Tekst źródłowy strony Przestrzeń jednostajnie wypukła

'''Przestrzeń jednostajnie wypukła''' – [[przestrzeń unormowana]] <math>X</math> spełniająca warunek
: <math>(\forall{\varepsilon>0})(\exists{\delta>0})(\forall{x,y\in X})\left( \|x\|\leqslant 1, \|y\|\leqslant 1, \|x-y\|\geqslant \varepsilon \Rightarrow \|\tfrac{1}{2}(x+y)\|\leqslant 1-\delta\right).</math>

Intuicyjnie, przestrzeń jednostajnie wypukła to przestrzeń unormowana, której geometria ''przypomina'' geometrię [[przestrzeń unitarna|przestrzeni unitarnej]]. W szczególności każda przestrzeń unitarna jest przestrzenią jednostajnie wypukłą.

== Przykłady ==
=== Przestrzenie unitarne ===
Z [[Reguła równoległoboku|tożsamości równoległoboku]] wynika, ze przestrzenie unitarne są jednostajnie wypukłe. Istotnie, dla ustalonego <math>\varepsilon > 0</math> oraz punktów <math>x,</math> <math>y</math> o normach <math>\|x\|, \|y\| \leqslant 1</math> spełniony jest warunek
: <math>\|\tfrac{1}{2}(x+y)\|^2 = \tfrac{1}{2}\|x\|^2 + \tfrac{1}{2}\|y\|^2 - \tfrac{1}{4}\|x-y\|^2\leqslant 1 - \frac{1}{4}\varepsilon^2,</math>

skąd wynika, że
: <math>\|\tfrac{1}{2}(x+y)\| \leqslant \sqrt{1-\tfrac{1}{4}\varepsilon^2}\leqslant 1 - \tfrac{1}{8}\varepsilon^2.</math>

=== Przestrzenie <math>L_p</math> ===
[[James A. Clarkson]] udowodnił, że dla dowolnego <math>p \in (1, \infty)</math> i [[miara (matematyka)|miary dodatniej]] <math>\mu,</math> [[przestrzeń Lp|przestrzeń ''L<sub>p</sub>''(''μ'')]] jest jednostajnie wypukła (w szczególności, [[przestrzeń Lp|przestrzenie ''ℓ''<sub>''p''</sub>]] są jednostajnie wypukłe dla <math>p \in (1, \infty)</math>)<ref>J.A. Clarkson, [http://web.archive.org/web/20101122003618/http://www.ams.org/journals/tran/1936-040-03/S0002-9947-1936-1501880-4/S0002-9947-1936-1501880-4.pdf ''Uniformly convex spaces''], „[[Transactions of the American Mathematical Society|Trans. Amer. Math. Soc.]]” 40 (1936), s. 396–414.</ref>.

Prostym przykładem przestrzeni, która nie jest jednostajnie wypukła jest płaszczyzna <math>R^2</math> z normą
: <math>\|(x,y)\| = \max\{|x|, |y|\}\;\;\big((x,y)\in \mathbb{R}^2\big).</math>

== Jednostajna wypukłość a refleksywność ==
{{Osobny artykuł|Twierdzenie Milmana-Pettisa}}
Twierdzenie Milmana-Pettisa orzeka, że każda przestrzeń Banacha jednostajnie wypukła jest [[przestrzeń refleksywna|refleksywna]]. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi, gdyż istnieją przestrzenie skończenie wymiarowe (a więc refleksywne), które nie są jednostajnie wypukłe. Co więcej, Day<ref>M.M. Day, ''Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces'', „[[Bulletin of the American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc.]]” '''47''' (1941), s. 313–317.</ref> wykazał, że istnieją refleksywne przestrzenie Banacha na których nie można wprowadzić normy jednostajnie wypukłej, na przykład
: <math>X=\Big( \bigoplus_{n=1}^\infty \ell_1^n \Big)_{\ell_2}.</math>

== Zbieżność ==
W przestrzeni jednostajnie wypukłej <math>X,</math> jeśli ciąg <math>(x_n)</math> punktów tej przestrzeni jest [[słaba topologia|słabo zbieżny]] do punktu <math>x_0</math> oraz
: <math>\|x_n\|\longrightarrow \|x_0\|,</math>

to ciąg <math>(x_n)</math> jest zbieżny normowo (do <math>x_0</math>).

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* O. Hanner, ''On the uniform convexity of L<sup>p</sup> and l<sup>p</sup>'', „Ark. Mat.” 3 (1956), s. 239–244.
* {{cytuj książkę |nazwisko = Musielak |imię = Julian |autor link = Julian Musielak |tytuł = Wstęp do analizy funkcjonalnej |miejsce = Warszawa |wydawca = PWN |rok = 1976 |strony = 192}}

[[Kategoria:Przestrzenie Banacha]]