Tekst źródłowy strony Równania Eulera-Lagrange’a

'''Równania Eulera-Lagrange’a''', '''równania Lagrange’a''' – równania cząstkowe drugiego rzędu, których rozwiązaniami są funkcje, dla których [[funkcjonał]] (zadany [[całka oznaczona|całką oznaczoną]]) jest [[Punkt stacjonarny|stacjonarny]]. Stanowią podstawowe równania [[Rachunek wariacyjny|rachunku wariacyjnego]].

Np. dla funkcjonału <math>S</math> zależnego od funkcji jednej zmiennej <math>x(t)</math> i jej pierwszej pochodnej <math>x'(t)</math>
:: <math>S = \int\limits_{t_1}^{t_2} L(x(t),x'(t),t) dt</math>

równania Eulera-Lagrange’a przyjmują postać<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Lagrange’a–Eulera równania | id = 4008970 | data dostępu = 2021-07-29}}</ref>:
:: <math>\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial x'}\right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0.</math>

Rozwiązaniami tego równania są funkcje <math>x(t),</math> dla których <math>S</math> jest stacjonarne, tj. dla funkcji <math>x_{odch}(t)</math> niewiele odchylającej się od funkcji optymalnej <math>x(t)</math> wartość funkcjonału <math>S</math> zmienia się nieznacznie. Jest to warunkiem koniecznym, żeby <math>S</math> przyjmowało dla <math>x(t)</math> [[Ekstremum funkcji|ekstremum]].

Postać równań Eulera-Lagrange’a w ogólniejszych przypadkach (wiele funkcji, wiele zmiennych, pochodne wyższych rzędów) omówiono w dalszych rozdziałach artykułu.

== Historia ==
Równanie Eulera-Lagrange’a zostało wprowadzone przez [[Leonhard Euler|Leonharda Eulera]] i [[Joseph Louis Lagrange|Josepha Louisa Lagrange’a]] w latach 1750 podczas prac związanych z problemem [[Tautochrona (fizyka)|tautochrony]].
Lagrange znalazł rozwiązanie tego problemu w 1755 i przesłał je Eulerowi. Obaj rozwijali dalej tę metodę i zastosowali ją w mechanice, co doprowadziło do sformułowania mechaniki lagranżowskiej. Dzięki ich współpracy powstał [[rachunek wariacyjny]] (nazwę tę wymyślił Euler w 1766)<ref>[http://numericalmethods.eng.usf.edu/anecdotes/lagrange.pdf A short biography of Lagrange].</ref>.

== Zastosowania ==
Równania Eulera-Lagrange’a stosuje się w rachunku wariacyjnym, na przykład szukając najkrótszej drogi ([[linia geodezyjna|geodezyjnej]]), biegu promienia światła, czyli linii, dla której [[droga optyczna]] jest najkrótsza ([[zasada Fermata]]) albo do minimalizacji energii potencjalnej układu (np. [[krzywa łańcuchowa]]).

=== Mechanika klasyczna ===
Zgodnie z [[Zasada najmniejszego działania|zasadą Hamiltona]] [[układ fizyczny]] porusza się po takiej trajektorii, że [[Działanie (fizyka)|działanie]] <math>S</math> obliczone dla ruchu od chwili <math>t = t_1</math> do chwili <math>t = t_2</math> jest stacjonarne, przy czym
:: <math>S = \int\limits^{t_2}_{t_1}L dt,</math>

gdzie:
: <math>t</math> – czas,
: <math>L</math> – [[Lagranżjan|lagrangian]].

W [[Mechanika klasyczna|mechanice klasycznej]] lagrangian ma postać:
:: <math>L = E_{kin} - E_{pot},</math>

gdzie:
: <math>E_{kin}</math> – [[energia kinetyczna]] układu,
: <math>E_{pot}</math> – energia potencjalna układu.

Aby <math>S</math> było stacjonarne, <math>L</math> musi spełniać równanie Eulera-Lagrange’a dla każdej [[Stan układu|zmiennej stanu]] <math>q_k(t){:}</math>
:: <math>\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0,</math>

gdzie:
: <math>\dot{q_k} = \frac{dq_k}{dt}.</math>

Wyrażenia występujące w równaniach Eulera-Lagrange’a mają swoje nazwy:
:: <math>\frac{\partial L}{\partial q_k} = F_k</math> – '''siła uogólniona''' (jej <math>k</math>-ta składowa),
:: <math>\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} = p_k</math> – '''pęd uogólniony''' (jego <math>k</math>-ta składowa).

==== Przykład: Maszyna Atwooda ====
[[Plik:AtwoodMachine.png|thumb|Maszyna Atwooda. <math>x_1</math> i <math>x_2</math> to odległości ciał o masach odpowiednio <math>m_1</math> i <math>m_2</math> od poziomu osi krążka. Do opisu układu potrzebne są dwie współrzędne stanu (<math>x_1</math> i <math>x_2</math>).]]
Mamy układ dwóch mas <math>m_1</math> <math>m_2</math> w stałym polu grawitacyjnym <math>\vec{g}</math> przewieszonych przez nieważki krążek. Linka, na której wiszą również jest nieważka i nierozciągliwa.
Chcemy znaleźć równania ruchu tych mas.

Mamy:
:: <math>E_{kin} = \frac{m_1 \dot{x_1}^2}{2} + \frac{m_2 \dot{x_2}^2}{2},</math>
:: <math>E_{pot} = m_1g(-x_1) + m_2g(-x_2),</math>

czyli lagrangian ma postać:
:: <math>L = E_{kin} - E_{pot} = \frac{m_1 \dot{x_1}^2}{2} + \frac{m_2 \dot{x_2}^2}{2} + m_1gx_1 + m_2gx_2.</math>

A ponieważ linka jest nierozciągliwa <math>x_1 = -x_2 + C,</math> gdzie C jest pewną stałą związana z długością linki. Otrzymujemy lagrangian zależny tylko od jednej współrzędnej:
:: <math>L = \frac{(m_1+m_2) \dot{x_1}^2}{2} + (m_1-m_2)gx_1 + m_2gC.</math>

Składowe równania Eulera-Lagrange’a:
:: <math>\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x_1}}\right) = \frac{d}{dt} \left({(m_1+m_2) \dot{x_1}} \right) = {(m_1+m_2) \ddot{x_1}},</math>
:: <math>\frac{\partial L}{\partial x_1} = (m_1-m_2)g.</math>

Z równania Eulera-Lagrange’a:
:: <math>\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x_1}}\right) - \frac{\partial L}{\partial x_1} = {(m_1+m_2) \ddot{x_1}} - (m_1-m_2)g = 0.</math>

Rozwiązując względem <math>\ddot x_1,</math> otrzymujemy stałe przyspieszenie:
:: <math>\ddot{x_1} = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}g.</math>

Całkując powyższe równanie dwukrotnie, otrzymamy:
:: <math>x_1(t) = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}g \frac{t^2}{2} + v_1(0)t + x_1(0),</math>

gdzie <math>v_1(0)</math> i <math>x_1(0)</math> to prędkość i położenie masy <math>m_1</math> w chwili <math>t=0.</math>

Trajektorię drugiego ciała łatwo teraz wyznaczyć:
:: <math>x_2(t) = -x_1(t) + C.</math>

=== Brachistochrona ===
{{osobny artykuł|Brachistochrona}}
Brachistochrona to taka krzywa łącząca punkty A i B, że czas ruchu masy punktowej od punktu A do B pod wpływem siły ciężkości <math>mg</math> jest minimalny. Problem znajdowania takiej krzywej można rozwiązać przy użyciu równania Eulera-Lagrange’a. W tym przypadku szukamy takiej krzywej <math>y(x),</math> żeby czas <math>t</math> był minimalny:
:: <math>t = \int\limits_A^B \frac{ds}{v},</math>

gdzie:
: <math>v = \sqrt{2gy}</math> – prędkość ciała, której zależność od <math>y</math> wynika z [[Zasada zachowania energii|zasady zachowania energii]],
: <math>ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{(x'(y))^2 + 1}dy</math> – [[różniczka]] drogi.

Podstawiając, otrzymujemy:
:: <math>t = \frac{1}{\sqrt{2g}} \int\limits_A^B \sqrt\frac{{x'(y)}^2 + 1}{y}dy = \frac{1}{\sqrt{2g}} \int\limits_A^B fdy,</math>

gdzie:
: <math>f = \sqrt\frac{{x'(y)}^2 + 1}{y}.</math>

Czas ruchu będzie minimalny dla krzywej <math>x(y)</math> spełniającej równanie Eulera-Lagrange’a:
:: <math>\frac{d}{dy} \frac{\partial f}{\partial x'} - \frac{\partial f}{\partial x} = 0.</math>

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy brachistochronę:
:: <math>x(\theta) = \frac{1}{2}k^2 (\theta - \sin\theta),</math>
:: <math>y(\theta) = \frac{1}{2}k^2 (1-\cos\theta),</math>

gdzie <math>k</math> to stała zależna od warunków brzegowych, czyli od punktów A i B.

=== Krzywa łańcuchowa ===
{{osobny artykuł|Krzywa łańcuchowa}}
Równanie Eulera-Lagrange’a pozwala także wyznaczyć krzywą łańcuchową<ref>http://math.arizona.edu/~flaschka/Topmatter/527files/termpapers/smallwood.pdf.</ref>, która opisuje kształt doskonale nierozciągliwej i nieskończenie wiotkiej liny o niezerowej masie swobodnie zwisającej między dwoma punktami A i B w jednorodnym polu grawitacyjnym <math>g.</math> [[Układ mechaniczny]] jest w [[Równowaga (mechanika)|równowadze]], gdy jego [[energia potencjalna]] jest minimalna. Energia potencjalna wynosi:
:: <math>E_{pot} = \int\limits_A^B \rho g y(x) ds,</math>

gdzie:
: <math>\rho</math> – gęstość liniowa linki,
: <math>ds = \sqrt{dx^2 + dy^2} = \sqrt{1+ (y'(x))^2}dx</math> – [[różniczka]] [[Długość krzywej|długości krzywej]].

Podstawiając, otrzymujemy:
:: <math>E_{pot} = \rho g \int\limits_{x_1}^{x_2} y\sqrt{1+ (y'(x))^2}dx = \rho g \int\limits_{x_1}^{x_2} fdx,</math>

gdzie:
: <math>f = y\sqrt{1+ (y'(x))^2}.</math>

Aby energia potencjalna była minimalna, <math>f</math> musi spełniać równanie Eulera-Lagrange’a:
:: <math>\frac{d}{dx} \frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = 0.</math>

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy postać [[krzywa łańcuchowa|krzywej łańcuchowej]]:
:: <math>y(x) = a \, \cosh \left(\frac{x}{a} \right),</math>

gdzie <math>a</math> jest stałą zależną od długości liny i położenia punktów A i B.

== Dowód ==
Niech <math>x</math> będzie ciągłą funkcją parametru <math>t</math> o zadanych warunkach początkowych i końcowych:
:: <math>x\colon \mathbb R \to \mathbb R^n</math> i <math>x(t_1) = x_1, x(t_2) = x_2.</math>

Mamy daną funkcję <math>L(x,x',t)</math> i szukamy takich <math>x(t),</math> żeby <math>S[x]=\int \limits_{t_1}^{t_2} Ldt</math> było stacjonarne.
Załóżmy, że <math>x_0</math> jest takim rozwiązaniem.

Wprowadźmy do rozważań parametr <math>\alpha \in \mathbb R</math> niezależny od czasu oraz funkcję ciągłą <math>\varphi(t)</math> taką, że <math>\varphi(t_1)=0</math> oraz <math>\varphi(t_2)=0.</math>
Jeżeli przyjmiemy, że <math>x = x_0 + \alpha\varphi,</math> to zagadnienie sprowadzi się do analizy funkcji jednej zmiennej <math>\alpha</math>
:: <math>S(\alpha) = \int \limits_{t_1}^{t_2} L(x_0+ \alpha\varphi, {x_0}'+ \alpha\varphi',t)dt.</math>

Gdy <math>S</math> jest stacjonarne, to
:: <math>\frac{dS}{d\alpha} = 0,</math>
:: <math>\frac{dS}{d\alpha} = \int \limits_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \alpha}dt</math> – [[twierdzenie Leibniza (o różniczkowaniu pod znakiem całki)]].

Korzystając ze wzoru na pochodną [[reguła łańcuchowa|funkcji złożonej]], otrzymujemy:
:: <math>0 = \frac{dS}{d\alpha} = \int \limits_{t_1}^{t_2} (\varphi\frac{\partial L}{\partial x} + \varphi'\frac{\partial L}{\partial x'})dt = \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi\frac{\partial L}{\partial x}dt + \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi'\frac{\partial L}{\partial x'}dt.</math>

Całkując drugi człon [[całkowanie przez części|przez części]], mamy:
:: <math>0 = \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi\frac{\partial L}{\partial x}dt + \left[\varphi(t)\frac{\partial L}{\partial x'} \right]_{t_1}^{t_2} - \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial x'}dt.</math>

Ponieważ <math>x(t_1) = x_1</math> dla każdego <math>x,</math> więc <math>\varphi(t_1) = 0.</math> Podobnie <math>\varphi(t_2) = 0.</math> Wobec tego <math>\left[\varphi(t)\frac{\partial L}{\partial x'} \right]_{t_1}^{t_2} = 0</math> i stąd
:: <math>0 = \int \limits_{t_1}^{t_2} \varphi \left(\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial x'} \right) dt.</math>

Ponieważ warunek ten musi być spełniony dla dowolnej funkcji <math>\varphi(t),</math> więc otrzymamy równanie
:: <math>\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial x'} = 0</math>

stanowiące [[warunek konieczny]] istnienia ekstremum funkcjonału <math>S[x].</math>

== Uogólnienia dla kilku funkcji, kilku zmiennych, wyższych pochodnych ==
=== Pojedyncza funkcja jednej zmiennej z wyższymi pochodnymi ===
Wartość stacjonarna funkcjonału
:: <math>I[f] = \int_{x_0}^{x_1} \mathcal{L}(x, f, f', f'', \dots, f^{(k)})~\mathrm{d}x;\;\;
f' := \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x},\;\;
f'' := \frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2},\;\;
f^{(k)} := \frac{\mathrm{d}^kf}{\mathrm{d}x^k}</math>

można otrzymać z równań Eulera-Lagrange’a postaci
:: <math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f}
- \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f'}\right)
+ \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f''}\right) - \ldots
+ (-1)^k \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d} x^k}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f^{(k)}}\right) = 0,</math>

przy ustalonych warunkach brzegowych dla funkcji i jej pochodnych od pierwszej do <math>k-1</math> (tj. dla <math>f^{(i)}, i \in \{0, \dots, k-1\}</math>). Punkty brzegowe pochodnej <math>f^{(k)}</math> są dowolne.

=== Kilka funkcji jednej zmiennej z pochodną I rzędu ===
Jeżeli mamy funkcje <math>(f_1, f_2, \dots, f_m)</math> zmiennej <math>(x)</math> to szukamy extremum funkcjonału
:: <math>I[f_1,f_2, \dots, f_m] = \int_{x_0}^{x_1} \mathcal{L}(x, f_1, f_2, \dots, f_m, f_1', f_2', \dots, f_m')\mathrm{d}x;\;\; f_i' := \frac{\mathrm{d}f_i}{\mathrm{d}x}.</math>

Równania Eulera-Lagrange’a mają postać
:: <math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_i} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_i'}\right) = 0,\quad i=1,2,\dots,m.</math>

=== Pojedyncza funkcja kilku zmiennych z pochodną I rzędu ===
Jeżeli funkcja zależy od wielu zmiennych jest określona na pewnej powierzchni <math>\Omega,</math> to
:: <math>I[f] = \int_\Omega \mathcal{L}(x_1, \dots, x_n, f, f_{, 1}, \dots, f_{, n})\, \mathrm{d}\mathbf{x};\;\; f_{, j} := \frac{\partial f}{\partial x_j}</math>

osiąga ekstremum, gdy
:: <math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f} - \sum_{j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{, j}}\right) = 0.</math>

Dla <math>n = 2</math> funkcjonał <math>\mathcal I</math> jest funkcjonałem energii; ekstremum jest powierzchnią minimalną (np. bańki mydlanej).

=== Kilka funkcji kilku zmiennych z pochodnymi I rzędu ===
Jeśli trzeba wyznaczyć kilka nieznanych funkcji o wielu zmiennych, takich że
:: <math>I[f_1,f_2,\dots,f_m] = \int_\Omega \mathcal{L}(x_1, \dots, x_n, f_1, \dots, f_m, f_{1,1}, \dots, f_{1,n}, \dots, f_{m,1}, \dots, f_{m,n}) \, \mathrm{d}\mathbf{x}</math>
:: <math>f_{i,j} := \frac{\partial f_i}{\partial x_j},</math>

to [[układ równań]] Eulera-Lagrange’a ma postać
:: <math>\begin{align}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_1} - \sum_{j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{1,j}}\right) &= 0_1, \\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_2} - \sum_{j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{2,j}}\right) &= 0_2, \\
\vdots \qquad \qquad \\
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_m} - \sum_{j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_j}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{m,j}}\right) &= 0_m.
\end{align}</math>

=== Pojedyncza funkcja o 2 zmiennych z wyższymi pochodnymi ===
Jeżeli nieznana funkcja <math>f</math> zależy od dwóch zmiennych <math>x_1</math> oraz <math>x_2</math> i jeżeli funkcjonał zależy od wyższych pochodnych funkcji – od pierwszej aż do <math>n</math>-tej, tj.
:: <math>\begin{align}
I[f] &= \int_\Omega \mathcal{L}(x_1, x_2, f, f_{,1}, f_{,2}, f_{,11}, f_{,12}, f_{,22}, \dots, f_{,22\dots 2})\, \mathrm{d}\mathbf{x} \\
& \qquad \quad
f_{,i} := \frac{\partial f}{\partial x_i} \; , \quad
f_{,ij} := \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} \; , \;\; \dots
\end{align}</math>

to równanie Eulera-Lagrange’a ma postać
:: <math>\begin{align}
& \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f}
- \frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{,1}}\right)
- \frac{\partial}{\partial x_2}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{,2}}\right)
+ \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{,11}}\right)
+ \frac{\partial^2}{\partial x_1\partial x_2}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{,12}}\right)
+ \frac{\partial^2}{\partial x_2^2}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{,22}}\right) \\
& - \ldots
+ (-1)^k \frac{\partial^k}{\partial x_2^k}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{,22\dots 2}}\right) = 0,
\end{align}</math>

co można krótko zapisać w postaci
:: <math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f} +\sum_{j=1}^n \sum_{\mu_1 \leqslant \ldots \leqslant \mu_j} (-1)^j \frac{\partial^j}{\partial x_{\mu_1}\dots \partial x_{\mu_j}} \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{,\mu_1\dots\mu_j}}\right) = 0,</math>

gdzie <math>\mu_1 \dots \mu_j</math> są indeksami które przebiegają od 1 do liczny zmiennych, np. tutaj przyjmują wartości od 1do 2. Sumowanie po indeksach <math>\mu_1 \dots \mu_j</math> jest takie, że <math>\mu_1 \leqslant \mu_2 \leqslant \ldots \leqslant \mu_j</math> tzn. nie może być sumowania tej samej [[Pochodna cząstkowa|pochodnej cząstkowej]] dwa razy – po przestawieniu kolejności zmiennych; np. <math>f_{,12} = f_{,21}</math> pojawia się tylko jeden raz.

=== Kilka funkcji o kilku zmiennych z wyższymi pochodnymi ===
Jeżeli jest <math>p</math> nieznanych funkcji <math>f_i</math> zależnych od <math>m</math> zmiennych <math>x_1 \dots x_m</math> oraz funkcjonał zależy od pochodnych tych funkcji aż do <math>n</math>-tego rzędu, tj.
:: <math>\begin{align}
I[f_1,\dots,f_p] &= \int_\Omega \mathcal{L}(x_1, \dots, x_n; f_1,\dots,f_p; f_{1,1},\dots,
f_{p,m}; f_{1,11},\dots, f_{p,mm};\dots; f_{p,m\ldots m})\, \mathrm{d}\mathbf{x} \\
& \qquad \quad
f_{i,\mu} := \frac{\partial f_i}{\partial x_\mu} \; , \quad
f_{i,\mu_1\mu_2} := \frac{\partial^2 f_i}{\partial x_{\mu_1}\partial x_{\mu_2}} \; , \;\; \dots
\end{align}</math>

gdzie <math>\mu_1 \dots \mu_j</math> są indeksami o wartościach od 1 do m (tj. do liczby zmiennych), to równania Eulera-Lagrange’a mają postać
:: <math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_i} +\sum_{j=1}^n \sum_{\mu_1 \leqslant \ldots \leqslant \mu_j} (-1)^j \frac{\partial^j}{\partial x_{\mu_1}\dots \partial x_{\mu_j}} \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{i,\mu_1\dots\mu_j}}\right) = 0,</math>

gdzie sumowanie po indeksach <math>\mu_1 \dots \mu_j</math> jest takie, by nie powtarzać sumowania samych pochodnych cząstkowych <math>f_{i,\mu_1\mu_2} = f_{i,\mu_2\mu_1}</math> kilka razy (podobnie jak w podrozdziale powyżej). Można to wyrazić w bardziej zwarty sposób w postaci:
:: <math>\sum_{j=0}^n \sum_{\mu_1 \leqslant \ldots \leqslant \mu_j} (-1)^j \partial_{\mu_1\ldots \mu_j}^j \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{i,\mu_1\dots\mu_j}}\right) = 0.</math>

== Uogólnienia na rozmaitości ==
Niech <math>M</math> będzie gładką rozmaitością oraz niech <math>C^\infty([a,b])</math> oznacza przestrzeń funkcji gładkich <math>f\colon [a,b]\to M.</math> Wtedy dla funkcjonałów <math>S\colon C^\infty ([a,b])\to \mathbb{R}</math> w postaci
:: <math>S[f] = \int_a^b (L\circ\dot{f})(t)\,\mathrm{d} t,</math>

gdzie <math>L\colon TM\to\mathbb{R}</math> jest lagrangianem wyrażenie <math>\mathrm{d} S_f = 0</math> jest równoważne warunkowi, że dla wszystkich <math>t\in [a,b],</math> każdy układ <math>(x^i,X^i)</math> w sąsiedztwie <math>\dot{f}(t)</math> prowadzi do <math>\dim M</math> o równaniach:
:: <math>\forall i\colon \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial F}{\partial X^i}\bigg|_{\dot{f}(t)} = \frac{\partial F}{\partial x^i}\bigg|_{\dot{f}(t)}.</math>

== Zobacz też ==
Układy rozwiązane za pomocą równań Eulera-Lagrange'a:
* [[wahadło]]
* [[wahadło elastyczne]] 
* [[wahadło podwójne]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Arnold |imię = W.I. |autor link = Władimir Arnold |tytuł = Metody matematyczne mechaniki klasycznej |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |strony = 56–61 |miejsce = Warszawa |rok = 1981 |isbn = 83-01-00143-7 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę|imię=W.|nazwisko=Królikowski|imię2=W.|nazwisko2=Rubinowicz|tytuł=Mechanika teoretyczna|wydawca=PWN|miejsce=Warszawa|data=2012|autor link=Wojciech Królikowski|autor link2=Wojciech Rubinowicz|odn=tak}}
* {{cytuj książkę|nazwisko=Landau|imię=Lew Dawidowicz|autor link=Lew Landau|imię2=E.M.|nazwisko2=Lifszyc|tytuł=Mechanika|wydawca=PWN|miejsce=Warszawa|data=2011|odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Taylor |imię = John R. |tytuł = Mechanika klasyczna |tom = 1 |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |miejsce = Warszawa |strony = 212–271 |rok = 2006 |isbn = 978-83-01-14674-0 |odn = tak}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Rachunek wariacyjny]]
[[Kategoria:Równania różniczkowe cząstkowe]]
[[Kategoria:Leonhard Euler]]