Tekst źródłowy strony Przestrzeń liniowo-topologiczna

[[Plik:Topological vector space illust.svg|thumb|Każdy punkt przestrzeni liniowo-topologicznej daje się przedstawić jako pewne [[translacja (matematyka)|przesunięcie]] zera. Przesunięcie jest [[homeomorfizm]]em, więc badanie własności punktów przestrzeni liniowo-topologicznych sprowadza się do badania otoczeń zera.]]
'''Przestrzeń liniowo-topologiczna''' – [[przestrzeń liniowa]] z określoną w niej [[topologia|topologią]], dla której [[działanie algebraiczne|działania]] [[dodawanie|dodawania]] [[wektor]]ów i [[mnożenie|mnożenia]] przez [[skalar]] są [[funkcja ciągła|ciągłe]]. O topologii dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest [[zbiór domknięty|zbiorem domkniętym]], innymi słowy przestrzeń spełnia [[przestrzeń T1|pierwszy aksjomat oddzielania]].

Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest [[przestrzeń Hausdorffa|przestrzenią Hausdorffa]], a nawet jest [[przestrzeń regularna|przestrzenią regularną]]. [[Grupa addytywna]] przestrzeni liniowo-topologicznej jest [[grupa topologiczna|grupą topologiczną]]. Każda [[przestrzeń unormowana]] (a więc np. dowolna [[przestrzeń Banacha]] czy [[przestrzeń Hilberta|Hilberta]]) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.

Przestrzenie liniowo-topologiczne są głównym obiektem badań [[analiza funkcjonalna|analizy funkcjonalnej]]. Najczęściej rozważane są przestrzenie liniowo-topologiczne będące [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeniami funkcyjnymi]].

== Definicja ==
Niech <math>(X, +, \cdot)</math> będzie [[przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]] nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] <math>K</math> [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] bądź [[liczby zespolone|zespolonych]] i niech <math>\tau</math> będzie topologią w zbiorze <math>X.</math>

Przestrzeń <math>(X,+,\cdot, \tau)</math> nazywa się '''przestrzenią liniowo-topologiczną''', gdy <math>(X,\tau)</math> jest T<sub>1</sub>-przestrzenią oraz dodawanie <math>+\colon X\times X\to X</math> i mnożenie przez skalar <math>\cdot\colon K\times X\to X</math> są ciągłe (w sensie odpowiednich [[topologia produktowa|topologii produktowych]]).

== Własności ==
Dla każdego punktu <math>x_0\in X</math> i każdego skalara <math>\alpha\in K\setminus\{0\}</math> odwzorowania: <math>x\mapsto x+x_0,\; x\in X</math> i <math>x\mapsto \alpha x,\; x\in X</math> są [[homeomorfizm]]ami przestrzeni <math>X</math> na przestrzeń <math>X.</math> Zasadne jest więc badanie pewnych własności przestrzeni liniowo-topologicznych tylko w odniesieniu do [[otoczenie|otoczeń]] zera, gdyż analogiczne wyniki przenoszą się w naturalny sposób przez homeomorfizmy na inne punkty. Domknięcie [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzeni liniowej]] przestrzeni liniowo-topologicznej jest nadal jej podprzestrzenią. Dowodzi się także, że dowolne rozłączne domknięte i [[Przestrzeń zwarta|zwarte]] podzbiory przestrzeni <math>X</math> dają się oddzielać [[zbiór otwarty|zbiorami otwartymi]].

=== Zbiory ograniczone ===
Nie każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest [[przestrzeń metryzowalna|metryzowalna]], więc istnieje potrzeba wprowadzenia ogólniejszej definicji [[zbiór ograniczony|zbioru ograniczonego]].
Zbiór <math>A</math> nazywa się '''ograniczonym''', gdy dla każdego otoczenia zera <math>U\subseteq X</math> istnieje <math>\alpha\in (0,\infty),</math> że <math>A\subseteq \alpha U=\{\alpha u\colon\; u\in U\}.</math>

Można wykazać, że jeśli <math>X</math> jest jednocześnie [[przestrzeń unormowana|przestrzenią unormowaną]], to definicja ta jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego. Nie jest na ogół prawdą, że jeśli <math>X</math> jest jednocześnie [[przestrzeń metryczna|przestrzenią metryczną]], to powyższa definicja jest równoważna klasycznej definicji [[zbiór ograniczony|zbioru ograniczonego]], nie musi być to prawda nawet wtedy, gdy metryka <math>\varrho</math> na <math>X</math> jest niezmiennicza, tzn. spełnia warunek <math>\varrho(x,y)=\varrho(x+z, y+z)</math> dla <math>x,y,z\in X.</math>

==== Charakteryzacja zbiorów ograniczonych ====
Równoważnie, zbiór <math>A</math> jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera <math>U\subseteq X</math> istnieje takie <math>\alpha\in(0,\infty),</math> że dla każdego <math>\beta \in [\alpha, \infty)</math> zbiór <math>A</math> zawiera się w zbiorze <math>\beta U.</math>

Ograniczony [[podzbiór]] przestrzeni liniowo-topologicznej można także scharakteryzować w sposób równoważny, nieco bliższy intuicji:<br />Zbiór <math>A\subseteq X</math> jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy
: <math>\lim_{n\to\infty}\alpha_nx_n=0</math>
dla każdego [[ciąg (matematyka)|ciągu]] <math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> elementów tego zbioru i każdego ciągu <math>(\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> elementów ciała <math>K,</math> zbieżnego do zera.

=== Zbiory zbalansowane ===
Zbiór <math>A\subseteq X</math> nazywa się '''zbalansowanym''', gdy dla każdego <math>\alpha\in K</math> takiego, że <math>|\alpha|\leqslant 1</math> zbiór <math>\alpha A\subseteq A.</math>

[[Domknięcie]] zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym. [[Wnętrze (matematyka)|Wnętrze]] zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym, o ile zawiera ono zero. Dodatkowo, każde otoczenie zera zawiera zbalansowane otoczenie zera, a każde [[zbiór wypukły|wypukłe]] otoczenie zera zawiera otoczenie będące jednocześnie zbiorem wypukłym i zbalansowanym.

== Klasy przestrzeni liniowo-topologicznych ==
W literaturze matematycznej, często spotyka się następujące nazewnictwo związane z przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówi się, że przestrzeń liniowo-topologiczna (''X'', ''τ'') jest:
* '''[[przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła|lokalnie wypukła]]''', gdy w ''X'' istnieje [[baza otoczeń]], której elementy są zbiorami wypukłymi;
* '''lokalnie ograniczona''', jeśli zero ma ograniczone otoczenie;
* '''lokalnie zwarta''', jeśli zero ma otoczenie, którego domknięcie jest zwarte;
* '''[[Przestrzeń Frécheta (analiza funkcjonalna)|F-przestrzenią]]'''<ref name="F">Niektórzy autorzy pomijają założenie lokalnej wypukłości w definicji przestrzeni Frécheta – inni, zdefiniowaną tu przestrzeń Frécheta, nazywają F-przestrzenią.</ref>, jeśli ''τ'' jest zadana przez [[przestrzeń zupełna|zupełną]], niezmienniczą metrykę;
* '''[[Przestrzeń Frécheta (analiza funkcjonalna)|przestrzenią Frécheta]]'''<ref name="F" /> jeśli jest lokalnie wypukłą F-przestrzenią;
* '''normowalna''', jeśli w ''X'' istnieje taka [[przestrzeń unormowana|norma]], że metryka zadana przez tę normę jest zgodna z ''τ'' (zob. [[twierdzenie Kołmogorowa o normowaniu przestrzeni liniowo-topologicznych]]). Ważną podklasą przestrzeni normowalnych jest klasa [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]].
* '''przestrzenią mającą własność [[twierdzenie Heinego-Borela|Heinego-Borela]]''', gdy każdy domknięty i ograniczony jej podzbiór jest zwarty.

Każda przestrzeń lokalnie ograniczona ma [[zbiór przeliczalny|przeliczalną]] bazę otoczeń<ref>Zob. [[Aksjomat przeliczalności#Pierwszy aksjomat|Pierwszy aksjomat przeliczalności]].</ref>. Przestrzeń ''X'' jest natomiast normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie wypukła i lokalnie ograniczona. Przestrzeń ''X'' ma skończony wymiar wtedy i tylko wtedy, gdy jest [[Przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie zwarta]]. Jeśli lokalnie ograniczona przestrzeń ''X'' ma własność Heinego-Borela, to ma skończony wymiar.

== Przykład ==
[[Iloczyn kartezjański|Produkt]] dowolnej rodziny przestrzeni liniowo-topologicznych jest nadal przestrzenią liniowo-topologiczną.

Na przykład przestrzeń <math>X</math> wszystkich funkcji rzeczywistych <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> może być utożsamiany z przestrzenią <math>\mathbb R^\mathbb R,</math> wyposażoną w [[Topologia produktowa|topologię Tichonowa]]. Topologię na <math>X</math> nazywa się '''topologią zbieżności punktowej''' (zob. [[Zbieżność punktowa|zbieżność punktowa ciągu funkcji]]). Przestrzeń ta nie jest metryzowalna, a więc i nie normowalna.

== Ciągi Cauchy’ego ==
{{osobny artykuł|ciąg Cauchy’ego#Przestrzenie liniowo-topologiczne}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko=Rudin |imię=Walter |autor link=Walter Rudin |tytuł=Analiza funkcjonalna |miejsce=Warszawa |wydawca=PWN |rok=2001 |strony=19–24}}

{{Struktury na przestrzeniach liniowych}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Przestrzenie liniowo-topologiczne| ]]