Tekst źródłowy strony Przekształcenie liniowe

{{Dopracować|definicja|nieency|OR|źródła=2012-02}}
{{Inne znaczenia|pojęcia stosowanego w matematyce wyższej|[[funkcja liniowa]] w matematyce elementarnej}}

'''Przekształcenie liniowe''' ('''homomorfizm liniowy'''<ref>Andrzej Szczepański, ''[https://mat.ug.edu.pl/~aszczepa/algebra1.pdf Algebra liniowa z geometrią – Instytut Matematyki]'', s. 36, [[Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytetu Gdańskiego|MFI UG]], mat.ug.edu.pl, rok akademicki 2020/21 [dostęp 2021-08-18].</ref>, '''operator liniowy, odwzorowanie liniowe, transformacja liniowa''') – w [[algebra liniowa|algebrze liniowej]] jest to [[funkcja]] <math>\mathrm f\colon U \to V</math> między [[przestrzeń liniowa|przestrzeniami liniowymi]] <math>U,</math> <math>V</math> ''zachowująca ich działania'' w tym sensie, że (dokładna definicja – patrz niżej):
* odwzorowanie [[Wektor|sumy wektorów]] z jednej przestrzeni w drugą jest równe sumie odwzorowań poszczególnych wektorów tej sumy,
* odwzorowanie [[Mnożenie przez skalar|iloczynu wektora przez skalar]] jest równe iloczynowi skalara przez odwzorowanie danego wektora.

Przekształcenie liniowe jest więc '''[[homomorfizm]]em''' przestrzeni liniowych.

Przekształcenia liniowe są najogólniejszymi funkcjami między przestrzeniami liniowymi, zachowującymi '''[[Kombinacja liniowa|kombinacje liniowe]]''' wektorów. Przekształcenie liniowe m.in. przekształcają proste w proste lub punkt, przy czym prosta musi przechodzić przez punkt początkowy [[początek (matematyka)|początek przestrzeni]] zwany [[wektor zerowy|wektorem zerowym]].

W przypadku przestrzeni liniowych skończonego [[baza (przestrzeń liniowa)|wymiaru]] z ustalonymi [[baza (przestrzeń liniowa)|bazami]] przekształcenia liniowe opisuje się zwykle za pomocą '''[[macierz]]y''' (zob. [[#Wybór baz|wybór baz]]). Np. operacje [[odbicie|odbicia]]/[[obrót|obrotu]] są operacjami liniowymi – reprezentują je macierz odbicia/[[macierz obrotu]].

Przekształcenia liniowe znajdują zastosowanie m.in. w zagadnieniach [[linearyzacja|linearyzacji]] czy [[aproksymacja|aproksymacji liniowej]].

'''Uwaga:'''

W większości wypadków słowa „funkcja”, „przekształcenie” i „odwzorowanie” są używane zamiennie. Jednak nie można używać terminu „funkcja liniowa” wymiennie z terminem „odwzorowanie liniowe” – termin ''[[funkcja liniowa]]'' jest zarezerwowany dla funkcji na [[płaszczyzna|płaszczyźnie]] opisującej [[prosta|prostą]].

== Definicja ==
Niech <math>K</math> oznacza pewne [[ciało (matematyka)|ciało]] (np. [[liczby rzeczywiste]] czy [[liczby zespolone|zespolone]]), a <math>U</math> i <math>V</math> będą przestrzeniami liniowymi nad tym ciałem. Funkcję <math>\mathrm f\colon U \to V</math> nazywa się '''przekształceniem liniowym''', jeżeli jest
* [[funkcja addytywna (algebra)|addytywna]] (zachowuje [[Wektor#Dodawanie i odejmowanie|dodawanie wektorów]]),
*: <math>\mathrm f(\mathbf x + \mathbf y) = \mathrm f(\mathbf x) + \mathrm f(\mathbf y)</math>
* [[funkcja jednorodna|jednorodna]] (zachowuje [[mnożenie przez skalar]]),
*: <math>\mathrm f(c\,\mathbf x) = c\mathrm\, f(\mathbf x).</math>

Powyższe warunki można połączyć w jeden, równoważny z nimi ''warunek liniowości''<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Przekształcenie liniowe | id = 3932831 | data dostępu = 2021-07-22}}</ref>:
: <math>\mathrm f(c\,\mathbf x + d\,\mathbf y) = c\,\mathrm f(\mathbf x) + d\mathrm\, \displaystyle \mathrm {f}(\mathbf y).</math>

== Przykłady ==
=== Odwzorowania nieliniowe ===
* Dla liczb rzeczywistych odwzorowanie <math>x\mapsto x^2</math> ''nie jest'' liniowe.
* Dla liczb rzeczywistych odwzorowanie <math>x\mapsto x + 1</math> ''nie jest'' liniowe (choć równanie <math>y=x+1</math> jest [[Równanie liniowe|równaniem liniowym]] według terminologii używanej w [[Geometria analityczna|geometrii analitycznej]]).

Powyższe odwzorowania nie spełniają warunków addytywności.

=== Odwzorowania liniowe ===
* [[funkcja jednorodna|Funkcje jednorodne]] są funkcjami liniowymi, np.
** [[funkcja stała]] <math>\mathbf x \to \mathbf 0</math> (odwzorowanie w przestrzeń trywialną)
** [[funkcja tożsamościowa]] <math>\mathbf x \to \mathbf x</math>
** [[jednokładność]] <math>\mathbf x \to a\mathbf x</math>
* [[Pochodna funkcji|Pochodna]] <math>f \to \mathrm Df</math> jest liniowa, gdzie <math>f</math> jest [[funkcja różniczkowalna|funkcją różniczkowalną]] (np. funkcją [[funkcja rzeczywista|rzeczywistą]]; funkcje różniczkowalne tworzą [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeń funkcyjną]], która jest przestrzenią liniową).
* '''Operacja różniczkowania''' <math>f \to \mathrm Df</math> przyporządkowania [[funkcja różniczkowalna|funkcji różniczkowalnej]] <math>f</math> jej [[Pochodna funkcji|funkcji pochodnej]] <math>\mathrm Df</math> jest operacją liniową ze zbioru funkcji różniczkowalnych w zbiór wszystkich funkcji (funkcje różniczkowalne tworzą [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeń funkcyjną]], która jest przestrzenią liniową).
* Operacja różniczkowania definiuje także [[Operator (fizyka)|operator]] liniowy na przestrzeni wszystkich [[Funkcja regularna|funkcji gładkich]] (tj. różniczkowalnych dowolną liczbę razy).
* [[Całka oznaczona]], określona na przedziale <math>I</math> jest odwzorowaniem liniowym ze zbioru funkcji całkowalnych o wartościach rzeczywistych z przedziału <math>I</math> na zbiór <math>\mathbf{R}.</math>
* [[Funkcja pierwotna|Całka nieoznaczona]] o ustalonym punkcie początkowym definiuje odwzorowanie liniowe ze zbioru funkcji całkowalnych na zbiorze <math>\mathbf{R}</math> na przestrzeń funkcji o wartościach rzeczywistych, różniczkowalnych na zbiorze <math>\mathbf{R}.</math>
* Jeżeli <math>A</math> jest [[macierz]]ą <math>m\times n</math> o elementach rzeczywistych, to <math>A</math> definiuje odwzorowanie liniowe ze zbioru <math>\mathbf{R}^n</math> do zbioru <math>\mathbf{R}^m,</math> gdy przyporządkowuje wektorowi kolumnowemu <math>\mathbf{x} \in \mathbf{R}^n</math> wektor kolumnowy <math>A\mathbf{x}\in\mathbf{R}^m.</math> Odwrotnie, każde odwzorowanie liniowe pomiędzy przestrzeniami liniowymi skończonego wymiary może być reprezentowane za pomocą macierzy <math>m\times n.</math>
* Operator liniowy [[Transformacja Fouriera|przekształcenia Fouriera]], który przyporządkowuje funkcji [[Transformacja Fouriera|<math>f</math>]] funkcję [[Transformacja Fouriera|<math>g</math>]]:
*: [[Transformacja Fouriera|<math>g(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}dt</math>]]

* <gallery widths="300" heights="200">
Plik:Streckung eines Vektors.gif|Przykładowa funkcja <math>f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2</math> postaci <math>f(x,y)=(2x,y)</math> jest odwzorowaniem liniowym: funkcja ta mnoży współrzędną <math>x</math> przez <math>2,</math> a współrzędną <math>y</math> pozostawia bez zmian.
Plik:Streckung der Summe zweier Vektoren.gif|Funkcja liniowa jest zawsze '''addytywna''', tzn. nie ma znaczenie, czy wektory są najpierw dodawane, a potem odwzorowywana ich suma, czy najpierw każdy z nich odwzorowywany, a potem są dodawane: <math>f(a+b)=f(a)+f(b)</math>
Plik:Streckung homogenitaet Version 3.gif|Funkcja liniowa jest zawsze '''jednorodna''', tzn. nie ma znaczenia, czy wektor jest najpierw wydłużany, a potem odwzorowywany, czy najpierw odwzorowywany, a potem wydłużany: <math>f(\lambda a)=\lambda f(a)</math>
</gallery>

== Własności ==
{{osobny artykuł|obraz (matematyka)|przeciwobraz|funkcja odwrotna|jądro (algebra liniowa)|o3=jądro|rząd macierzy|o4=rząd}}

'''(1)''' Jeżeli funkcja <math>\mathrm f\colon U \to V</math> spełnia dodatkowe warunki, np.
* [[funkcja różnowartościowa|różnowartościowości]],
* [[Surjekcja|odwzorowywania na całą przeciwdziedzinę]],
* [[funkcja odwrotna|odwracalności]],

to odwzorowanie liniowe (''[[homomorfizm]]'') mające powyższe własności nazywa się odpowiednio
* ''[[monomorfizm]]em liniowym'',
* ''[[epimorfizm]]em liniowym'',
* ''[[izomorfizm]]em liniowym''.

'''(2)''' Ponadto:
* przekształcenie liniowe przestrzeni w siebie nazywa się ''[[endomorfizm]]em'',
* jeżeli jest ono dodatkowo odwracalne (jest izomorfizmem), to nazywa się je ''[[automorfizm]]em''.

'''(3)''' Istnieje też szereg pojęć służących do opisu przekształceń liniowych i przestrzeni, na których są one określone. Definiuje się je za pomocą pojęć [[kombinacja liniowa|kombinacji liniowej]], [[baza (przestrzeń liniowa)|bazy i wymiaru]], do najważniejszych należą:
* ''jądro'', czyli przeciwobraz [[wektor zerowy|wektora zerowego]] (należy do każdej przestrzeni liniowej),
* ''rząd'', definiowany jako wymiar obrazu całej przestrzeni.

Za ich pomocą można scharakteryzować każdy z powyższych rodzajów homomorfizmów:
* monomorfizm ma trywialne jądro (tj. złożone wyłącznie z wektora zerowego),
* epimorfizm ma pełny rząd (tzn. równy wymiarowi przeciwdziedziny),
* izomorfizm jest zarazem mono- jak i epimorfizmem.

'''(4)''' [[twierdzenie o rzędzie|Twierdzenie Sylvestera o rzędzie]]: wymiar dziedziny jest równy sumie wymiarów obrazu i jądra przekształcenia<ref group="uwaga">W istocie zachodzi więcej: dziedzina jest izomorficzna z [[suma prosta przestrzeni liniowych|sumą prostą]] obrazu i jądra.</ref>. Wynika stąd ważna obserwacja dotycząca izomorfizmów: wszystkie przestrzenie liniowe (nad ustalonym ciałem) równego wymiaru są izomorficzne, skąd wynika, iż wymiar jest [[niezmiennik przekształcenia|niezmiennikiem]] izomorfizmów. Ponadto jeśli przekształcenie liniowe określone jest między dwoma przestrzeniami liniowymi równego, skończonego wymiaru, to z twierdzenia wynika, iż każdy monomorfizm czy epimorfizm jest izomorfizmem – innymi słowy w tym wypadku pojęcia mono-, epi- i izomorfizmu wynikają z siebie wzajemnie.

'''(5)''' '''Twierdzenie o wykresie''' charakteryzuje przekształcenia liniowe spośród wszystkich funkcji określonych między dwoma przestrzeniami liniowymi: odwzorowanie <math>\mathrm T\colon U \to V</math> jest liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy jej [[wykres funkcji|wykres]], czyli zbiór [[para uporządkowana|par]] <math>( \mathbf u,\ \mathrm T(\mathbf u)),</math> jest [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzenią liniową]] przestrzeni <math>U \times V</math> (której wykres jest zawsze [[podzbiór|podzbiorem]]).

Pojęcia [[topologia|topologiczne]] czy [[analiza matematyczna|analityczne]], takie jak ''[[funkcja ciągła|ciągłość]]'' czy ''[[funkcja różniczkowalna|różniczkowalność]]'', nie przydają niczego w przypadku przestrzeni skończonego wymiaru – przekształcenia liniowe między nimi są ciągłe i [[funkcja regularna|gładkie]] na całej dziedzinie; sytuacja zmienia się diametralnie, jeśli rozpatruje się przestrzenie nieskończeniewymiarowe, zob. [[#Wymiar nieskończony|osobną sekcję]].

=== Wybór baz ===
{{osobny artykuł|przestrzeń współrzędnych|macierz przekształcenia liniowego}}
Jeśli <math>U, V</math> są przestrzeniami liniowymi skończonego wymiaru, <math>\dim U = n,</math> <math>\dim V = m,</math> to przekształcenie liniowe między nimi można przedstawić za pomocą [[macierz]]y <math>m \times n,</math> przy czym:
* wybranie bazy <math>(\mathbf a_i)</math> w przestrzeni <math>U</math> oraz bazy <math>(\mathbf b_j)</math> w przestrzeni <math>V</math> prowadzi do wskazania izomorfizmów <math>U \to K^n</math> oraz <math>V \to K^m</math> w [[przestrzeń współrzędnych|przestrzenie współrzędnych]] (które są przestrzeniami liniowymi)
* odwrotnie, każda macierz typu <math>m \times n</math> opisuje przekształcenie liniowe <math>K^n \to K^m,</math> a dzięki wyborom baz również przekształcenie <math>U \to V.</math>

Jeśli <math>\mathbf A</math> jest macierzą przekształcenia liniowego <math>\mathrm A,</math> a macierz jednokolumnowa <math>\mathbf X</math> odpowiada wektorowi przestrzeni <math>\mathbf x</math><ref group="uwaga">Macierz <math>\mathbf X</math> może być ona traktowana jako ''wektor współrzędnych'', nazywany często ''wektorem kolumnowym'', wektora <math>\mathbf x;</math> wspomniana odpowiedniość jest izomorfizmem odpowiednich przestrzeni liniowych: przestrzeni macierzy jednokolumnowych i współrzędnych (zob. [[przestrzeń współrzędnych]]).</ref>, to:
* działanie przekształcenia liniowego na wektor <math>\mathrm A(\mathbf x)</math> opisuje się jako [[mnożenie macierzy]] <math>\mathbf A</math> przez macierz jednokolumnowa <math>\mathbf X,</math> tj. <math>\mathrm A(\mathbf x)\to \mathbf{AX},</math>
* [[złożenie funkcji|składaniu przekształceń]] liniowych odpowiada mnożenie odpowiadających im macierzy.

W ten sposób ogólna teoria macierzy może być wykorzystana do opisu przekształceń liniowych.

Istnieją jednak dwa zasadnicze powody, dla których rozpatruje się ogólne przekształcenia liniowe zamiast ich macierzy:
* w przestrzeniach liniowych nieskończonego wymiaru zapis za pomocą macierzy nie ułatwia przeprowadzania konkretnych rachunków, jak ma to miejsce w przypadku skończeniewymiarowym,
* istnieją własności, które łatwiej traktować w bardziej abstrakcyjny sposób, np. dowodząc, iż dana własność nie zależy od wyboru bazy; w szczególności dowodząc, iż istnieją przestrzenie, w których wybór bazy nie jest [[baza kanoniczna|kanoniczny]], tj. nie istnieje [[transformacja naturalna|naturalny izomorfizm]] z przestrzenią współrzędnych (lub jej nieskończonym odpowiednikiem, zob. [[przykłady przestrzeni liniowych]]).

=== Endomorfizmy ===
{{zobacz też|wyznacznik|ślad (algebra liniowa)|o2=ślad|wektory i wartości własne|wielomian charakterystyczny|diagonalizacja}}
Zbiór <math>\mathrm{End}\ V</math> wszystkich endomorfizmów przestrzeni <math>V</math> tworzy [[pierścień (matematyka)|pierścień]] nazywany po prostu ''[[pierścień endomorfizmów|pierścieniem endomorfizmów]]'' <math>V.</math> Do opisu endomorfizmów liniowych, nazywanych niekiedy „operatorami liniowymi”, na przestrzeniach skończonego wymiaru i ich macierzy kwadratowych stosuje się często pojęcia ''wyznacznika'' i ''śladu''. Zwykle definiuje się je dla macierzy, dowodząc ich niezależności od wyboru bazy, możliwe jest jednak zdefiniowanie bez wyboru bazy dla przekształceń liniowych, jednak wtedy konieczne jest podanie przepisu na ich obliczenie – wyraża się ją wtedy za pomocą macierzy w ustalonej bazie – odzwierciedla to równoważność obu definicji. Niezmienniczość tych pojęć można tłumaczyć za pomocą ''podprzestrzeni niezmienniczych'', w tym ''wektorów własnych'' i stowarzyszonych z nimi ''wartości własnych'', które opisują kierunki zachowywane przez dane przekształcenie liniowe i stosunki [[jednokładność|jednokładności]] w tychże kierunkach: [[wyznacznik]] jest iloczynem wartości własnych, a [[Ślad (algebra liniowa)|ślad]] – ich sumą. Rząd jest wtedy równy liczbie niezerowych wartości własnych. Jeśli choć jedna wartość własna jest zerowa, to wyznacznik również jest zerowy – przekształcenie (lub macierz) nazywa się wtedy ''osobliwym'' (lub ''zdegenerowanym'', a rząd nie jest pełny, skąd przekształcenie nie jest epimorfizmem). Dowodzi się, że osobliwość jest równoważna nieodwracalności.

; Twierdzenie o endomorfizmie
Jeśli <math>V</math> jest przestrzenią liniową skończonego wymiaru, zaś <math>\mathrm E \in \mathrm{End}\ V</math> oraz <math>\lambda_1, \dots, \lambda_k</math> są wszystkimi, parami różnymi [[wektory i wartości własne|wartościami własnymi]] tego endomorfizmu, to następujące warunki są równoważne:
* <math>\mathrm E</math> jest endomorfizmem,
* <math>V = V(\lambda_1, \mathrm E) \oplus \ldots \oplus V(\lambda_k, \mathrm E),</math>
* <math>\dim V = \dim V(\lambda_1, \mathrm E) + \ldots + \dim V(\lambda_k, \mathrm E),</math>

gdzie <math>\oplus</math> oznacza [[suma prosta przestrzeni liniowych|sumę prostą przestrzeni liniowych]], a <math>V(\lambda_i, \mathrm E)</math> jest podprzestrzenią niezmienniczą stowarzyszoną z wartością własną <math>\lambda_i</math> endomorfizmu <math>\mathrm E.</math>

Z powyższych uwag wynika, że wyznacznik, ślad i rząd są [[niezmiennik przekształcenia|niezmiennikami]] endomorfizmów. Wszystkie te informacje zawarte są w ''wielomianie charakterystycznym'' przekształcenia (bądź macierzy): pierwiastkami tego wielomianu są wartości własne. Środki te okazują się niewystarczające w przypadku nieskończeniewymiarowym, gdzie pojęcia te mają odpowiednie uogólnienia (zob. ''[[#Wymiar nieskończony|Wymiar nieskończony]]'').

Endomorfizm <math>A</math> przestrzeni <math>V</math> nazywa się
* ''redukowalnym'', jeśli istnieje nietrywialna właściwa podprzestrzeń niezmiennicza endomorfizmu <math>A;</math>
* ''rozkładalnym'', jeśli istnieją nietrywialne (właściwe) podprzestrzenie niezmiennicze <math>V_1, V_2 \subseteq V</math> endomorfizmu <math>A,</math> dla których [[suma prosta przestrzeni liniowych|suma prosta]] <math>V_1 \oplus V_2 = V;</math>
* ''diagonalizowalnym'', jeśli istnieją jednowymiarowe podprzestrzenie niezmiennicze <math>V_1, \dots, V_n \subseteq V</math> endomorfizmu <math>A,</math> dla których [[suma prosta przestrzeni liniowych|suma prosta]] <math>\bigoplus\nolimits_{i=1}^n V_i = V;</math> ''diagonalizacją'' nazywa się wybór tych podprzestrzeni.

=== Automorfizmy ===
{{osobny artykuł|automorfizm|pełna grupa liniowa}}
W ogólności automorfizmy liniowe, czyli odwracalne przekształcenie liniowe przestrzeni na siebie, opisują „symetrie” przestrzeni takie jak opisane wyżej (liniowe) zmiany bazy. Ponieważ [[złożenie funkcji|złożenie]] automorfizmów jest automorfizmem, jest [[Łączność (matematyka)|łączne]] z definicji, przekształcenie tożsamościowe jest automorfizmem, a dla każdego automorfizmu istnieje automorfizm do niego odwrotny, to zbiór automorfizmów <math>\mathrm{Aut}\ V</math> przestrzeni <math>V</math> tworzy [[grupa (matematyka)|grupę]] nazywaną ''ogólną'' lub ''pełną grupą liniową'' <math>\mathrm{GL}(V)</math> przestrzeni <math>V.</math>

== Przestrzenie przekształceń ==
{{zobacz też|przestrzeń funkcyjna|działanie określone punktowo}}
Przekształcenia liniowe <math>U \to V</math> tworzą przestrzeń liniową z działaniami określonymi „punktowo”, tj. które wykonywane są dla każdego wektora w ten sam sposób:
: <math>(\mathrm A + \mathrm B)(\mathbf x) = \mathrm A(\mathbf x) + \mathrm B(\mathbf x)</math>

oraz
: <math>(c \mathrm A)(\mathbf x) = c\mathrm A(\mathbf x).</math>

Jeśli <math>\dim U = n</math> i <math>\dim V = m,</math> to zgodnie z rozważaniami w sekcji ''[[#Wybór baz|Wybór baz]]'' każde przekształcenie <math>U \to V</math> jest izomorficzne z pewnym przekształceniem <math>K^n \to K^m,</math> a co za tym idzie, z macierzą <math>\{1, \dots, m\} \times \{1, \dots, n\} \to K.</math> Oznacza to, że przestrzeń <math>\mathrm L(U, V)</math> wszystkich przekształceń liniowych <math>U \to V</math> jest izomorficzna z przestrzenią <math>\mathrm L(K^n, K^m),</math> która jest z kolei izomorficzna z przestrzenią <math>\mathrm{Mat}_{m \times n}(K)</math> macierzy typu <math>m \times n.</math> Wynika stąd, że każda z tych przestrzeni ma (zachowywany przy izomorfizmach) wymiar <math>mn.</math> Jeśli choć jedna z liczb <math>m, n</math> jest nieskończona, to powyższa równość dalej pozostaje w mocy – [[Wymiar (matematyka)|wymiar przestrzeni]] przekształceń również jest wtedy nieskończony.

== Wymiar nieskończony ==
{{osobny artykuł|przestrzeń Banacha|operator liniowy nieciągły}}
Bezpośrednim uogólnieniem przestrzeni współrzędnych na nieskończoną liczbę wymiarów jest ''[[przykłady przestrzeni liniowych#Nieskończona przestrzeń współrzędnych|nieskończona przestrzeń współrzędnych]]'', w której tylko skończenie wiele współrzędnych jest różnych od zera, co umożliwia branie dowolnie długich, lecz mimo wszystko skończonych [[kombinacja liniowa|kombinacji liniowych]]; przykładem może być [[pierścień wielomianów|przestrzeń wielomianów]] jednej zmiennej (o współczynnikach z ustalonego ciała). Przekształcenia liniowe są określone w nich zupełnie analogicznie jak wyżej, jednak nie mają one swoich dobrych własności, np. endomorfizm przestrzeni nieskończonego wymiaru będący monomorfizmem nie musi być epimorfizmem (i na odwrót), przykładami są [[operator przesunięcia|operatory przesunięcia]] czy określone w [[pierścień wielomianów|przestrzeni wielomianów]] przekształcenia [[pochodna formalna|pochodnej formalnej]] i [[funkcja pierwotna|antypochodnej formalnej]] (zob. ''[[Wielomian#Działania|wielomian – działania]]'')<ref group="uwaga">Zdefiniowane są one przez swoje działanie na [[jednomian]]ach (zob. [[twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie]]) wzorami <math>\mathrm T(x^n) = nx^{n-1}</math> oraz <math>\mathrm S(x^n) = \tfrac{x^{n+1}}{n+1}.</math></ref>. Wynika to wprost z faktu, iż dla wzajemnie odwrotnych przekształceń liniowych <math>\mathrm T, \mathrm S</math> określonych na skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej warunek <math>\mathrm{TS} = \mathrm{id}</math> pociąga za sobą <math>\mathrm{ST} = \mathrm{id}</math><ref group="uwaga">Skoro <math>\mathrm{TS} = \mathrm{id},</math> to <math>(\mathrm{ST})^2 = \mathrm{STST} = \mathrm{SidT} = \mathrm{ST},</math> co oznacza, że przekształcenie <math>\mathrm{ST}</math> jest [[Rzut (algebra liniowa)|rzutem]]. Ponieważ wymiar obrazu <math>\mathrm{ST}</math> nie przekracza większego z wymiarów obrazów przekształceń <math>\mathrm T, \mathrm S</math> oraz rzut ten jest epimorfizmem, to przekształcenia <math>\mathrm T, \mathrm S</math> również są epimorfizmami. Ponieważ na epimorfizmy określone na przestrzeniach skończonego wymiaru są monomorfizmami, to <math>\mathrm T, \mathrm S</math> są monomorfizmami, skąd wynika, że rzut <math>\mathrm{ST}</math> również jest monomorfizmem – jedynym takim jest przekształcenie tożsamościowe <math>\mathrm{id}.</math></ref>, który nie zachodzi w przypadku przestrzeni nieskończeniewymiarowych<ref group="uwaga">W przypadku <math>\mathrm T, \mathrm S</math> danych odpowiednio jako pochodna oraz antypochodna formalna na przestrzeni wielomianów zachodzi <math>\mathrm{TS} = \mathrm{id},</math> jednakże <math>\mathrm{ST}</math> jest równe zeru dla wielomianów stałych.</ref>. Podobnie w przestrzeniach skończonego wymiaru nie istnieją przekształcenia liniowe spełniające <math>\mathrm{ST} - \mathrm{TS} = \mathrm{id},</math> choć własność tę mają ww. operatory pochodnej formalnej czy przesunięcia (zob. [[komutator (matematyka)|komutator]])<ref>{{cytuj stronę |url = http://www.fuw.edu.pl/~psoltan/tmp/algebraII/wyklady/wyklad1.pdf |tytuł = Algebra II – Wykład 1 |data dostępu = 2009-05-27}}</ref>.

Opisem przestrzeni liniowych nieskończonego wymiaru, które dodatkowo wyposażone są w jakąś strukturę umożliwiającą rozpatrywanie nieskończonych [[szereg (matematyka)|szeregów]] odpowiadających kombinacjom liniowym, zajmuje się dział matematyki nazywany [[analiza funkcjonalna|analizą funkcjonalną]]. Klasyczna teoria dotyczy [[przestrzeń unormowana|przestrzeni unormowanych]], czyli przestrzeni liniowych ze zdefiniowanym pojęciem „długości” wektora (można w niej w naturalny sposób określić [[przestrzeń metryczna|strukturę metryczną]], czyli wprowadzić pojęcie „odległości”); aby zapewnić istnienie wektorów, dla których wspomniane szeregi są zbieżne zakłada się, że przestrzenie te są [[przestrzeń zupełna|zupełne]] – przestrzenie takie nazywa się ''przestrzeniami Banacha''. Z przyczyn historycznych przekształcenia liniowe zwykło nazywać się w analizie funkcjonalnej „operatorami liniowymi”, a formy liniowe – „funkcjonałami liniowymi” (skąd wziął swą nazwę sam dział).

Jeśli <math>U</math> i <math>V</math> są unormowanymi przestrzeniami liniowymi, to ''[[operator liniowy ograniczony|ograniczoność]]'' operatora definiuje się za pomocą warunku ograniczającego normę obrazu dowolnego wektora przez pewną wielokrotność normy tego wektora. Operator liniowy jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest [[operator liniowy ograniczony|ciągły]] (pojęcie to można zdefiniować w ogólniejszych [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzeniach liniowo-topologicznych]]). W [[Przestrzeń Banacha|przestrzeniach Banacha]] ciągłość globalna jest równoważna ciągłości lokalnej, jak również przeprowadzaniu [[granica ciągu|ciągów zbieżnych]] do zera w [[ciąg (matematyka)#Własności|ciągi ograniczone]]. Rozpatrywanie operatorów ograniczonych i ciągłych w przestrzeniach skończonego wymiaru mija się z celem, gdyż wszystkie przekształcenia liniowe między nimi są ciągłe i ograniczone, co wynika z [[przestrzeń unormowana#Równoważność norm|równoważności norm]] na tych przestrzeniach.

Wśród ważnych twierdzeń dotyczących przestrzeni nieskończonego wymiaru można wymienić [[twierdzenie Hahna-Banacha]], [[twierdzenie Banacha-Steinhausa]], [[twierdzenie o wykresie domkniętym]] czy [[twierdzenie o odwzorowaniu otwartym]]. Pojęcia wyznacznika i śladu uogólnia się na te przestrzenie pod postacią [[wyznacznik Fredholma|wyznacznika Fredholma]] i [[operator śladowy|śladu funkcyjnego]] dla szczególnego rodzaju przekształceń, tzw. ''operatorów śladowych''; innym rozszerzeniem jest [[wyznacznik funkcyjny]]. Wektory i wartości własne uogólniają się poprzez [[widmo (matematyka)|widmo (spektrum) operatora]]; [[diagonalizacja|diagonalizacji]] różnymi metodami odpowiadają wtedy różnorodne [[twierdzenie spektralne|twierdzenia spektralne]].

== Uogólnienia ==
Przekształcenia liniowe są homomorfizmami szczególnych [[algebra ogólna|struktur algebraicznych]] – przestrzeni liniowych, które z punktu widzenia algebry są [[moduł (matematyka)|modułami]] nad ciałem, podczas gdy w ogólności skalary modułów mogą należeć do ogólniejszej struktury nazywanej [[pierścień (matematyka)|pierścieniem]] (tworzą go np. [[liczby całkowite]]). Wszystkie wyniki natury czysto algebraicznej niewykorzystujące [[liniowa niezależność|liniowej niezależności]] są prawdziwe także w teorii modułów.

Przekształcenia liniowe można traktować jako przypadki szczególne innych [[Przekształcenie geometryczne|przekształceń geometrycznych]], najbliższym jej uogólnieniem jest [[przekształcenie afiniczne]] określane na [[przestrzeń afiniczna|przestrzeniach afinicznych]]; jego odpowiednikiem dla [[przestrzeń rzutowa|przestrzeni rzutowych]] jest [[przekształcenie rzutowe]] itd.

== Zobacz też ==
* [[przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)|przestrzeń ilorazowa]], [[kojądro]]
* [[przekształcenie półliniowe]], [[forma liniowa]]
* [[przekształcenie antyliniowe]], [[forma półtoraliniowa]]
* [[przekształcenie dwuliniowe]], [[forma dwuliniowa]]
* [[przekształcenie wieloliniowe]], forma wieloliniowa

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=S68yOgLGTKc Co to jest odwzorowanie liniowe?]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]], 31 grudnia 2015 [dostęp 2024-06-22].
* {{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=pRUJsCxJObk Przekształcenia liniowe cz. I. Definicja przekształcenia liniowego]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT” na [[YouTube]], 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-09].
* {{MathWorld | adres = LinearTransformation | tytuł = Linear Transformation }} [dostęp 2024-06-22].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Linear_operator Linear operator]'', Encyklopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2021-08-17].

{{Przekształcenia liniowe}}
{{Homomorfizmy}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Przekształcenia liniowe| ]]
[[Kategoria:Funkcje ciągłe]]
[[Kategoria:Morfizmy]]