Tekst źródłowy strony Problem Dirichleta

'''Problem Dirichleta''' polega na znalezieniu funkcji harmonicznej dla danego obszaru z danymi wartościami na brzegu. Problem ten został po raz pierwszy postawiony przez [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Lejeune’a Dirichleta]] dla [[Równanie różniczkowe Laplace’a|równania Laplace’a]].

== Przykład – Równanie struny skończonej przymocowanej do ruchomego końca ==
Rozważmy problem Dirichleta dla [[równanie falowe]]go opisujący strunę zamocowaną pomiędzy ścianami na stałe do jednego koṅca z drugim koṅcem poruszającym się liniowo, tzn. równanie [[Jean le Rond d’Alembert|d’Alemberta]] na trójkątnym obszarze iloczynu kartezjańskiego czasu i przestrzeni:
:: <math>\frac{\partial^2}{\partial t^2}u(x,t) - \frac{\partial^2}{\partial x^2} u(x,t) = 0,</math>
:: <math>u(0,t)= 0,</math>
:: <math>u(\lambda t, t)=0.</math>

Jak łatwo sprawdzić przez podstawienie rozwiązaniem równania z pierwszym warunkiem jest
:: <math>u(x,t) = f(t-x) - f(x+t).</math>

Chcemy ponadto
:: <math>f(t-\lambda t) - f(\lambda t+t)=0.</math>

Podstawiając
:: <math>\tau = (\lambda +1) t,</math>

otrzymujemy warunek samopodobieństwa,
:: <math>f(\gamma \tau) = f(\tau)</math>

gdzie:
:: <math>\gamma = \frac{1-\lambda}{\lambda+1}.</math>

Spełnia go np. funkcja złożona
:: <math>\sin[\log(e^{2 \pi} x)]= \sin[\log(x)]</math>

z <math>\lambda=e^{2\pi}=1^{-i},</math> więc w ogólności
:: <math>f(\tau) = g[\log(\gamma \tau)],</math>

gdzie <math>g</math> jest funkcją periodyczną z okresem <math>\log(\gamma)</math>
:: <math>g[\tau+\log(\gamma)]= g(\tau)</math>

i otrzymujemy więc ogólne rozwiązanie
:: <math>u(x,t)=g[\log(t-x)] - g[\log(x+t)].</math>

== Zobacz też ==
* [[Zagadnienie brzegowe|warunki brzegowe]]

{{Równania różniczkowe}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Analiza harmoniczna]]