Tekst źródłowy strony Przestrzeń topologiczna

'''Przestrzeń topologiczna''' – [[zbiór]] <math>X</math> wraz z wyróżnioną rodziną <math>\tau</math> [[podzbiór|podzbiorów]] tego zbioru spełniających odpowiednie własności zwane ''[[#Aksjomaty topologii|aksjomatami topologii]]''. Rodzina <math>\tau</math> nazywana jest '''topologią''' na zbiorze <math>X,</math> a jej elementy nazywane są ''zbiorami otwartymi'' w <math>X</math><ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Przestrzeń topologiczna | id = 3988109 | data dostępu = 2021-08-07 }}</ref><ref name="epwn-top">{{Encyklopedia PWN | id = 4010277 | tytuł = topologia (2) | data dostępu = 2022-02-04 }}</ref>. [[Dopełnienie zbioru|Dopełnienia]] zbiorów otwartych nazywane są ''zbiorami domkniętymi''. W niepustym zbiorze można wyróżnić wiele różnych topologii.

Przestrzeń topologiczna jest ''[[Przestrzeń metryzowalna|metryzowalna]]'', gdy istnieje taka [[Przestrzeń metryczna|metryka]] <math>d</math> na <math>X,</math> że każdy niepusty zbiór otwarty w <math>X</math> można przedstawić jako sumę pewnej rodziny kul otwartych względem metryki <math>d.</math> Nie wszystkie przestrzenie topologiczne są jednak metryzowalne – stąd pojęcie przestrzeni topologicznej jest ogólniejsze od pojęcia przestrzeni metrycznej. Intuicyjnie pojęcie topologii umożliwia określenie, czy dany punkt przestrzeni <math>X</math> „styka się” z danym podzbiorem lub jest od niego „odizolowany”, czy leży w jego „wnętrzu” lub na „obrzeżach”.

Przestrzenie topologiczne pojawiają się w wielu dziedzinach matematyki takich jak [[analiza matematyczna]], [[częściowy porządek|teoria porządków]] (zob. [[topologia porządkowa]]) czy [[geometria algebraiczna]] (zob. [[Spektrum pierścienia|topologia Zariskiego]]). Pojęcie topologii jest podstawowym pojęciem [[topologia|topologii ogólnej]].

== Motywacja ==
[[Plik:Mug and Torus morph.gif|thumb|260px|[[Niezmiennik topologiczny|Niezmienniki]] przestrzeni topologicznych to własności zachowujące się mimo przekształceń [[Homeomorfizm|homeomorficznych]], tj. bez rozrywania i sklejania: kubek i [[torus (matematyka)|torus]] są homeomorficzne – można przekształcić jeden w drugi.]]
Wiele własności obiektów rozważanych w [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]] można scharakteryzować za pomocą [[zbiór otwarty|zbiorów otwartych]]. Na przykład:

1) Ogólna definicja [[Funkcja ciągła|ciągłości]] funkcji wymaga odwołania się do zbiorów otwartych, np. funkcja <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> jest [[funkcja ciągła|ciągła]] wtedy i tylko wtedy, gdy [[przeciwobraz]] <math>f^{-1}(U)</math> dowolnego otwartego zbioru <math>U \subseteq\mathbb R</math> jest otwarty.

2) W [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]] ''X'' ''kulę otwartą'' o środku w punkcie ''x'' i promieniu ''r'' definiuje się jako zbiór punktów [[Odległość|odległych]] od punktu ''x'' o mniej niż zadana odległość ''r''. ''Zbiory otwarte'' definiuje się wtedy jako [[suma mnogościowa|sumy mnogościowe]] (możliwie nieprzeliczalne wielu) takich kul. Np. kulami otwartymi na prostej są [[przedział (matematyka)|przedziały otwarte]], np. (2, 7), zaś zbiorami otwartymi – ich sumy. Podzbiory otwarte [[liczby rzeczywiste|prostej rzeczywistej]] mają szereg ważnych własności, m.in.
* cała prosta jest zbiorem otwartym,
* [[część wspólna]] skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
* [[suma zbiorów|suma]] [[Zbiór przeliczalny|przeliczalnej]] rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
* w szczególności otwarty jest też [[zbiór pusty]], gdyż jest sumą pustej rodziny zbiorów otwartych.

Powyższe własności zbiorów otwartych prostej <math>\mathbb R</math> uogólniają się na dowolne [[przestrzeń metryczna|przestrzenie metryczne]].

Okazało się, że niekiedy użyteczniejsza jest sama struktura zbiorów otwartych, a nie metryka, którą zakładano w definicji zbiorów otwartych. Przestrzeń topologiczna stanowi właśnie uogólnienie przestrzeni metrycznej w tym duchu.

''[[Niezmiennik]]i topologiczne'' to własności przestrzeni topologicznych zachowywane przy przekształceniach zwanych ''[[homeomorfizm|homeomorfizmami]]''; mówiąc nieformalnie, odwzorowania takie rozciągają, skręcają, ale nie rozrywają ani nie sklejają podzbiorów przestrzeni. Przestrzenie, między którymi istnieje homeomorfizm, nazywane są ''topologicznie równoważne'' lub ''homeomorficzne''. Aby wykazać, że dwie przestrzenie są różne z punktu widzenia topologii, wystarczy wskazać niezmiennik jednej z nich, którego druga nie ma. Do niezmienników topologicznych należą m.in. [[przestrzeń zwarta|zwartość]], [[przestrzeń ośrodkowa|ośrodkowość]] i [[przestrzeń spójna|spójność]] (lecz nie [[przestrzeń zupełna|zupełność]], która jest niezmiennikiem metrycznym), czy różne [[aksjomaty oddzielania]]. Są one obiektem badań [[topologia|topologii ogólnej]].

Innym ważnym przekształceniem przestrzeni topologicznych jest słabsza od homeomorfizmu ''[[homotopia]]'' wskazująca ''homotopijną równoważność'' dwóch przestrzeni, przykładami niezmienników jest np. [[przestrzeń spójna#Spójność drogowa i łukowa|drogowa spójność]], [[przestrzeń jednospójna|jednospójność]], [[izomorfizm|izomorficzność]] ([[homologia singularna|singularnych]]) [[homologia (matematyka)|grup homologii]] i [[kohomologia|grup kohomologii]], czy izomorficzność [[grupa podstawowa|grup podstawowych]] i wyższych [[grupa homotopii|grup homotopii]] jednospójnych przestrzeni topologicznych. Ich badaniem zajmuje się przede wszystkim [[topologia algebraiczna]].

== Aksjomaty topologii ==
[[Plik:Topological space examples.svg|thumb|300px|Cztery przykłady i dwa kontrprzykłady topologii utworzonych na zbiorze o trzech elementach {1,2,3}. U dołu pokazano zbiory podzbiorów, które nie są topologiami: z lewej brakuje sumy podzbiorów {2} i {3} [tj. {2,3}], z prawej zaś brakuje części wspólnej podzbiorów {1,2} i {2,3} [tj. {2}].]]

Niech dany będzie zbiór <math>X</math> i niech <math>\tau</math> będzie rodziną podzbiorów zawartych w <math>X</math> spełniającą następujące warunki<ref>Witold Kołodziej, ''Analiza matematyczna'', [[Wydawnictwo Naukowe PWN]], Warszawa 2009, s. 71–72.</ref>:

* '''(1)''' zbiór <math>X</math> oraz [[zbiór pusty]] należą do <math>\tau</math>

:: <math>X \in \tau, \quad \varnothing \in \tau,</math>
* '''(2)''' '''część wspólna''' dowolnych dwóch zbiorów należących do <math>\tau</math> także należy do <math>\tau{:}</math>
:: <math>U,V\in \tau \Rightarrow U \cap V \in \tau,</math>
* '''(3) suma''' dowolnej, nawet '''nieprzeliczalnej''' liczby zbiorów należących do <math>\tau</math> także należy do <math>\tau</math>
:: <math>\sigma\subseteq \tau \Rightarrow \bigcup\sigma \in \tau.</math>

Rodzinę <math>\tau</math> nazywa się ''topologią na zbiorze X'' lub ''rodziną zbiorów otwartych''.

Elementy rodziny <math>\tau</math> nazywa się '''[[zbiór otwarty|zbiorami otwartymi]]''', ich dopełnienia do zbioru <math>X</math> – '''[[zbiór domknięty|zbiorami domkniętymi]]'''.

Zbiory, które są jednocześnie otwarte i domknięte, nazywa się ''[[zbiór otwarto-domknięty|'''zbiorami otwarto-domkniętymi''']].'' Takimi zbiorami są zbiór <math>X</math> oraz zbiór pusty.

[[Para uporządkowana|Parę uporządkowaną]] (<math>X,</math> <math>\tau</math>) składającą się ze zbioru <math>X</math> oraz topologii <math>\tau</math> na nim określonej nazywa się '''przestrzenią topologiczną'''.

'''Uwagi:'''

A) Warunek '''(2)''' definiujący rodzinę <math>\tau</math> implikuje, że do <math>\tau</math> należą dowolne '''skończone''' '''iloczyny''' zbiorów należących do topologii. Nie można rozszerzyć tego warunku na '''nieskończone iloczyny''', gdyż iloczyny takie mogą dać zbiory np. jednostronnie lub dwustronnie domknięte:<math>[0,1] = \bigcap_{n=1}^\infty (-1/n,1/n+1),\quad (0,1] = \bigcap_{n=1}^\infty (0,1/n+1),\quad [0,1) = \bigcap_{n=1}^\infty (-1/n,1).</math>

B) Z drugiej strony ograniczenie warunku '''(3)''' na skończone operacje uniemożliwiłoby np. poprawne zdefiniowanie wnętrza zbioru.

C) To razem pokazuje, że skuteczność aksjomatyki rodziny zbiorów otwartych wynika z pewnej „'''asymetrii'''” aksjomatów.

== Pojęcia ==
{{Osobny artykuł|wnętrze (matematyka)|domknięcie (topologia)|brzeg (matematyka)|o1=wnętrze|o2=domknięcie|o3=brzeg}}
Niech dana będzie przestrzeń topologiczna <math>(X, \tau).</math>
'''Wnętrzem''' <math>\operatorname{int} A</math><ref group="uwaga" name="opername">Oznaczenia <math>\operatorname{int},</math> <math>\operatorname{cl},</math> <math>\operatorname{bd},</math> <math>\operatorname{fr}</math> pochodzą od [[język angielski|angielskich]] słów ''interior'' („wnętrze”), ''closure'' („domknięcie”) oraz ''border'', ''frontier'' („granica”, tu: „brzeg”) bądź ich [[język francuski|francuskich]] odpowiedników.</ref> zbioru <math>A</math> nazywa się największy (w sensie [[podzbiór|zawierania]]) zbiór otwarty zawarty w <math>A;</math> z kolei '''domknięcie''' <math>\operatorname{cl} A</math><ref group="uwaga" name="opername" /> zbioru <math>A</math> to najmniejszy (w sensie zawierania) zbiór domknięty zawierający zbiór <math>A,</math> tzn.
: <math>\operatorname{int} A := \bigcup \{U \in \tau \colon U \subseteq A\}</math>

oraz
: <math>\operatorname{cl} A := \bigcap \{F \subseteq X \colon F \supseteq A \text{ oraz } X \setminus F \in \tau\}.</math>

'''Brzegiem''' <math>\operatorname{bd} A</math> (oznaczanym też <math>\operatorname{fr} A</math>)<ref group="uwaga" name="opername" /> zbioru <math>A</math> nazywa się [[różnica zbiorów|różnicę]] domknięcia i wnętrza tego zbioru (dopełnienie wnętrza względem domknięcia zbioru), tj.
: <math>\operatorname{bd} A := \operatorname{cl} A \setminus \operatorname{int} A</math>

Operacje wnętrza, domknięcia i brzegu są [[idempotentność|idempotentne]]. Ponadto operacje wnętrza i domknięcia są do siebie dualne w następującym sensie:
* dopełnienie domknięcia jest wnętrzem dopełnienia,
*: <math>(\operatorname{cl} A)^\operatorname c = \operatorname{int}(A^\operatorname c);</math>
* dopełnienie wnętrza jest domknięciem dopełnienia,
*: <math>(\operatorname{int} A)^\operatorname c = \operatorname{cl}(A^\operatorname c);</math>
* zbiór <math>A</math> jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\operatorname{int} A = A;</math>
* zbiór <math>A</math> jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\operatorname{cl} A = A;</math>

gdzie <math>A^\operatorname c = X \setminus A</math> oznacza [[dopełnienie zbioru]] <math>A</math> (względem <math>X</math>).

== Przykłady ==
W dowolnym zbiorze <math>X</math> można wprowadzić wiele różnych topologii, np.:
* [[przestrzeń antydyskretna|topologia antydyskretna]], w której jedynymi zbiorami otwartymi są [[zbiór pusty]] i cała przestrzeń <math>X.</math>
* [[przestrzeń dyskretna|topologia dyskretna]], w której wszystkie podzbiory zbioru <math>X</math> są otwarte, czyli topologią jest [[zbiór potęgowy]] zbioru <math>X.</math>
* niech <math>X</math> jest zbiorem nieskończonym, niech <math>|A|</math> oznacza [[moc zbioru]] <math>A,</math> niech <math>\aleph_0</math> (czyt. [[Skala alefów|alef zero]]) oznacza najmniejszą z mocy zbiorów nieskończonych (równą mocy zbioru [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]]); podane niżej rodziny podzbiorów zbioru <math>X</math> są topologiami:
** ''topologia dopełnień skończonych'', w której zbiorami otwartymi są te zbiory, których dopełnienie jest skończone,
**: <math>\tau_1=\{U\subseteq X\colon |U^\operatorname c|<\aleph_0\};</math>
** ''topologia dopełnień przeliczalnych'', w której zbiorami otwartymi są te zbiory, których dopełnienie jest przeliczalne,
**: <math>\tau_2=\{U\subseteq X\colon |U^\operatorname c|\leqslant\aleph_0\};</math>
** topologia zbiorów skończonych, do których nie należy wyróżniony punkt <math>p\in X</math>
**: <math>\tau_3=\{U\subseteq X\colon |U^\operatorname c|<\aleph_0,\; p\notin U\}\cup\{X\}.</math>

Topologie często używane jako kontrprzykłady na stawiane przez matematyków hipotezy, np. [[miotełka Knastera-Kuratowskiego]], [[płaszczyzna Niemyckiego]], [[prosta Sorgenfreya]], [[przestrzeń Apperta]], [[rogata sfera Alexandera]]. Opis nietypowych topologii można znaleźć w monografii Steena i Seebacha<ref>Lynn Arthur Steen i J. Arthur Seebach, Jr., ''Counterexamples in Topology''. Springer-Verlag, Nowy Jork, 1978. Przedruk: Dover Publications, Nowy Jork, 1995. {{ISBN|0-486-68735-X}} (wydanie Dover).</ref>.

== Sposoby wprowadzania topologii ==
Oprócz podanej w sekcji [[#Aksjomaty przestrzeni topologicznej|Aksjomaty przestrzeni topologicznej]] metody definiowania topologii istnieją inne, równoważne metody jej wprowadzania. Oto kilka z nich.

=== Rodzina zbiorów domkniętych ===
Niech rodzina <math>\mathcal F</math> podzbiorów <math>X</math> spełnia warunki:
# <math>\varnothing,X \in \mathcal F,</math>
# [[suma zbiorów|suma]] [[zbiór skończony|skończenie wielu]] zbiorów z <math>\mathcal F</math> należy do <math>\mathcal F,</math>
# [[część wspólna]] dowolnej mnogości zbiorów z <math>\mathcal F</math> należy do <math>\mathcal F.</math>

Istnieje wówczas jedyna topologia <math>\tau</math> zbiorów otwartych na <math>X</math> taka, że jej zbiory są dopełnieniami zbiorów rodziny <math>\mathcal F.</math> W związku z tym <math>\mathcal F</math> nazywana jest ''rodziną zbiorów domkniętych''.

; Uwaga
Elementy należące do <math>\mathcal F</math> nazwane są tutaj zbiorami domkniętymi i są one dopełnieniami zbiorów zdefiniowanych aksjomatyką zbiorów otwartych. Aksjomatyka zbiorów domkniętych jest w gruncie rzeczy zastosowaniem [[Prawa De Morgana|praw De Morgana]] do aksjomatyki zbiorów otwartych, dlatego dopełnienie <u>nieskończonej sumy</u> zbiorów otwartych „zamienia się” w <u>nieskończony iloczyn</u> ich dopełnień, a dopełnienie <u>skończonego iloczynu</u> zbiorów otwartych „zamienia się” w <u>skończone dodawanie</u> ich dopełnień.

=== Operacja wnętrza ===
Niech będzie ustalona funkcja <math>\Phi\colon \mathcal P(X) \to \mathcal P(X)</math> spełniająca dla dowolnych <math>A,B\subseteq X</math>
następujące warunki:
# <math>\Phi(X)=X,</math>
# <math>\Phi(A) \subseteq A,</math>
# <math>\Phi(A \cap B)=\Phi(A) \cap \Phi(B),</math>
# <math>\Phi\big(\Phi(A)\big)=\Phi(A),</math>

; Twierdzenie Kuratowskiego
* rodzina <math>\tau=\{U\subseteq X\colon \Phi(U)=U\}</math> jest topologią na <math>X,</math>
* <math>\operatorname{Int}(A)=\Phi(A)</math> dla dowolnego <math>A \subseteq X.</math>
Funkcję <math>\Phi</math> nazywa się '''operacją [[Wnętrze (matematyka)|wnętrza]]''' dla topologii <math>\tau</math> (lub '''operacją Kuratowskiego''').

=== Operacja domknięcia ===
Niech będzie ustalona funkcja <math>\Psi\colon\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)</math> spełniająca dla dowolnych <math>A,B\subseteq X</math> następujące warunki:
# <math>\Psi(\varnothing)=\varnothing,</math>
# <math>A\subseteq \Psi(A),</math>
# <math>\Psi(A\cup B)=\Psi(A)\cup \Psi(B),</math>
# <math>\Psi\big(\Psi(A)\big)=\Psi(A),</math>

; Twierdzenie Kuratowskiego
* rodzina <math>\tau=\{X\setminus U\subseteq X\colon \Psi(U)=U\}</math> jest topologią na <math>X,</math>
* <math>\operatorname{cl}(A)=\Psi(A)</math> dla dowolnego <math>A \subseteq X.</math>

Funkcję <math>\Psi</math> nazywa się '''operacją domknięcia''' dla topologii <math>\tau.</math>

=== Bazy topologii ===
Niech rodzina <math>\mathcal B</math> podzbiorów zbioru <math>X</math> spełnia warunki:
# jeśli <math>U,V\in \mathcal{B}</math> oraz <math>x\in U\cap V,</math> to można znaleźć <math>W\in \mathcal{B}</math> taki że <math>x\in W\subseteq U\cap V,</math>
# dla każdego <math>x\in X</math> można znaleźć <math>U\in \mathcal{B}</math> takie że <math>x\in U,</math>

Istnieje wówczas (jedyna) topologia <math>\tau</math> na <math>X</math> taka, że rodzina <math>\mathcal B</math> jest [[Baza przestrzeni topologicznej|bazą]] tej topologii.

Przykładowo, jeśli <math>X</math> jest zbiorem wszystkich [[Ideał pierwszy (teoria pierścieni)|ideałów pierwszych]] <math>I</math> [[pierścień (matematyka)|pierścienia]] <math>\mathbb{Z},</math> to w <math>X</math> można określić topologię, której bazą jest zbiór
: <math>\{V_k\colon k\in\mathbb{N}\},</math> gdzie <math>V_k=\{I\in X\colon\; k\notin I\}.</math>

Innym przykładem może być przestrzeń topologiczna <math>X=\mathbb{N}\setminus\{1\}</math> z bazą
: <math>\{V_k\colon k\in\mathbb{N}\setminus\{1\}\},</math> gdzie <math>V_k=\{n\in X\colon\; n|k\}.</math>

=== Baza otoczeń ===
Niech <math>\{\mathcal B(x)\colon x \in X\}</math> jest rodziną podzbiorów zbioru <math>X</math> taką, że:
# dla każdego <math>x\in X,</math> <math>\mathcal B(x) \ne \varnothing</math> i dla każdego <math>U \in \mathcal B(x)</math> mamy <math>x \in U,</math>
# jeśli <math>x \in U \in \mathcal B(y),</math> <math>x, y \in X,</math> to istnieje <math>V \in \mathcal B(x)</math> takie, że <math>V \subseteq U,</math>
# dla każdych <math>U_1, U_2 \in \mathcal B(x),</math> <math>x \in X,</math> można znaleźć <math>U \in \mathcal B(x)</math> takie, że <math>U \subseteq U_1 \cap U_2.</math>

Niech <math>\tau</math> będzie rodziną wszystkich podzbiorów <math>X,</math> które mogą być przedstawione jako [[suma zbiorów|sumy]] podrodzin rodziny <math>\bigcup\{\mathcal B(x)\colon x\in X\}.</math> Wówczas <math>\tau</math> jest topologią na <math>X</math> i <math>\{\mathcal B(x)\colon x\in X\}</math> jest [[baza otoczeń|systemem (bazą) otoczeń otwartych]] dla tej topologii.

== Porównywanie topologii ==
{{Osobny artykuł|porównanie topologii|topologie komplementarne}}
W danym zbiorze można określić wiele topologii; jeżeli każdy zbiór otwarty w sensie topologii (tzn. element rodziny) <math>\tau_1</math> należy również do <math>\tau_2,</math> to mówi się, że <math>\tau_2</math> jest '''mocniejsza''' od <math>\tau_1,</math> a topologia <math>\tau_1</math> jest '''słabsza''' od <math>\tau_2.</math>

Rodzina <math>\mathcal T</math> wszystkich topologii na danym zbiorze <math>X</math> tworzy [[Krata (matematyka)#Zupełność|kratę zupełną]] z działaniami
* <math>\tau_1 \wedge \tau_2 = \tau_1 \cap \tau_2,</math>
* <math>\tau_1 \vee \tau_2 = \bigcap\{\tau \in \mathcal T\colon \tau_1 \cup \tau_2 \subseteq \tau\}</math>

dla <math>\tau_1, \tau_2 \in \mathcal T.</math>

Krata ta na ogół nie jest [[Algebra ogólna#Krata komplementarna|komplementarna]].

== Konstrukcje topologiczne ==
Każdy podzbiór przestrzeni topologicznej można wyposażyć w [[topologia podprzestrzeni|topologię podprzestrzeni]], w której zbiory otwarte są przekrojami zbiorów otwartych przestrzeni z danym podzbiorem.
Dla dowolnej [[rodzina zbiorów|rodziny indeksowanej]] przestrzeni topologicznych ich produkt może być wyposażony w [[topologia produktowa|topologię produktową]], która jest generowana przez [[przeciwobraz]]y zbiorów otwartych czynników w [[Retrakcja (topologia)|przekształceniach rzutów]]. Przykładowo, w produktach skończonych, baza topologii produktowej składa się ze wszystkich produktów zbiorów otwartych. Dla produktów nieskończonych istnieje dodatkowy warunek, iż w zbiorze otwartym z bazy wszystkie poza skończenie wieloma z jego rzutów są całą przestrzenią.

[[Topologia ilorazowa|Przestrzeń ilorazowa]] zdefiniowana jest następująco: jeśli <math>X</math> jest przestrzenią topologiczną, zaś <math>Y</math> jest dowolnym zbiorem, a <math>f\colon X \to Y</math> jest [[funkcja|funkcją]] [[funkcja „na”|suriektywną]], to topologią ilorazową na <math>Y</math> jest rodzina podzbiorów <math>Y,</math> które mają otwarte przeciwobrazy w <math>f.</math> Innymi słowy topologia ilorazowa jest najbogatszą topologią na <math>Y,</math> w której <math>f</math> jest ciągłe. Popularnym przykładem topologii ilorazowej jest zdefiniowanie [[relacja równoważności|relacji równoważności]] na przestrzeni topologicznej <math>X.</math> Wówczas przekształcenie <math>f</math> jest naturalnym rzutem na zbiór klas abstrakcji.

'''Topologia Vietorisa''' na zbiorze wszystkich niepustych podzbiorów przestrzeni topologicznej <math>X,</math> nosząca nazwisko [[Leopold Vietoris|Leopolda Vietorisa]], jest generowana przez następującą bazę: dla każdej <math>n</math>-tki <math>U_1, \dots, U_n</math> zbiorów otwartych w <math>X</math> konstruuje się bazę składającą się ze wszystkich podzbiorów sumy <math>U_i,</math> które mają niepuste przecięcie z każdym <math>U_i.</math>

== Struktury algebraiczne ==
Dla dowolnego [[algebra ogólna|obiektu algebraicznego]] można wprowadzić topologię dyskretną, w której działania algebraiczne są funkcjami ciągłymi. W każdej takiej strukturze, która nie jest skończona, istnieje często topologia naturalna, zgodna z działaniami algebraicznymi w tym sensie, że dalej są one ciągłe. Prowadzi to do takich pojęć jak [[grupa topologiczna|grupy topologiczne]], [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzenie liniowo-topologiczne]], [[pierścień topologiczny|pierścienie topologiczne]], czy [[ciało lokalne|ciała lokalne]].

== Podobne struktury ==
Następujące przestrzenie i algebry są przypadkami szczególnymi lub ogólnymi przedstawionych wyżej przestrzeni topologicznych:
* [[przestrzeń z bliskością]] dostarcza pojęcia bliskości dwóch zbiorów,
* [[przestrzeń metryczna]] daje precyzyjne pojęcie odległości między dwoma punktami,
* [[przestrzeń jednostajna]] aksjomatyzuje porządek odległości między różnymi punktami,
* [[przestrzeń Cauchy’ego]] jest aksjomatyzacją możliwości sprawdzenia, czy dany [[ciąg uogólniony]] jest Cauchy’ego; dają one możliwość badania [[przestrzeń zupełna|uzupełnień]],
* [[przestrzenie ze zbieżnością]] ujmują pewne cechy zbieżności [[filtr (matematyka)|filtrów]],
* [[przestrzeń mierzalna|σ-algebra]] oparta na pojęciu [[miara (matematyka)|zbioru mierzalnego]].

== Zobacz też ==
* [[aksjomaty oddzielania]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* Witold Kołodziej: ''Analiza matematyczna'', Warszawa: [[Wydawnictwo Naukowe PWN]], 2009.

== Literatura dodatkowa ==
* [[Ryszard Engelking]]: ''Topologia ogólna'', Warszawa: PWN, 1976.
* [[Kazimierz Kuratowski]]: ''Wstęp do teorii mnogości i topologii''. Wyd. 4, Warszawa: PWN, 1966.
* ''Handbook of set-theoretic topology''. Red. Kenneth Kunen i Jerry E. Vaughan. Wyd. 1. Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1984.
* [[Jun-iti Nagata]]: ''Modern General Topology''. Wyd. 2 (poprawione). Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1985.

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Topological_space Topological space]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
{{otwarty dostęp}} Nagrania na [[YouTube]] {{lang|en}} [dostęp 2024-08-31]:
* B. Franzosa, ''[https://www.youtube.com/watch?v=zsN_guq__Ac| Introduction to Topology]'', 12 lutego 2010.
* N.J. Wildberger, ''[https://www.youtube.com/watch?v=RlAOCBY4YQs Topological spaces and manifolds]'', 30 grudnia 2013.
* F.P. Schuller, ''[https://www.youtube.com/watch?v=7G4SqIboeig| Topology (International Winter School on Gravity and Light 2015 )]'', 10 lutego 2015.
* ''[https://www.youtube.com/watch?v=tdOaMOcxY7U Topology vs "a" Topology]'', kanał PBS Infinite Series, 21 grudnia 2017.

{{Funkcje ciągłe}}
{{Algebra zbiorów}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Przestrzenie topologiczne| ]]