Tekst źródłowy strony Przecięcie prostej ze sferą

[[Plik:Line-Sphere Intersection Cropped.png|thumb|350px|Trzy możliwe przypadki:<br />
1) Brak przecięcia,<br />
2) Przecięcie w jednym punkcie,<br />
3) Przecięcie w dwóch punktach.]]
W [[Geometria analityczna|geometrii analitycznej]] [[prosta]] i [[sfera]] mogą mieć [[Część wspólna|część wspólną]] w dokładnie jednym punkcie, dwóch punktach bądź wcale. Metody rozróżniania tych przypadków i ustalania punktów przecięcia są używane jako algorytm wykonywany wielokrotnie podczas operacji [[Śledzenie promieni|śledzenia promieni]].

== Obliczanie z użyciem wektorów ==
W zapisie wektorowym równania wyglądają w następujący sposób:

Równanie [[sfera|sfery]]:
:: <math>\|\mathbf{x} - \mathbf{c}\|^2=r^2,</math>

gdzie:
: <math>\mathbf{c}</math> – środek,
: <math>r</math> – promień,
: <math>\mathbf{x}</math> – punkty na sferze.

Równanie prostej zaczynającej się w <math>\mathbf{o}{:}</math>
:: <math>\mathbf{x}=\mathbf{o} + d\mathbf{l},</math>

gdzie:
: <math>d</math> – parametr odległości wzdłuż prostej od punktu początkowego,
: <math>\mathbf{l}</math> – kierunek prostej ([[wektor jednostkowy]]),
: <math>\mathbf{o}</math> – punkt początkowy,
: <math>\mathbf{x}</math> – punkty na prostej.

Szukając punktów wspólnych, należy połączyć ze sobą równania i rozwiązać dla <math>d{:}</math>

: Równania po podstawieniu
:: <math>\|\mathbf{o} + d\mathbf{l} - \mathbf{c}\|^2=r^2 \Leftrightarrow (\mathbf{o} + d\mathbf{l} - \mathbf{c}) \cdot (\mathbf{o} + d\mathbf{l} - \mathbf{c}) = r^2.</math>
: Rozszerzając
:: <math>d^2(\mathbf{l}\cdot\mathbf{l})+2d(\mathbf{l}\cdot(\mathbf{o}-\mathbf{c}))+(\mathbf{o}-\mathbf{c})\cdot(\mathbf{o}-\mathbf{c})=r^2.</math>
: Po przestawieniu
:: <math>d^2(\mathbf{l}\cdot\mathbf{l})+2d(\mathbf{l}\cdot(\mathbf{o}-\mathbf{c}))+(\mathbf{o}-\mathbf{c})\cdot(\mathbf{o}-\mathbf{c})-r^2=0.</math>
: Otrzymuje się [[równanie kwadratowe]]
:: <math>a d^2 + b d + c = 0,</math>
: gdzie:
: <math>a=\mathbf{l}\cdot\mathbf{l}=\|\mathbf{l}\|^2,</math>
: <math>b=2(\mathbf{l}\cdot(\mathbf{o}-\mathbf{c})),</math>
: <math>c=(\mathbf{o}-\mathbf{c})\cdot(\mathbf{o}-\mathbf{c})-r^2=\|\mathbf{o}-\mathbf{c}\|^2-r^2.</math>
: Upraszczając
:: <math>d=\frac{-2(\mathbf{l}\cdot(\mathbf{o}-\mathbf{c})) \pm \sqrt{(2\left(\mathbf{l}\cdot(\mathbf{o}-\mathbf{c}))\right)^2-4\|\mathbf{l}\|^2(\|\mathbf{o}-\mathbf{c}\|^2-r^2)}}{2 \|\mathbf{l}\|^2}</math>
: <math>\mathbf{l}</math> jest wektorem jednostkowym, a <math>\|\mathbf{l}\|^2=1.</math> W związku z tym równanie można uprościć do
:: <math>d=-(\mathbf{l}\cdot(\mathbf{o}-\mathbf{c})) \pm \sqrt{(\mathbf{l}\cdot(\mathbf{o}-\mathbf{c}))^2-\|\mathbf{o}-\mathbf{c}\|^2+r^2}.</math>

* Jeśli wartość pod pierwiastkiem <math>((\mathbf{l}\cdot(\mathbf{o}-\mathbf{c}))^2-\|\mathbf{o}-\mathbf{c}\|^2+r^2)</math> jest mniejsza niż zero, rozwiązanie nie istnieje i prosta nie przecina sfery (przypadek 1).
* Jeśli jest to zero, istnieje jedno rozwiązanie i prosta przecina sferę w jednym punkcie (przypadek 2).
* Jeśli jest większa niż zero, istnieją dwa rozwiązania i prosta przecina sferę w dwóch punktach (przypadek 3).

== Zobacz też ==
* [[geometria analityczna]]

== Bibliografia ==
* David H. Eberly (2006), ''3D game engine design: a practical approach to real-time computer graphics'', 2nd edition, Morgan Kaufmann. {{ISBN|0-12-229063-1}}.

[[Kategoria:Geometria analityczna]]