Tekst źródłowy strony Przeciwobraz

'''Przeciwobraz''' zbioru – pojęcie [[Matematyka|matematyczne]], konkretniej [[Teoria mnogości|teorii mnogości]], związane z dowolną [[Funkcja|funkcją]] lub inną [[Relacja dwuargumentowa|relacją dwuargumentową]]{{odn|Stanosz|2012|s=115}}. Przeciwobrazy [[Definicja|definiuje się]] dla podzbiorów [[Przeciwdziedzina|przeciwdziedziny]] – dla funkcji <math>f \colon X \to Y</math> przeciwobrazy dotyczą dowolnego [[Zbiór|zbioru]] <math>B \subseteq Y</math>. Przeciwobraz [[Zbiór|zbioru]] <math>B</math> to zbiór wszystkich elementów [[Dziedzina (matematyka)|dziedziny]], które są odwzorowane na elementy <math>B</math><ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3963203 | tytuł = przeciwobraz zbioru | data dostępu = 2022-10-14 }}</ref>.

Pojęcie przeciwobrazu bywa używane w różnych działach matematyki, nie tylko [[Matematyka wyższa|wyższej]]; przeciwobrazami można definiować inne pojęcia jak [[miejsce zerowe]]<ref name="bw">{{otwarty dostęp}} [https://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php/Funkcje Funkcje], Brain Wiki – [[Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego]] (FUW), brain.fuw.edu.pl, 22 maja 2015 [dostęp 2024-12-15].</ref> i [[funkcja ciągła]]<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 4351049 | tytuł = funkcja ciągła | data dostępu = 2024-12-15 }}</ref>.

== Przeciwobraz względem funkcji ==
=== Definicje i zapis ===
Niech <math>f \colon X \to Y</math> oznacza dowolną [[Funkcja|funkcję]] ze zbioru <math>X</math> w zbiór <math>Y</math>. Przeciwobrazem zbioru <math>B \subseteq Y</math> względem <math>f</math> nazywa się podzbiór zbioru <math>X</math> określony wzorem
: <math>f^{-1}[B] = \{x \in X\colon f(x) \in B\}.</math>

Inne oznaczenia<ref name="epwn" /><ref name="wazniak">{{otwarty dostęp}} Marek Zaionc, Jakub Kozik i Marcin Kozik, ''[https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika_i_teoria_mnogo%C5%9Bci/Wyk%C5%82ad_6:_Funkcje,_tw._o_faktoryzacji,_produkt_uog%C3%B3lniony,_obrazy_i_przeciwobrazy,_tw._Knastera-Tarskiego_i_lemat_Banacha#Obrazy_i_przeciwobrazy Logika i teoria mnogości, wykład 6: Funkcje (...)]'', wazniak.mimuw.edu.pl, 11 września 2023 [dostęp 2024-12-15].</ref>:
* <math>f^{-1}(B);</math>
* <math>\vec{f}^{-1}(B).</math>

Przeciwobraz względem ustalonej funkcji <math>f</math>, oznaczany <math>\vec{f}^{-1}</math>, to funkcja ze [[Zbiór potęgowy|zbioru potęgowego]] zbioru <math>Y</math> w zbiór potęgowy zbioru <math>X</math>, czyli <math>\vec{f}^{-1}: 2^Y\rightarrow 2^X</math><ref name="wazniak"/>{{odn|Blyth|2005|s=5}}.

Oznaczenie <math>f^{-1}</math> może przywodzić na myśl notację odrębnego pojęcia [[funkcja odwrotna|funkcji odwrotnej]], które pokrywa się z pojęciem przeciwobrazu wtedy i tylko wtedy, gdy <math>f</math> jest [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcją]].

=== Przykłady ===
Niech [[funkcja rzeczywista]] <math>f\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R</math> będzie dana wzorem <math>f(x, y) = x^2 + y^2.</math> Przeciwobraz [[liczby rzeczywiste]]j <math>a</math> przy tej funkcji – oznaczany <math>f^{-1}(a)</math> – zależy od jej wartości<ref name="bw" />:
* dla <math>a > 0</math> przeciwobrazami są [[Okrąg|okręgi]] o [[Współśrodkowość|wspólnym środku]] w [[Początek (matematyka)|początku]] [[Układ współrzędnych|układu współrzędnych]];
* dla <math>a = 0</math> przeciwobrazem jest sam początek układu;
* dla <math>a < 0</math> przeciwobrazem jest [[zbiór pusty]].

=== Włókna ===
Przeciwobraz [[Zbiór jednoelementowy|zbioru jednoelementowego]] oznacza się <math>\textstyle f^{-1}[\scriptstyle\{y\}\textstyle]</math> lub krócej <math>f^{-1}[y].</math> Nazywa się go '''włóknem''' nad <math>y</math>, '''[[poziomica (matematyka)|poziomicą]]'''<ref name="bw" /> lub '''warstwicą''' <math>y</math>{{fakt|data=2024-12}}.

Zbiór wszystkich włókien nad elementami <math>Y</math> tworzy [[rodzina indeksowana|rodzinę zbiorów indeksowaną]] przez <math>Y.</math> Prowadzi to do pojęcia [[kategoria rozwłóknień|kategorii rozwłóknień]]{{fakt|data=2024-12}}.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj|autor = Thomas Scott Blyth |tytuł = Lattices and Ordered Algebraic Structures |data = 2005 |isbn = 1-85233-905-5 |miejsce = London |wydawca = Springer |oclc = 262677746 | odn = tak }}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Stanosz | imię = Barbara | autor link = Barbara Stanosz | tytuł = Ćwiczenia z logiki | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] | miejsce = Warszawa | rok = 2012 | isbn = 978-83-01-14428-9 | odn = tak }}

== Linki zewnętrzne ==
{{wikisłownik|przeciwobraz}}
* {{otwarty dostęp}} Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=sZAwIDNrhJQ Przeciwobraz zbioru w odwzorowaniu]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]], 10 sierpnia 2016 [dostęp 2024-07-25].
* {{MathWorld | adres = Pre-Image | tytuł = Pre-Image }} [dostęp 2023-10-10].
* {{planetmath|id=3276|tytuł=Fibre}}

{{Funkcje matematyczne}}
{{Relacje matematyczne}}

[[Kategoria:Obrazy i przeciwobrazy| ]]