Tekst źródłowy strony Prawdopodobieństwo

{{spis treści}}
'''Prawdopodobieństwo''' – w znaczeniu potocznym szansa na wystąpienie jakiegoś zdarzenia<ref>{{Cytuj |tytuł = prawdopodobieństwo – Słownik języka polskiego PWN |data dostępu = 2017-02-23 |opublikowany = sjp.pwn.pl |url = http://sjp.pwn.pl/sjp/prawdopodobie%C5%84stwo;2507927 |język = pl}}</ref>, natomiast w [[Teoria prawdopodobieństwa|matematycznej teorii prawdopodobieństwa]] rodzina miar służących do opisu częstości lub pewności tego zdarzenia.

W rozumieniu potocznym wyraz „prawdopodobieństwo” odnosi się do oczekiwania względem rezultatu zdarzenia, którego wynik nie jest znany (niezależnie od tego, czy jest ono w jakimś sensie [[determinizm|zdeterminowane]], miało miejsce w przeszłości, czy dopiero się wydarzy); w ogólności należy je rozumieć jako pewną miarę przewidywalności bądź [[pewność (epistemologia)|pewności]] względem zjawiska (przy danej o nim [[wiedza|wiedzy]]), co umożliwia ocenę potencjalnie związanego z nim [[ryzyko|ryzyka]].

Prawdopodobieństwo w sensie matematycznym służy do [[modelowanie matematyczne|modelowania]] [[doświadczenie losowe|doświadczeń losowych]] poprzez przypisanie poszczególnym [[zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)|zdarzeniom losowym]] liczb, zwykle z [[przedział jednostkowy|przedziału jednostkowego]] (często wyrażanych [[procent]]owo: od 0 do 100%), wskazujących szanse ich zajścia.

Istnieje wiele matematycznych interpretacji pojęcia prawdopodobieństwa<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Prawdopodobieństwo | id = 3961817 | data dostępu = 2021-07-22}}</ref>, między innymi tzw. {{odn|Hájek|2011}}:
* [[Prawdopodobieństwo obiektywne|obiektywne]] (częstościowe), jako obiektywną częstość zdarzenia w dużej liczbie prób losowych,
* [[Prawdopodobieństwo subiektywne|subiektywne]] (bayesowskie, od nazwiska [[Thomas Bayes|T. Bayesa]]), jako reprezentację subiektywnej pewności, uzyskanej na podstawie dotychczasowej wiedzy i zaobserwowanych danych.

Innym przykładem interpretacji jest [[interpretacja skłonnościowa|prawdopodobieństwo skłonnościowe]] [[Karl Popper|Karla Raimunda Poppera]]<ref>{{cytuj pismo |autor = Wojciech Załuski |tytuł = O Karla R. Poppera skłonnościowej interpretacji prawdopodobieństwa |url = http://seminascientiarum.wdfiles.com/local--files/numer-1-2002/1.3Zaluski.pdf |czasopismo = [[Semina Scientiarum]] |rok = 2002}}</ref><ref>{{cytuj książkę |autor = Załuski, Wojciech Zbigniew |tytuł = Skłonnościowa interpretacja prawdopodobieństwa |rok = 2008 |wydawca = Ośrodek Badań Interdyscyplinarnych przy Wydziale Filozoficznym Papieskiej Akademii Teologicznej |język = pl}}</ref>.

[[Teoria prawdopodobieństwa]], nazywana również rachunkiem prawdopodobieństwa, jest ugruntowanym działem [[matematyka|matematyki]], który wyrósł z rozważań dotyczących gier losowych w XVII wieku i został sformalizowany oraz [[#Definicja Kołmogorowa|zaksjomatyzowany]] jako osobna dziedzina matematyki na początku XX wieku. Z punktu widzenia [[filozofia matematyki|filozofii matematyki]] w swojej aksjomatycznej postaci [[twierdzenie|twierdzenia matematyczne]] dotyczące teorii prawdopodobieństwa niosą ze sobą tę samą pewność [[epistemologia|epistemologiczną]], co wszystkie inne twierdzenia matematyczne. Inną [[aksjomat]]yzację pojęcia prawdopodobieństwa w duchu bayesowskiego obiektywizmu podał [[Richard Threlkeld Cox]], która przedstawiana jest często w postaci [[twierdzenie Coxa|twierdzenia Coxa]].

== Rys historyczny ==
[[Plik:Christiaan Huygens-painting.jpeg|mały|Christiaan Huygens pierwszy naukowo opisał prawdopodobieństwo]]
Początków rachunku prawdopodobieństwa należy upatrywać w [[hazard]]zie: obserwacja różnego rodzaju [[gra losowa|gier losowych]] doprowadziła do sformułowania pierwszych stwierdzeń i wniosków natury formalnej dotyczących możliwości i szans zajścia zdarzeń. Pierwsze ścisłe uwagi dotyczące prawdopodobieństwa wymieniali ze sobą w swojej korespondencji (1654) [[Pierre de Fermat]] i [[Blaise Pascal]], stymulowani przez pytania [[Antoine Gombaud|Kawalera de Méré]]. Z kolei [[Christiaan Huygens]] (1657) jako pierwszy opisał zagadnienie z naukowego punktu widzenia. [[Jakob Bernoulli]] w swoim dziele ''[[Ars Conjectandi]]'' (pośmiertnie, 1713) i [[Abraham de Moivre]] w ''[[Doctrine of Chances]]'' (1718) traktują przedmiot jako dział matematyki.

To podejście doprowadziło do sformułowania przez [[Pierre Simon de Laplace|Pierre’a Simona de Laplace’a]] ''[[#Definicja Laplace’a|klasycznej definicji]] prawdopodobieństwa'' (1812). Mimo tego, iż tłumaczyła ona wiele interesujących wtedy zagorzałych graczy zjawisk, a ponadto dawała poprawne odpowiedzi, to zawiera ona zasadniczy [[błąd logiczny]]. Odwołuje się ona do możliwości wyodrębnienia tzw. zdarzeń elementarnych, które mają być „jednakowo możliwe”, czyli „jednakowo prawdopodobne” – definiens odwołuje się do definiendum, jest to więc przykład [[błędne koło w definiowaniu|błędnego koła w definiowaniu]].

Pewnym rozwiązaniem bolączek definicji klasycznej była przedstawiona przez [[Georges-Louis Leclerc de Buffon|Georges’a-Louisa Leclerca, hrabiego Buffon]] ''[[#Definicja Buffona|definicja geometryczna]]'' (1733), która umożliwiała badanie prawdopodobieństw zdarzeń nieskończonych poprzez przypisanie im miar podzbiorów w zbiorze miary jednostkowej, np. [[Długość fizyczna|długości]] sum odcinków leżących w [[przedział jednostkowy|odcinku jednostkowym]], czy [[pole powierzchni|pól powierzchni]] figur zawartych w [[kwadrat jednostkowy|kwadracie o jednostkowym polu]] (zob. [[igła Buffona]]). Przy badaniu tej definicji [[Joseph Louis François Bertrand]] zauważył [[paradoks]]alny problem opisywany dzisiaj jego nazwiskiem, tzw. [[paradoks Bertranda]], który jest w istocie pytaniem o właściwy dobór metody określania prawdopodobieństwa – to właśnie tego rodzaju paradoksom miały zapobiegać interpretacje częstotliwościowa i subiektywistyczna.

Definicja Laplace’a nie może też być stosowana w przypadku (potencjalnie) [[nieskończoność|nieskończenie]] długich ciągów zdarzeń. Z problemem tym próbowano sobie poradzić na kilka sposobów. Jednym z nich była tzw. ''[[#Definicja von Misesa|definicja częstotliwościowa]]'' [[Richard von Mises|Richarda von Misesa]] (1931), który zaproponował zdefiniowanie prawdopodobieństwa jako [[granica ciągu|granicę ciągu]] [[częstość (matematyka)|częstości]] serii zdarzeń, czyli niejako [[Ekstrapolacja (matematyka)|ekstrapolowanie]] uzyskiwanych rezultatów doświadczalnych na przypadek nieskończony. Definicja ta również jest uważana za błędną, gdyż nie mówi ona nic o warunkach istnienia wspomnianej granicy; formalizacją tej zgodnej z [[Intuicja|intuicją]] definicji są różnorodne wersje ''[[prawo wielkich liczb|prawa wielkich liczb]]''.

Definicja geometryczna okazała się niejako najlepszym z powyższych pomysłów, gdyż korzystając z nowo powstałej [[teoria miary|teorii miary]] i [[Henri Lebesgue#Teoria całkowania|teorii całkowania opracowanej przez Henriego Léona Lebesgue’a]] uogólniających pojęcia długości, pola powierzchni i objętości, [[Andriej Kołmogorow|Andriej Nikołajewicz Kołmogorow]] (1933) podał pierwszą ''[[#Definicja Kołmogorowa|aksjomatyczną definicję]] prawdopodobieństwa'', która została szeroko przyjęta jako właściwe określenie tego pojęcia. Z tego punktu widzenia paradoks Bertranda jest źle zaadresowanym pytaniem: definicja Kołmogorowa nie rozstrzyga, który z modeli jest lepszy, lecz umożliwia wyznaczenie prawdopodobieństwa zgodnie z wybranym; pewne rozwiązanie paradoksu przedstawił [[Edwin Thompson Jaynes]].

Alternatywnym do wspomnianej wyżej aksjomatyzacji sposobem wprowadzania formalnej teorii prawdopodobieństwa może być [[algebra]]iczna aksjomatyzacja zwana ''algebrą zmiennych losowych'' opisana przez Melvina Dale’a Springera w 1977 roku, choć nie jest to jedyna możliwość.

== Definicje ==
=== Definicja Laplace’a ===
Niech dany będzie [[zbiór skończony|skończony]] [[zbiór]] <math>\Omega</math> wszystkich możliwych ''[[Przestrzeń zdarzeń elementarnych|zdarzeń elementarnych]]''; dowolny [[podzbiór]] <math>A</math> zbioru <math>\Omega</math> nazywa się wtedy ''[[Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)|zdarzeniem]]''<ref group="uwaga">Być może lepsze są nazwy, w których brak wyrazu „zdarzenie”, np. „możliwość”, „przypadek”, czy „wynik”, gdyż nie prowadzą one do błędnego przeświadczenia, iż zdarzenia elementarne są zdarzeniami (zdarzenia elementarne, jako elementy, składają się na zdarzenia, które są zbiorami; zob. zbiór i podzbiór). Chcąc uzyskać zdarzenie, które zawierałoby wyłącznie wybrane zdarzenie elementarne <math>\omega \in \Omega,</math> należy wziąć [[zbiór jednoelementowy]] <math>\{\omega\} \subseteq \Omega.</math></ref>.

'''Prawdopodobieństwem''' <math>\mathbb P(A)</math> zajścia zdarzenia <math>A</math> nazywa się [[stosunek (matematyka)|stosunek]] liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu <math>A</math> do liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych należących do zbioru <math>\Omega.</math> Definicja ta zakłada więc nie [[wprost]], iż wszystkie zdarzenia elementarne wzajemnie się wykluczają, a ich wystąpienia równie możliwe. Innymi słowy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia <math>A</math> to liczba
: <math>\mathbb P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|},</math>

gdzie <math>|\cdot|</math> oznacza [[moc zbioru|liczbę wszystkich elementów]] danego zbioru.

=== Definicja Buffona ===
Niżej przedstawiona definicja w przypadku jednowymiarowym (dla podzbiorów na [[prosta|prostej]]), jednak uogólnia się ona wprost na przypadek dwu- oraz trójwymiarowy ([[płaszczyzna]] i [[pole powierzchni]]). Nomenklatura nie odbiega od przyjętej wyżej w definicji klasycznej i częstotliwościowej.

Niech <math>\Omega</math> oznacza podzbiór prostej, przy czym

* może być to zbiór [[Zbiór skończony|nieskończony]] (tzn. może posiadać nieskończenie wiele elementów, np. odcinek na prostej),
* musi być [[zbiór ograniczony|ograniczony]], tzn. musi mieć skończoną długość

W ten sposób zdarzenia <math>A \subseteq \Omega</math> będą mieć skończoną [[Miara (matematyka)|miarę]]<ref group="uwaga">W istocie wymaga się tu bardziej możliwości określenia długości, która ma być skończona. W domyśle przyjmuje się, że jest ona określana za pomocą tzw. [[miara Jordana|miary Jordana]], o ile nie zostanie zaznaczone wyraźnie inaczej; zob. [[#Definicja Kołmogorowa|kolejną sekcję]].</ref>.

Jeżeli przyjąć, że <math>|\cdot|</math> oznacza sumę długości wszystkich [[zbiory rozłączne|rozłącznych]] odcinków składających się na dany zbiór, to '''prawdopodobieństwo''' można określić, zupełnie jak w definicji klasycznej, wzorem
: <math>\mathbb P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}.</math>

=== Definicja von Misesa ===
Definicja częstościowa (in. częstotliwościowa), sformułowana przez [[Richard von Mises|Richarda von Misesa]], oparta jest na definicji Laplace’a, z tym iż <math>\Omega</math> może być dowolnym (niekoniecznie skończonym) zbiorem. Liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu <math>A</math> w <math>n</math> doświadczeniach (próbach) oznacza się <math>k_n(A);</math> iloraz <math>\frac{k_n(A)}{n}</math> nazywa się ''[[częstość (matematyka)|częstością]]'' zdarzenia <math>A.</math>

'''Prawdopodobieństwem''' <math>\mathbb P(A)</math> zdarzenia <math>A</math> nazywa się wtedy liczbę będącą [[granica ciągu|granicą]] [[ciąg (matematyka)|ciągu]] częstości przy liczbie prób <math>n</math> rosnącej do nieskończoności, tzn.
: <math>\mathbb P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{k_n(A)}{n}.</math>

Definicja ta stanowi podstawę [[Wnioskowanie częstościowe|wnioskowania częstościowego]] w statystyce, rozwijanego m.in. przez [[Ronald Fisher|Ronalda Fishera]].

=== Definicja Kołmogorowa ===
{{Osobny artykuł|przestrzeń probabilistyczna|o1=definicja Kołmogorowa}}
Jedynym niedostatkiem definicji Buffona było nieprecyzyjne określenie zdarzeń, którym można przypisać prawdopodobieństwo: nie było jasne, jaką postać mogą przyjmować zbiory odpowiadające zdarzeniom, a przez to, czy możliwe jest wskazanie ich długości<ref group="uwaga">Przykładowo problematyczny jest zbiór [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] należących do [[przedział jednostkowy|odcinka jednostkowego]]. Zgodnie z definicją [[miara Jordana|miary Jordana]] na prostej mierzenie tego zbioru odbywa się poprzez wypełnienie go „od dołu” i pokrycie „od góry” skończoną liczbą odcinków o ustalonej długości. Z jednej strony „pokrycie od góry” tego nieskończonego zbioru zawsze prowadzi do pokrycia nimi całego odcinka jednostkowego, gdyż punkty wymierne są na nim [[zbiór gęsty|gęsto]] rozmieszczone, a więc zbiór ten ma jednostkową miarę zewnętrzną; z drugiej strony punkty niewymierne również są na nim gęsto rozmieszczone, co oznacza, że [[dopełnienie zbioru|dopełnienie]] mierzonego zbioru również pokrywa w całości odcinek jednostkowy – „wypełnienie od dołu” będące różnicą miary całego odcinka i miary dopełnienia ma więc miarę zerową. Miara zbioru liczb wymiernych na odcinku jednostkowy w sensie Jordana jest więc nieokreślona, choć intuicyjnie zbiór ten powinien mieć miarę zerową, gdyż jest tylko przeliczalny w przeciwieństwie do jego dopełnienia.</ref>. Kluczem było wyraźne podanie założeń:

* zdarzenia elementarne muszą być elementami tzw. [[Przestrzeń mierzalna|sigma-ciała]], utworzonego na danym zbiorze zdarzeń
* potrzeba określić [[Miara (matematyka)|miarę]] na zbiorach sigma-ciała – np. w postaci [[Miara Lebesgue’a|miary Lebesgue’a]] i [[Całka Lebesgue’a|całki Lebesgue’a]]<ref group="uwaga">Podana niżej definicja przenosi się niemal bez zmian na [[Algebra Boole’a|algebry Boole’a]].</ref>.

Niech dany będzie pewien zbiór <math>\Omega</math> zdarzeń elementarnych. '''Prawdopodobieństwem''' nazywa się dowolną funkcję <math>\mathbb P</math> przypisującą zdarzeniom wartości z [[przedział jednostkowy|przedziału jednostkowego]], dla której <math>\mathbb P(\Omega) = 1</math> oraz <math>\mathbb P(A_1 \cup A_2 \cup \ldots) = \mathbb P(A_1) + \mathbb P(A_2) + \ldots</math> dla dowolnego przeliczalnego ciągu <math>(A_n)</math> [[zdarzenia losowe rozłączne|zdarzeń parami wykluczających się]]<ref group="uwaga">Zob. [[ciąg zbiorów]].</ref>. Zdarzenia nie są dowolnymi podzbiorami zbioru <math>\Omega,</math> czyli elementami rodziny wszystkich podzbiorów zbioru <math>\Omega,</math> lecz elementami rodziny <math>\mathcal F \subseteq \Omega,</math> która tworzy (w domyśle: jak największą) [[zbiór pusty|niepustą]] [[rodzina zbiorów|rodzinę]] zdarzeń w <math>\Omega,</math> która jest zamknięta na branie [[zdarzenie losowe przeciwne|zdarzeń przeciwnych]] i [[zbiór przeliczalny|przeliczalnych]] [[suma zdarzeń|alternatyw zdarzeń]] (intuicyjnie: dla każdego zdarzenia istnieje zdarzenie będące jego [[negacja|negacją]], a dla dowolnej, co najwyżej przeliczalnej, liczby zdarzeń istnieje zdarzenie będące ich [[alternatywa|alternatywą]])<ref group="uwaga">W szczególności rodzina <math>\mathcal F</math> może pokrywać się z <math>\Omega,</math> co ma np. miejsce w przypadku [[zbiór przeliczalny|przeliczalnym]] i [[zbiór skończony|skończonym]]; uogólnia ona więc wszystkie poprzednie definicje.</ref><ref group="uwaga">Rodzinę <math>\mathcal F</math> o podanych własnościach nazywa się [[przestrzeń mierzalna|σ-ciałem]] podzbiorów zbioru <math>\Omega.</math></ref>. Zrezygnowanie z możliwości określenia prawdopodobieństwa dla wszystkich zdarzeń wynika z problemów formalnych pojawiających się podczas rozpatrywania dość „patologicznych” ich przypadków<ref group="uwaga">W [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] istnieją zbiory, np. [[zbiór Vitalego]], dla których określenie ich [[Miara Lebesgue’a|miary Lebesgue’a]] jest niemożliwe; rozpatrywanie σ-ciała <math>\mathcal F</math> wyklucza tego rodzaju zbiory z dyskursu, dając przy tym wystarczająco bogaty zestaw zbiorów mierzalnych użyteczny do wszelkich zastosowań; ponieważ konstrukcja zbiorów niemierzalnych wymaga użycia szczególnych środków ([[aksjomat wyboru]]), bywa, iż w popularnym ujęciu pomija się te dywagacje, ''de facto'' rozmywając precyzję definicji Kołmogorowa do nieformalnej definicji Buffona.</ref>.

=== Definicja Springera ===
{{zobacz też|zmienna losowa}}
''Algebra zmiennych losowych'' – wychodząc nie od zdarzeń, lecz od [[Zmienna losowa|zmiennych losowych]] – umożliwia rachunki symboliczne ułatwiające znajdowanie [[rozkład prawdopodobieństwa|rozkładów prawdopodobieństwa]], [[wartość oczekiwana|wartości oczekiwanych]], [[wariancja|wariancji]], [[kowariancja|kowariancji]] itp. dla sum, iloczynów, czy ogólniejszych funkcji zmiennych losowych. Rozkłady prawdopodobieństwa wyznaczone są poprzez przypisanie wartości oczekiwanej każdej zmiennej losowej; przestrzeń mierzalna i miara prawdopodobieństwa z kolei powstają jako wynik zastosowania ugruntowanych [[twierdzenie o reprezentacji|twierdzeń reprezentacyjnych]] analizy<ref group="uwaga">W gruncie rzeczy chodzi przede wszystkim o [[Konstrukcja Gelfanda-Najmarka-Segala|konstrukcję Gelfanda-Najmarka-Segala]].</ref>. Ponadto podejście to nie czyni formalizacji nieskończeniewymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa trudniejszymi niż skończeniewymiarowych.

O zmiennych losowych<ref group="uwaga">Aby uzyskać wystarczający stopień ogólności można ograniczyć się do przestrzeni <math>\mathrm L^{\infty-} := \bigcap_{k=1}^\infty \mathrm L^k(\Omega)</math> określonych na zbiorze <math>\Omega</math> zmiennych losowych o wszystkich momentach skończonych. Klasa ta jest zamknięta ze względu na mnożenie (zob. dalej) i wszystkie jej elementy mają skończony [[ślad (algebra liniowa)|ślad]] (lub wartość oczekiwaną). Można by ograniczyć się dalej, do przestrzeni <math>\mathrm L^\infty = \mathrm L^\infty(\Omega)</math> (istotnie) ograniczonych zmiennych losowych (zob. [[przestrzeń Lp|przestrzenie Lebesgue’a]]), ale traci się w ten sposób traci ważne przykłady zmiennych losowych, w szczególności [[rozkład normalny|zmienne gaussowskie]]. Wybór <math>\mathrm L^{\infty-}</math> oznacza jednak rezygnację z jakiejś części struktury analitycznej, w szczególności w przeciwieństwie do <math>\mathrm L^\infty</math> wskazana przestrzeń nie jest [[przestrzeń Banacha|Banacha]], jednakże w przypadku podejścia algebraicznego wydaje się to być rozsądną ceną.</ref> zakłada się, iż mają następujące własności:
* [[liczby zespolone|stałe zespolone]] są zmiennymi losowymi,
* suma i iloczyn dwóch zmiennych losowych są zmiennymi losowymi,
* dodawanie i mnożenie zmiennych losowych są [[przemienność|przemienne]],
* istnieje działanie <math>(\cdot)^*</math> ''sprzężenia'' zmiennych losowych, które dla wszystkich zmiennych losowych <math>X, Y</math> jest:
** [[funktor (teoria kategorii)|funktorialne]], czyli spełnia <math>(XY)^* = Y^* X^*,</math>
** [[inwolucja (matematyka)|inwolutywne]], a więc <math>X^{**} = X,</math>
: przy czym pokrywa się ono ze [[sprzężenie zespolone|sprzężeniem zespolonym]] w przypadku stałych.

Powyższe warunki czynią ze zmiennych losowych przemienną [[*-pierścień|*-algebrę]] zespoloną. Samosprzężoną zmienną losową <math>X,</math> tj. spełniającą <math>X = X^*,</math> nazywa się ''rzeczywistą''. Operator ''[[wartość oczekiwana|wartości oczekiwanej]]'' <math>\mathbb E</math> na wspomnianej algebrze definiuje się jako znormalizowaną, dodatnią [[forma liniowa|formę liniową]], tzn.
* <math>\mathbb E(c) = c,</math> gdzie <math>c</math> oznacza stałą,
* <math>\mathbb E(X^* X) \geqslant 0</math> dla dowolnej zmiennej losowej <math>X</math><ref group="uwaga">W języku [[algebra von Neumanna|algebr von Neumanna]] warunek ten (wraz z <math>\mathbb E(1) = 1</math> będącym odpowiednikiem unormowania prawdopodobieństwa Kołmogorowa) oznacza, że <math>\mathbb E</math> jest stanem.</ref>,
* <math>\mathbb E(X + Y) = \mathbb E(X) + \mathbb E(Y)</math> dla wszystkich zmiennych losowych <math>X, Y,</math>
* <math>\mathbb E(cX) = c\mathbb E(X),</math> o ile <math>c</math> jest stałą.

Tak zdefiniowaną strukturę można uogólniać, opuszczając przykładowo warunek przemienności, co prowadzi do innych dziedzin prawdopodobieństwa nieprzemiennego, jak np. [[prawdopodobieństwo kwantowe]], teoria [[macierz losowa|macierzy losowych]], czy [[wolne prawdopodobieństwo]].

=== Definicja bayesowska ===
Prawdopodobieństwo w ujęciu bayesowskim (subiektywnym), również wywodzi się z definicji Laplace’a, i za [[Edwin Thompson Jaynes|Jaynesem]], opiera się na rozszerzeniu [[Rachunek zdań|logicznego rachunku zdań]] o [[Teoria prawdopodobieństwa|teorię prawdopodobieństwa]], jako pomost między [[Rozumowanie dedukcyjne|rozumowaniem dedukcyjnym]] a [[Rozumowanie indukcyjne|indukcyjnym]]<ref>{{Cytuj |autor = E.T. Jaynes |tytuł = Bayesian Methods: General Background |data dostępu = 2017-02-23 |s = 1–25 |doi = 10.1017/cbo9780511569678.003 |język = en}}</ref>.

'''Prawdopodobieństwo''' jest w tym przypadku interpretowane jako miara pewności, jaką można przypisać różnym hipotezom – modelowanej matematycznie jako [[rozkład prawdopodobieństwa]].

Bayesowska interpretacja prawdopodobieństwa stanowi podstawę [[Wnioskowanie bayesowskie|wnioskowania bayesowskiego]] w statystyce.

== Przykłady ==
[[Plik:Dice-disjunct-2.svg|thumb|W definicji klasycznej zdarzeniu <math>A</math> polegającemu na wylosowaniu nieparzystej liczby oczek na symetrycznej [[kość do gry|kości sześciennej]] sprzyjają trzy spośród wszystkich sześciu równie prawdopodobnych możliwości (zdarzeń elementarnych), zatem <math>\mathbb P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2};</math> podobnie <math>\mathbb P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.</math>]]
Przyjmując, iż rzut [[moneta|monetą]] może zakończyć się wyłącznie na dwa sposoby<ref group="uwaga">Rozpatrywana jest więc [[próba Bernoulliego]].</ref>: wyrzuceniem orła <math>\mathrm O</math> albo reszki <math>\mathrm R</math><ref group="uwaga">Zob. [[awers i rewers]].</ref>, to zakładając, że te dwa zdarzenia elementarne są równie prawdopodobne można skorzystać z klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Wtedy <math>\Omega = \{\mathrm O, \mathrm R\}</math> jest dwuelementowy, zatem <math>|\Omega| = 2.</math> Ponadto tak zdarzenie <math>\{\mathrm O\},</math> jak i zdarzenie <math>\{\mathrm R\}</math> są zbiorami jednoelementowymi, tzn. <math>|A| = 1</math> dla <math>A = \{\mathrm O\}</math> lub <math>A = \{\mathrm R\},</math> co oznacza, że prawdopodobieństwo wyrzucenia tak orła, jak i reszki wynosi <math>\mathbb P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{1}{2},</math> czyli iż zdarzenia te istotnie są równie prawdopodobne. W przypadku rzutu dwoma monetami przestrzeń zdarzeń elementarnych <math>\Omega = \{\mathrm{OO}, \mathrm{OR}, \mathrm{RO}, \mathrm{RR}\}</math> jest czteroelementowa, <math>|\Omega| = 4,</math> podczas gdy każde ze zdarzeń <math>A = \{\mathrm{OO}\}, \{\mathrm{OR}\}, \{\mathrm{RO}\}, \{\mathrm{RR}\}</math> można uzyskać tylko na jeden sposób, skąd <math>\mathbb P(A) = \frac{1}{4}.</math> Z kolei prawdopodobieństwo zdarzenia <math>B</math> polegającego na wyrzuceniu co najmniej jednego orła wynosi <math>\mathbb P(B) = \frac{3}{4},</math> gdyż zdarzeniu <math>B</math> sprzyjają zdarzenia elementarne <math>\mathrm{OO}, \mathrm{OR}, \mathrm{RO}.</math>

Wykonując doświadczenie polegające na stukrotnym rzucie monetą, można uzyskać orła w <math>47</math> przypadkach, zaś w tysiąckrotnym – przykładowo <math>512</math> rzutów zakończyło się wyrzuceniem orła. Oznacza to, że częstość wypadania orła była zmienna i wynosiła odpowiednio <math>k_{100}(A) = 47</math> oraz <math>k_{1000}(A) = 512.</math> Kontynuowanie w nieskończoność doświadczenia przekonałoby niezbicie eksperymentatora, iż moneta jest symetryczna, w przypadku gdy równo połowa rzutów zakończyłaby się wyrzuceniem orła, bądź wprost przeciwnie, gdyby ostateczny wynik nie podzieliłby się równo między orła i reszkę. Intuicję tę próbuje oddać definicja von Misesa: stosunek liczby wyrzuconych orłów do liczby wszystkich prób przy kontynuowaniu doświadczenia w nieskończoność – jeżeli <math>\mathbb P(A) = \lim \frac{|A|}{n} = \frac{1}{2},</math> to moneta będzie symetryczna. Tego rodzaju rozumowanie rodzi problemy natury poznawczej: prawdopodobieństwo dane jest ''[[a posteriori]]'', a nie ''[[a priori]]'', co uniemożliwia jakiekolwiek przewidywanie szans zajścia zdarzenia.

Wyrzucenie symetryczną monetą <math>1000</math> razy z rzędu reszki nie oznacza bynajmniej, że bardziej prawdopodobne będzie wyrzucenie w <math>1001</math> rzucie orła (tzw. „prawo serii”<ref>{{cytuj stronę |url = http://www.im.pwr.wroc.pl/~downar/polish/dokumenty/prawo%20serii.pdf |tytuł = Prawo serii w ujęciu matematycznym |autor = Tomasz Downarowicz |data = 12 stycznia 2011}}</ref>), czy też reszki (przełamanie serii<ref group="uwaga">Zob. [[paradoks hazardzisty]] i [[odwrotny paradoks hazardzisty]].</ref>). Z drugiej strony czy wyrzuciwszy <math>764</math> razy reszkę w <math>1000</math> rzutach można mieć uzasadnione zastrzeżenia co do symetryczności monety, tzn. czy istotnie w każdym rzucie prawdopodobieństwo wyrzucenia orła <math>A = \{\mathrm O\}</math> wynosi <math>\frac{1}{2}</math>?

[[Plik:Geometric probability PL example.svg|right]]
Prawdopodobieństwo losowego<ref group="uwaga">W tym momencie nie jest jasne co właściwie oznacza termin „losowo”: w ujęciu Kołmogorowa oznaczałoby to w tym przykładzie „zgodnie z [[rozkład jednostajny|rozkładem jednostajnym]]”.</ref> wybrania punktu z przedziału <math>[1, 2]</math> zawartego w przedziale <math>[0, 4],</math> oznaczanego jako zdarzenie <math>A,</math> jest równe stosunkowi możliwości wybrania punktu z pierwszego przedziału do wybrania punktu z drugiego, przy czym szanse te są intuicyjnie proporcjonalne do ich długości. Skoro długość przedziału <math>[a, b]</math> wynosi <math>b - a,</math> to geometryczne prawdopodobieństwo zdarzenia <math>A</math> wynosi <math>\mathbb P(A) = \frac{2 - 1}{4 - 0} = \frac{1}{4}.</math>

Doświadczenie losowego rzucania monetą w nieskończoność można sformalizować za Kołmogorowem przy pomocy [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]]: wynikiem doświadczenia jest losowy [[ciąg (matematyka)|ciąg]] elementów <math>\mathrm O, \mathrm R</math> oznaczających dwa możliwe wyniki pojedynczej próby, tzn. <math>\Omega = \{\mathrm O, \mathrm R\}^\mathbb N</math><ref group="uwaga">Zbiór <math>\Omega</math> jest w istocie [[Zbiór przeliczalny|przeliczalnym]] [[Iloczyn prosty|iloczynem prostym]] <math>\{\mathrm O, \mathrm R\}.</math> Rozpatruje się też wersję „dwustronną” <math>\Omega = \{\mathrm O, \mathrm R\}^\mathbb Z.</math></ref>. Zdarzeniami są dowolne ciągi skończone tych elementów<ref group="uwaga">Na zbiorze <math>\Omega</math> istnieje [[Transformacja naturalna|naturalna]] [[Przestrzeń topologiczna|topologia]] nazywana [[Topologia produktowa|topologią iloczynową]]; jej elementami są skończone ciągi elementów <math>\mathrm O, \mathrm R</math> – pozostałe (nieskończone) ciągi można uważać w niej za nieistotne. Zbiory ciągów skończonych są nazywane [[Zbiór cylindryczny|zbiorami cylindrycznymi]] w tej topologii.</ref>: istotnie, zbiór wszystkich tego rodzaju ciągów spełnia definicję rodziny <math>\mathcal F</math> ze sformułowania Kołmogorowa<ref group="uwaga" name="borel">Chodzi tu o [[przestrzeń mierzalna|σ-ciało]], mianowicie [[zbiór borelowski|σ-ciało borelowskie]].</ref>. Nieskończone ciągi złożone z elementów <math>\mathrm O, \mathrm R</math> nie są więc uważane za zdarzenia.

Jeżeli prawdopodobieństwo wylosowania orła i reszki w jednym rzucie wynosi odpowiednio <math>p</math> oraz <math>1-p</math> (gdzie <math>0 \leqslant p < 1;</math> wyżej przyjmowano <math>\frac{1}{2}</math>)<ref group="uwaga">Oznacza to, że [[próba Bernoulliego|próby Bernoulliego]] mają [[rozkład dwupunktowy]] z prawdopodobieństwami <math>p</math> oraz <math>1-p.</math></ref> to na przestrzeni zdarzeń <math>\Omega</math><ref group="uwaga" name="borel" /> można określić [[przestrzeń probabilistyczna|miarę prawdopodobieństwa]] zgodnie z aksjomatami Kołmogorowa w następujący sposób: prawdopodobieństwo zaobserwowania danego ciągu <math>A = \omega_1\omega_2\dots\omega_n</math><ref group="uwaga">Formalnie <math>A</math> jest ciągiem <math>(\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n),</math> gdzie <math>\omega_i = \mathrm O, \mathrm R;</math> wspomniana notacja jest używana w celu zachowania spójności z poprzednimi przykładami. Można ją sformalizować przyjmując, że zdarzenia opisywane są przez słowa nad alfabetem <math>\{\mathrm O, \mathrm R\}</math> (zob. [[język formalny]]).</ref> jest dane wzorem <math>\mathbb P(A) = p^k (1-p)^{n-k},</math> gdzie <math>k, n-k</math> są odpowiednio liczbami wystąpień <math>\mathrm O</math> oraz <math>\mathrm R</math> w ciągu<ref group="uwaga">Wspomnianą [[miara (matematyka)|miarę]], która jest [[miara produktowa|miarą iloczynową]], nazywa się niekiedy „miarą Bernoulliego”; samo doświadczenie losowe nazywa się [[proces Bernoulliego|procesem Bernoulliego]].</ref>. Przy takim sformułowaniu prawdopodobieństwo wylosowania nieskończenie długiego ciągu zdarzeń jest równe zeru, gdyż [[granica ciągu]] <math>p^n</math> dąży do zera wraz z <math>n</math> dążącym do nieskończoności (ze względu na ograniczenie <math>0 \leqslant p < 1</math>); innymi słowy jest ono zaniedbywalne<ref group="uwaga">To znaczy jest ono [[zbiór miary zero|miary zero]].</ref>. Okazuje się więc, że nieskończone ciągi rzutów monetą nie są konieczne do rozpatrywania tego doświadczenia i to właśnie jest powodem wykluczenia ich z rodziny wszystkich zdarzeń<ref group="uwaga">Jest to [[Porównanie topologii|najuboższa topologia]] umożliwiająca opis [[Proces Bernoulliego|procesu Bernoulliego]], bogatsze topologie zezwalające na rozpatrywanie ciągów nieskończonych mogą prowadzić do pewnych nieporozumień, czy [[Paradoks|paradoksów]]; zob. [[silna topologia]].</ref>. Niemniej nadal można powiedzieć, że niektóre rodzaje nieskończonych ciągów rzutów są dużo bardziej prawdopodobne od innych, o czym mówi [[asymptotyczna zasada ekwipartycji]]<ref>{{cytuj stronę |url = http://web.archive.org/web/20140210152209/http://www.mif.pg.gda.pl/kft/Teoria%20Informacji/ti8.pdf |tytuł = Wstęp do teorii informacji: Wykład 8 |autor = Marek Czachor |data = 29 listopada 2011}}</ref><ref>{{cytuj stronę|url=http://www.math.uni.wroc.pl/~wisla2012/prezentacje/inglot_4.pdf|tytuł=Teoria informacji a statystyka matematyczna|autor=Tadeusz Inglot|data=3–7 grudnia 2012|archiwum=https://web.archive.org/web/20221011233606/http://www.math.uni.wroc.pl/~wisla2012/prezentacje/inglot_4.pdf|zarchiwizowano=2022-10-11}}</ref>.

Powyższy model można również oprzeć na definicji geometrycznej, rozważając [[przedział jednostkowy]]: wynik pierwszego rzutu odpowiada lewemu (orzeł) lub prawemu (reszka) podprzedziałowi<ref group="uwaga">Lewy podprzedział oznacza podprzedział o wartościach bliższych zerach, prawy – o wartościach bliższych jedności.</ref>, a kolejne rzuty – kolejnym podprzedziałom poprzednio wybranych podprzedziałów wybieranym jak przy pierwszym rzucie; nieskończone ciągi odpowiadają punktom, które mają zerową długość, czyli są zaniedbywalne zupełnie jak miało to miejsce w poprzednim przypadku.

== Zobacz też ==
{{wikisłownik|prawdopodobieństwo}}
{{Wikibooks|Matematyka dla liceum/Rachunek prawdopodobieństwa|Rachunek prawdopodobieństwa}}
* prawdopodobieństwa: [[prawdopodobieństwo obiektywne|obiektywne]], [[prawdopodobieństwo subiektywne|subiektywne]]
* [[prawdopodobieństwo warunkowe]]
* [[statystyka]]
* [[teoria prawdopodobieństwa]]
* [[twierdzenie Bayesa]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj |autor = Alan Hájek |url = https://plato.stanford.edu/entries/probability-interpret/ |tytuł = Interpretations of Probability |data = 2011-12-19 |redaktor = Edward N. Zalta |praca = [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]] |język = en |archiwum = https://plato.stanford.edu/archives/win2017/entries/probability-interpret/ |zarchiwizowano = 2017-12-21 |data dostępu = 2017-02-23 |wydawca = Metaphysics Research Lab, [[Uniwersytet Stanforda|Stanford University]] |opis = Winter 2017 Edition |issn = 1095-5054 |odn = tak}} (Interpretacje prawdopodobieństwa)

== Linki zewnętrzne ==
* {{paywall}} ''[https://www.rep.routledge.com/articles/thematic/probability-interpretations-of/v-1 Probability, interpretations of]'' {{lang|en}}, [[Routledge Encyclopedia of Philosophy]], rep.routledge.com [dostęp 2023-05-10].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://www.youtube.com/watch?v=-6HxjiW_KwA Making Probability Mathematical]'', kanał PBS Infinite Series na [[YouTube]], 13 lipca 2017 [dostęp 2024-08-29].

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa]]