Tekst źródłowy strony Prawa Kirchhoffa (elektryczność)

'''Prawa Kirchhoffa''' – dwa prawa dotyczące przepływu [[Prąd elektryczny|prądu elektrycznego]], które łącznie umożliwiają ustalanie wartości i kierunków prądów w [[Obwód elektryczny|obwodach elektrycznych]]. Sformułował je [[Gustav Kirchhoff]] w 1847 roku<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3922394 | tytuł = Kirchhoffa prawa | data dostępu = 2023-03-24 }}</ref><ref>{{Cytuj |autor = Paul, Clayton R. |tytuł = Fundamentals of Electric Circuit Analysis |data = 2001 |isbn = 0-471-37195-5 |wydawca = John Wiley & Sons}}</ref>.

Szeroko stosowane w elektrotechnice do analizy obwodów prądu elektrycznego. Prawa te mogą być stosowane w dziedzinie czasu i częstotliwości.

== Pierwsze prawo Kirchhoffa ==
[[Plik:Pierwsze prawo Kirchhoffa.svg|thumb|200px|Węzeł z prądami wpływającymi i wypływającymi]]
Pierwsze prawo Kirchhoffa dotyczy prądów w węźle obwodu elektrycznego, prawo to brzmi:
: '''Dla węzła obwodu elektrycznego suma algebraiczna natężeń prądów wpływających (+) i wypływających (−) jest równa zeru''' (znak prądu wynika z przyjętej konwencji)

lub
: '''Suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów wypływających z tego węzła.'''

Dla przypadku przedstawionego na rysunku I prawo Kirchhoffa można więc zapisać w postaci:
:: <math>I_1 + I_2 + I_3 - I_4 - I_5 = 0,</math>

przyjmując konwencję, że prądy wpływające do węzła są dodatnie, zaś wypływające są ujemne i traktując je jak wielkości algebraiczne lub w postaci:
:: <math>I_1 + I_2 + I_3 =  I_4 + I_5,</math>

biorąc pod uwagę tylko wartości prądów i zapisując prądy wpływające po jednej, a prądy wypływające po drugiej stronie równania.

W ogólnym przypadku wielu prądów prawo ma postać:
:: <math>\sum_{\alpha = 1,2,\dots} I_\alpha = 0,</math>

przy czym prądom wypływającym przypisuje się ujemną wartość natężenia.

=== Ciągły rozkład prądów ===
W fizyce [[Ośrodek ciągły|ośrodków ciągłych]] prawo przyjmuje postać: całka po powierzchni zamkniętej z [[Gęstość prądu elektrycznego|gęstości prądu]] jest równa zeru:
:: <math>\oint\limits_S{\vec{J}\cdot \mathrm d\vec{S}}=0,</math>

gdzie:
: <math>J</math> – [[Gęstość prądu elektrycznego|gęstość prądu]] (w [[Amper|A]]/m²),
: <math>\mathrm d\vec{S}</math> – [[wektor powierzchni]] <math>\mathrm dS</math> małego fragmentu powierzchni <math>S</math> w m².

Oznacza to, że [[pole wektorowe]] gęstości prądu jest bezźródłowe, czyli [[dywergencja]] gęstości prądu jest zerowa
:: <math>\mbox{div}\vec{J}=0.</math>

Prawo jest konsekwencją [[Zasada zachowania ładunku|zasady zachowania ładunku elektrycznego]] i założeniu, że w elementach obwodu elektrycznego nie jest gromadzony ładunek.

== Drugie prawo Kirchhoffa ==
Najczęściej prawo to jest formułowane w postaci{{odn|Jaworski|Dietłaf|Miłkowska|1984}}:
:: '''W zamkniętym obwodzie suma [[spadek napięcia|spadków napięć]] równa jest sumie [[siła elektromotoryczna|sił elektromotorycznych]] występujących w tym obwodzie.'''

Zamkniętym obwodem jest każda zamknięta droga w obwodzie po której może płynąć prąd. Obwód ten może być elementem większej sieci i może składać się z mniejszych obwodów. Obwód zamknięty, który nie dzieli się na mniejsze obwody nosi nazwę oczka sieci.

Prawo to zapisane równaniem ma postać
:: <math>\sum_i U_i=\sum_k\mathcal{E}_k,</math>

gdzie:
: <math>\mathcal{E}_k</math> – [[siła elektromotoryczna|SEM]] <math>k</math>-tego źródła napięcia,
: <math>U_i</math> – spadek napięcia na <math>i</math>-tym elemencie oczka.

Dla oporów omowych
:: <math>U_i=I_iR_i,</math>

gdzie <math>I_i</math> jest natężeniem prądu płynącego przez opornik o oporze <math>R_i.</math>

Zarówno spadki napięcia, jak i siły elektromotoryczne mogą przybierać wartości ujemne i dodatnie. Ich znak ustala się według następujących reguł:
* przyjmuje się kierunek obiegu obwodu (np. zgodnie z ruchem wskazówek zegara),
* gdy kierunek prądu płynącego przez element obwodu jest zgodny z wyznaczonym kierunkiem obiegu, to spadek napięcia jest dodatni, w przypadku niezgodności – ujemny,
* gdy SEM jest spolaryzowana zgodnie z kierunkiem obiegu, jej wartość jest dodatnia, w przeciwnym przypadku – ujemna.

Prawo to można wywieść z faktu, że [[cyrkulacja|krążenie]] wektora pola elektrycznego po zamkniętym konturze ma wartość 0, jeżeli kontur ten zawarty jest w obwodzie prądu stałego przy braku zmian pola magnetycznego przepływającego przez ten obwód, czyli
:: <math>\oint\limits_{\vec l} \vec E \mathrm d\vec l=0.</math>

Traktując spadek napięcia jako jego ujemny przyrost, można II prawo Kirchhoffa sformułować następująco{{odn|Orear|1998}}:
:: '''Suma spadków napięcia w obwodzie zamkniętym jest równa zeru.'''

== Przykład ==
[[Plik:Kirshhoff-example.svg|thumb]]
Obwód elektryczny składa się z dwóch źródeł napięcia i trzech rezystorów, tak jak przedstawiono na schemacie obok. Przy znanych rezystancjach i siłach elektromotorycznych należy obliczyć natężenia prądu w gałęziach obwodu (<math>i_1,</math> <math>i_2,</math> <math>i_3</math>).

Przyjęto kierunki prądu jak na rysunku. Z pierwszego prawa Kirchhoffa w węźle:
: <math>i_1 - i_2 - i_3 = 0.</math>

Stosując drugie prawo Kirchhoffa i prawo Ohma do oczka <math>s_1</math> i <math>s_2{:}</math>
: <math>-R_2 i_2 + \mathcal{E}_1 - R_1 i_1 = 0,</math>
: <math>-R_3 i_3 - \mathcal{E}_2 - \mathcal{E}_1 + R_2 i_2 = 0.</math>

Co daje [[układ równań]] liniowych na <math>i_1,</math> <math>i_2,</math> <math>i_3{:}</math>
: <math>\begin{cases}
i_1 - i_2 - i_3 & = 0 \\
-R_2 i_2 + \mathcal{E}_1 - R_1 i_1 & = 0 \\
-R_3 i_3 - \mathcal{E}_2 - \mathcal{E}_1 + R_2 i_2 & = 0
\end{cases}</math>

co jest równoważne
: <math>\begin{cases}
i_1 + (- i_2) + (- i_3) & = 0 \\
R_1 i_1 + R_2 i_2 + 0 i_3 & = \mathcal{E}_1 \\
0 i_1 + R_2 i_2 - R_3 i_3 & = \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2
\end{cases}</math>

Dla poniższych rezystancji i sił elektromotorycznych
: <math>R_1 = 100\ \Omega,\ R_2 = 200\ \Omega,\ R_3 = 300\ \Omega</math>
: <math>\mathcal{E}_1 = 3\ \text{V}, \mathcal{E}_2 = 4\ \text{V}</math>

rozwiązaniem jest:
: <math>\begin{cases}
i_1 = \frac{1}{1100}\ \text{A} \\[6pt]
i_2 = \frac{4}{275}\ \text{A} \\[6pt]
i_3 = -\frac{3}{220}\ \text{A}
\end{cases}</math>

Natężenie prądu <math>i_3</math> ma ujemną wartość, oznacza to że rzeczywisty kierunek tego prądu jest przeciwny do założonego.

== Ograniczenia ==
Prawa Kirchhoffa obwodów elektrycznych w ich podstawowej postaci są wynikiem modelu skupionych elementów w stanie ustalonym, nie wpływających na siebie poprzez oddziaływanie elektryczne i magnetycznie. Mogą być stosowane do elementów rozciągłych, zmiennych w czasie i oddziałujących ze sobą lub elementami zewnętrznymi, wymagają jednak przyjęcia odpowiednich modeli elementów i obwodów w postaci elementów skupionych.

Przykładowo, pierwsze prawo jest konsekwencją założenia, że [[ładunek elektryczny]] dowolnego przewodu, złącza lub elementu skupionego jest stały. Zawsze gdy [[pole elektryczne]] między częściami obwodu nie jest pomijalne, ta część obwodu gromadzi ładunek elektryczny zależny od napięcia między elementami, którego nie można pominąć w obwodach prądu przemiennego dużej częstotliwości. W długiej linii przesyłowej gęstość ładunku w przewodniku będzie stale oscylować.

Prawo napięciowe opiera się na fakcie, że działanie zmiennych w czasie pól magnetycznych nie występuje albo jest ograniczone do poszczególnych elementów, takich jak cewki indukcyjne. Uwzględniając indukowane siły elektromotoryczne i napięcia wywołane pojemnościami można praw Kirchhoffa stosować w obwodach prądu zmiennego. W rzeczywistości indukowane pole elektryczne wytwarzane przez cewkę indukcyjną nie jest ograniczone do obwodu w którym występują, ale pola ''wyciekające'' są często pomijalne.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Jaworski |imię = B. |nazwisko2 = Dietłaf |imię2 = A. |nazwisko3 = Miłkowska |imię3 = L. |tytuł = Kurs fizyki. Elektryczność i magnetyzm |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1984 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Orear |imię = Jay |tytuł = Fizyka |tom = 1 |wydawca = [[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne]] |miejsce = Warszawa |rok = 1998 |isbn = 83-204-2451-8 |odn = tak}}

{{Teoria obwodów}}
{{Zasady zachowania}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Teoria obwodów]]
[[Kategoria:Prawa elektromagnetyczne]]
[[Kategoria:Elektryczność]]
[[Kategoria:Zasady zachowania]]