Tekst źródłowy strony Równanie ciągłości przepływu dla ośrodka porowatego

'''Równanie ciągłości przepływu dla ośrodka porowatego''' (ang. ''continuity equation for flows through porous materials'') – jedno z podstawowych równań [[Dynamika płynów|hydrodynamiki]] podziemnej. Równanie ciągłości przepływu wyraża przy pomocy parametrów hydrodynamicznych dobrze znaną z [[fizyka|fizyki]] [[Prawo zachowania masy|zasadę zachowania masy]].

Od [[równanie ciągłości|równania ciągłości]] przepływu występującego w ogólnej mechanice płynów równanie dla ośrodka porowatego odróżnia się występowaniem kilku dodatkowych parametrów charakterystycznych dla ośrodków porowatych.

Równanie ciągłości dla ośrodka szczelinowego posiada postać niemal identyczną z postacią dla ośrodka porowatego, z tym, że parametry odpowiednie dla ośrodka porowatego odnoszą się tutaj do ośrodka szczelinowego.

== Równanie ciągłości dla przepływów jednofazowych w ośrodku porowatym ==
W odniesieniu do przepływów jednofazowych równanie ciągłości dla ośrodka porowatego przyjmuje następującą postać ogólną:

:: <math>h \, \frac{\partial}{\partial t} (\varrho \varphi) + \mathrm{div} (\varrho h \mathbf{u}) + \varrho h q = 0</math>

lub w równoważnym zapisie (we współrzędnych prostokątnych):

:: <math>h \, \frac{\partial}{\partial t} (\varrho \varphi) + \frac{\partial}{\partial x} (\varrho h u_x)
            + \frac{\partial}{\partial y} (\varrho h u_y) + \frac{\partial}{\partial z} (\varrho h u_z)
            + \varrho h q = 0,</math>

gdzie:
: <math>\mathbf{u}</math> – wektor [[prędkość filtracji|prędkości filtracji]] o współrzędnych <math>u_x, \, u_y, \, u_z,</math>
: <math>\varrho</math> – [[gęstość]] płynu,
: <math>\varphi</math> – [[porowatość]] ośrodka porowatego,
: <math>q</math> – [[intensywność źródeł]],
: <math>h</math> – parametr geometryczny,
: <math>x, y, z</math> – współrzędne prostokątne,
: <math>t</math> – czas.

Intensywność źródeł <math>q</math> jest niezerowa w miejscach, gdzie występuje wymiana masy płynu z otoczeniem. W praktyce oznacza to miejsca występowania studni lub odwiertów. Intensywność źródeł wyraża wówczas wielkość produkcji odwiertu (wyrażoną w m³/s) podzieloną przez jednostkę objętości (tj. m³). Intensywność źródeł (której jednostką jest odwrotność sekundy) przyjmuje wielkości dodatnie w przypadku odwiertów eksploatacyjnych, a wielkości ujemne w przypadku odwiertów zatłaczających. W sensie hydrodynamicznym odwiert eksploatacyjny jest więc źródłem, a odwiert zatłaczający upustem.

Parametr geometryczny <math>h</math> wprowadzony został do równania ciągłości w celu zredukowania liczby wymiarów przestrzennego zagadnienia przepływu.
* W przypadku przepływu trójwymiarowego parametr geometryczny <math>h</math> jest zawsze równy jedności.
* W przypadku przepływu dwuwymiarowego w warstwie porowatej o dużej rozciągłości parametr geometryczny <math>h</math> wyraża miąższość warstwy porowatej. Umożliwia to opis ruchu płynu jako dwuwymiarowego z uwzględnieniem zmian miąższości warstwy porowatej.
* W przypadku przepływu jednowymiarowego parametr geometryczny <math>h</math> wyraża wielkość przekroju ośrodka porowatego w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku przepływu. Umożliwia to opis ruchu płynu jako jednowymiarowego z uwzględnieniem zmian przekroju poprzecznego ośrodka porowatego.

W bardziej ścisłym ujęciu problemu parametr geometryczny <math>h</math> stanowi [[Macierz Jacobiego|jakobian]] transformacji układu współrzędnych, w którym rozpatrywane jest zagadnienie przepływu płynu.

Ponieważ wielkość produkcji odwiertów wyraża się w odniesieniu do [[warunki normalne|warunków normalnych]] (dotyczy to zwłaszcza odwiertów gazowych), dlatego też wprowadzając intensywność źródeł odniesioną do warunków standardowych <math>\overline{q}</math> równanie ciągłości przepływu przedstawia się często w następującej alternatywnej postaci:

: <math>h \, \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\varphi}{B} \right)
             + \mathrm{div} \left( \frac{h \mathbf{u}}{B} \right)
             + h \overline{q} = 0</math>

lub we współrzędnych prostokątnych:

: <math>h \, \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\varphi}{B} \right)
             + \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{h u_x}{B} \right)
             + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{h u_y}{B} \right)
             + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{h u_z}{B} \right)
             + h \overline{q} = 0,</math>

gdzie <math>B</math> – tzw. [[współczynnik objętościowy]] (ang. ''bulk volume factor'') przepływającego płynu.

== Równanie ciągłości dla przepływów wielofazowych w ośrodku porowatym ==
W odniesieniu do przepływów wielofazowych równanie ciągłości dla ośrodka porowatego należy zapisać osobno dla każdej z faz. Jest to więc w rzeczywistości układ równań różniczkowych zawierający ilość równań równą ilości współwystępujących faz.

Układ ten zapisać można w następującej postaci ogólnej, przy czym indeks dolny <math>n</math> oznacza, że dany parametr odnosi się do <math>n</math>-tej fazy:

:: <math>h \, \frac{\partial}{\partial t} (\varrho_n \varphi S_n) + \mathrm{div} (\varrho h \mathbf{u}_n)
             - \varrho_n h r_n + \varrho_n h q_n = 0,</math>

gdzie:
: <math>S_n</math> – [[nasycenie fazą|nasycenie]] przestrzeni porowej <math>n</math>-tą fazą,
: <math>r_n</math> – intensywność wymiany międzyfazowej.

Intensywność wymiany międzyfazowej wyraża intensywność tworzenia się <math>n</math>-tej fazy z innych faz wchodzących w skład układu wielofazowego stanowiącego przepływający płyn. Parametr ten posiada w równaniu znak ujemny, ponieważ w sensie hydrodynamicznym stanowi on upust, a nie źródło.

Podane powyżej równanie ciągłości dla przepływów wielofazowych zapisuje się również w następującej alternatywnej postaci:
:: <math>h \, \frac{\partial}{\partial t} (\varrho_n \varphi S_n) + \mathrm{div} (\varrho h \mathbf{u}_n)
             - \varrho_n h r_n + \varrho_n h f_n q = 0</math>

lub
:: <math>h \, \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\varphi S_n}{B_n} \right)
             + \mathrm{div} \left( \frac{h}{B_n} \mathbf{u}_n \right) - \frac{h}{B_n} r_n
             + h f_n \overline{q} = 0,</math>

gdzie:
: <math>f_n</math> – [[frakcyjny współczynnik dopływu]] (ang. ''fractional flow coefficient'') dla <math>n</math>-tej fazy,
: <math>B_n</math> – [[współczynnik objętościowy]] (ang. ''bulk volume factor'') dla <math>n</math>-tej fazy.

== Zastosowanie ==
Równanie ciągłości dla przepływów w ośrodku porowatym stanowi jedno z fundamentalnych równań hydrodynamiki podziemnej. Znajduje ono powszechne zastosowanie w matematycznym i numerycznym modelowaniu przebiegu eksploatacji złóż ropy naftowej, gazu ziemnego oraz podziemnych magazynów gazu. Podstawiając [[Równanie Darcy’ego-Weisbacha|formułę Darcy’ego]] lub jej uogólnienie do równania ciągłości przepływu otrzymuje się równanie transportu płynu (lub wielofazowej mieszaniny płynów) w ośrodku porowatym.

== Bibliografia ==
* Bear J.: ''Dynamics of Fluids in Porous Media'', American Elsevier, New York – London-Amsterdam 1972.
* Colins R.E.: ''The Flow of Fluids through Porous Materials'', van Nostrand, New York 1961.
* Peaceman D.W.: ''Fundamentals of Numerical Reservoir Simulation'', Elsevier, Amsterdam – Oxford – New York 1977.
* Sławomirski M.R.: ''The Simulation of Unsteady Two-Phase Flows through Anisotropic Porous Media Considering Isothermal Condensation of Multicomponent Gas'', „Archiwum Górnictwa” ''31'', 1986, s. 191–287.

[[Kategoria:Hydrodynamika podziemna]]