.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Równania w fizyce]]
[[Kategoria:Równania różniczkowe cząstkowe]]