Tekst źródłowy strony Przestrzeń słabo ciągowo zupełna

'''Przestrzeń słabo ciągowo zupełna''' – [[przestrzeń Banacha]] <math>E</math> o tej własności, że każdy słaby ciąg Cauchy’ego <math>(x_n)</math> punktów tej przestrzeni jest zbieżny w sensie [[słaba topologia|słabej topologii]] (ciąg <math>(x_n)</math> punktów przestrzeni <math>E</math> jest ''słabym ciągiem Cauchy’ego'', gdy dla każdego [[przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|funkcjonału liniowego i ciągłego]] <math>f</math> na <math>E</math> ciąg wartości <math>(f(x_n))</math> jest [[granica ciągu|zbieżny]] w [[Skalar (matematyka)|ciele skalarów]]).

== Przykłady ==
* Domknięta podprzestrzeń przestrzeni słabo ciągowo zupełnej jest słabo ciągowo zupełna.
* Każda [[przestrzeń refleksywna]] jest słabo ciągowo zupełna.
:: ''Dowód''. Niech <math>(x_n)</math> będzie słabym [[Ciąg Cauchy’ego|ciągiem Cauchy’ego]] w przestrzeni refleksywnej <math>X.</math> W szczególności, zbiór wyrazów tego ciągu jest ograniczony w normie (por. [[twierdzenie Banacha-Steinhausa]]), tj. istnieje taka stała dodatnia <math>M,</math> że <math>\|x_n\| \leqslant M</math> dla każdego <math>n.</math> Ponieważ przestrzeń <math>X</math> jest refleksywna, z [[twierdzenie Banacha-Alaoglu|twierdzenia Banacha-Alaoglu]] wynika, że [[kula|kula domknięta]] <math>B(0,M)</math> w przestrzeni <math>X</math> o środku w zerze i promieniu <math>M</math> jest [[słaba topologia|słabo zwarta]]. Ciąg <math>(x_n),</math> którego wyrazy zawarte są w <math>B(0,M),</math> ma [[punkt skupienia zbioru|punkt skupienia]] <math>x</math> (w [[słaba topologia|słabej topologii]]), należący do <math>B(0,M).</math> Ponieważ dla każdego funkcjonału <math>f \in X^*</math> [[granica (matematyka)|granica]] <math>\lim f(x_n)</math> istnieje, więc <math>f(x)</math> jest punktem skupienia ciągu skalarów <math>(f(x_n)).</math> Ostatecznie, <math>f(x) = \lim f(x_n).</math> Dowodzi to tego, że <math>X</math> jest przestrzenią słabo ciągowo zupełną. &#x25A1;
* Dla dowolnej [[miara (matematyka)|miary]] <math>\mu,</math> przestrzeń [[Przestrzeń Lp|''L''<sub>1</sub>(''μ'')]] jest słabo ciągowo zupełna (jest to twierdzenie Steinhausa<ref>[[Hugo Steinhaus|H. Steinhaus]], [https://eudml.org/doc/167548;jsessionid=3669037F7B4C10259FB7E56983FB310B ''Additive und stetige Funktionaloperationen'']. „Mathematische Zeitschrift” '''5''' (1919), 186-221.</ref>).
* Każda przestrzeń o [[własność Schura|własności Schura]] jest słabo ciągowo zupełna{{odn|Albiac|Kalton|2006|s=38}} (zob. [[Własność Schura#Własności|dowód]]).
* Przestrzeń Banacha, której przestrzenią sprzężoną jest [[algebra von Neumanna]] jest słabo ciągowo zupełna. W szczególności, przestrzeń sprzężona do [[C*-algebra|C*-algebry]] jest słabo ciągowo zupełna.
* [[Przestrzeń c0|Przestrzeń ''c''<sub>0</sub>]] nie jest słabo ciągowo zupełna. Jeżeli <math>(e_n)</math> oznacza jej kanoniczną [[baza Schaudera|bazę Schaudera]], to ciąg <math>(e_1 + \ldots + e_n)</math> jest słabym ciągiem Cauchy’ego, który nie jest słabo zbieżny. W szczególności, jeżeli <math>K</math> jest nieskończoną [[przestrzeń zwarta|przestrzenią zwartą]], to przestrzeń <math>C(K)</math> nie jest słabo ciągowo zupełna, bo zawiera podprzestrzeń izomorficzną z <math>c_0.</math>
* [[Krata Banacha]] jest słabo ciągowo zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podprzestrzeni izomorficznej z <math>c_0.</math>
* [[przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|Druga przestrzeń sprzężona]] przestrzeni słabo ciągowo zupełnej nie musi być słabo ciągowo zupełna – stosownym kontrprzykładem jest [[Suma prosta przestrzeni liniowych#Suma prosta przestrzeni Banacha|''ℓ''<sub>1</sub>-suma]] ''n''-wymiarowych [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowych]] z [[Przestrzeń unormowana|normą maksimum]], tj.
:: <math>E=\left( \textstyle\bigoplus_{n=1}^\infty \ell^n_\infty\right)_{\ell_1}.</math>
: (gdyż <math>E^{**}</math> zawiera podprzestrzeń izomorficzną z <math>\ell_\infty</math><ref>[[William B. Johnson|W.B. Johnson]], [http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02762804?LI=true ''A complementary universal conjugate Banach space and its relation to the approximation problem''], „Israel J. Math.” '''13''' (3–4) (1972), s. 301–310.</ref>).

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Albiac |imię = F. |nazwisko2 = Kalton |imię2 = N.J. |tytuł = Topics in Banach Space Theory |miejsce = |wydawca = Springer-Verlag GmbH |rok = 2006 |isbn = 9780387281414|odn=tak}}
* [[Joram Lindenstrauss|J. Lindenstrauss]], L. Tzafriri, ''Classical Banach Spaces I and II: Sequence Spaces; Function Spaces'', Springer 1996, s. 31, 34–37 {{ISBN|3540606289}}.

[[Kategoria:Przestrzenie Banacha]]