Tekst źródłowy strony Prawa Keplera

[[Plik:Mauerquadrant.jpg|thumb|200px|Tycho Brahe mierzy położenie gwiazd i planet (1598)]]

'''Prawa Keplera''' – trzy [[prawa fizyki|prawa]] astronomiczne opisujące ruch [[planeta|planet]] wokół [[Słońce|Słońca]] odkryte przez [[Johannes Kepler|Johannesa Keplera]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3921751 | tytuł = Keplera prawa | data dostępu = 2023-01-10 }}</ref>.

== Historia odkrycia ==
[[Plik:Astronomia Nova.jpg|thumb|250px|Dzieło ''Astronomia Nova'' z 1609]]
Kepler w trakcie studiów teologii protestanckiej w [[Tybinga|Tybindze]] zapoznał się szczegółowo z teorią [[heliocentryzm|heliocentryczną]] [[Mikołaj Kopernik|Kopernika]] i odtąd stał się jej gorącym propagatorem. To, że udało mu się odkryć trajektorie planet, inne niż proponowane przez wszystkie dotychczasowe systemy kosmologiczne, zawdzięczał współpracy z [[Tycho Brahe|Tychonem Brahe]].

Brahe przez wiele lat regularnie rejestrował położenia planet w ich ruchu po niebie, w szczególności dokonał wielkiej liczby dokładnych pomiarów położenia [[Mars]]a. Wysoką ich dokładność osiągnął, wyznaczając przestrzenne położenie punktów [[Orbita|orbity]] Marsa na podstawie znajomości średnicy orbity [[Ziemia|Ziemi]] oraz kąta widzenia tych samych punktów orbity Marsa w odstępach roku marsjańskiego. Szczęśliwym zbiegiem okoliczności dla skuteczności tej metody był fakt, że orbita Ziemi jest niemal dokładnie [[okrąg|okręgiem]], a orbita Marsa jest [[elipsa|elipsą]] o stosunkowo dużym [[ekscentryczność (fizyka)|mimośrodzie]].

Po śmierci Tychona Brahe w 1601 bogate wyniki jego pomiarów na mocy testamentu stały się własnością Keplera. Dysponując nimi, Kepler mógł graficznie wyznaczyć orbitę Marsa względem różnych punktów orbity ziemskiej. Po wieloletnich wytrwałych obliczeniach doszedł do wniosku, że najwłaściwszą krzywą jest [[elipsa]]. Głębsza analiza umożliwiła mu precyzyjne określenie zmiennej [[prędkość orbitalna|prędkości orbitalnej]] planety w jej ruchu po elipsie. Rezultaty tych prac opublikował w roku 1609 w dziele ''Astronomia Nova ‪(…)'' („Nowa astronomia‪ (…))”{{u|tytuł}}.

Obserwacje [[Galileuszowe księżyce Jowisza|galileuszowych księżyców Jowisza]], odkrytych w 1610 przez [[Galileusz]]a, potwierdziły trafność pierwszych dwóch praw Keplera o ruchu planet. Ułatwiły też Keplerowi, po kilku kolejnych latach, sformułowanie III prawa, opublikowanego w roku 1619 w ''Harmonices Mundi'' („Harmonia świata”). Wnioski z obserwacji ruchów Marsa potwierdzono wkrótce także dla orbit innych planet.

== Prawa Keplera ==
=== Pierwsze prawo ===
[[Plik:Comète trajectoire 7.svg|thumb|230px]]
{{Cytat
 |treść = '''Każda planeta [[Układ Słoneczny|Układu Słonecznego]] porusza się wokół Słońca po orbicie w kształcie elipsy, w której w jednym z ognisk jest [[Słońce]]'''
}}

Elipsę można opisać na kilka sposobów, w astronomii najczęściej opisuje się elipsy, podając ich [[półoś wielka|wielką półoś]] <math>(a)</math> oraz [[Ekscentryczność (fizyka)|mimośród]] <math>(e),</math> który określa stopień wydłużenia elipsy (im <math>e</math> bliższe zeru, tym elipsa bliższa jest okręgowi). Mimośród elipsy <math>e</math> jest równy stosunkowi długość odcinka <math>c</math> między środkiem a jednym z ognisk do długości wielkiej półosi:
:: <math>e = \frac{c}{a}.</math>

Mimośrody orbit planet w naszym [[Układ Słoneczny|układzie]] są w większości niewielkie. Poza Merkurym, dla którego mimośród przekracza nieco wartość 0,2, mimośrody orbit pozostałych planet są poniżej 0,1. Na przykład mimośród elipsy orbity Ziemi wynosi 0,0167, co oznacza, że wielka oś elipsy orbity Ziemi jest dłuższa od krótkiej osi niewiele więcej niż 1% jej długości.

=== Drugie prawo ===
[[Plik:Kepler 2 a.jpg|thumb|230px|Graficzna interpretacja II prawa Keplera]]
{{Cytat
 |treść = '''W równych odstępach czasu [[promień wodzący]] planety, poprowadzony od Słońca, zakreśla równe pola'''
}}
Opisuje to wyrażenie:
:: <math>\frac{\Delta A}{\Delta t} = \text{const}.</math>

Wynika stąd, że w [[peryhelium]] (w pobliżu Słońca) planeta porusza się szybciej niż w [[aphelium]] (daleko od Słońca), czyli planeta w ciągu takiego samego czasu przebywa dłuższą drogę <math>(\Delta S)</math> w pobliżu peryhelium, niż w pobliżu aphelium.

Na przykład dla orbity Ziemi (mimośród <math>e</math> = 0,01672) prędkość liniowa Ziemi w [[peryhelium]] wynosi 30,3 km/s, zaś w [[aphelium]] 29,3 km/s, dlatego lato (aphelium około 3 lipca) jest trochę dłuższe od zimy (peryhelium około 3 stycznia).

=== Trzecie prawo ===
{{Cytat
 |treść = '''Stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół Słońca do sześcianu wielkiej półosi jej orbity jest stały dla wszystkich planet w Układzie Słonecznym'''
}}

Można to zapisać wzorem:
:: <math>\frac{T^2_1}{a^3_1}=\frac{T^2_2}{a^3_2}=\text{const},</math>

gdzie:
: <math>T_1, T_2</math> – okresy obiegu dwóch planet,
: <math>a_1, a_2</math> – wielkie półosie orbit tych planet.

Z prawa tego wynika, że im większa orbita, tym dłuższy okres obiegu, oraz że prędkość liniowa na orbicie jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka promienia orbity (dla orbity kołowej).

== Czwarte „prawo” Keplera ==
[[Plik:Kepler-solar-system-1.png|thumb|Tajemnica kosmograficzna według Keplera]]
W rzeczywistości Kepler sformułował cztery prawa opisujące parametry orbit planet, jednak według współczesnej metodologii naukowej tzw. czwarte prawo nie jest uznawane jako prawo natury, a jedynie jako przybliżona i przypadkowa zależność. Zostało ono odkryte najwcześniej ze wszystkich jego praw i opublikowane w roku 1596 w książce ''[[Mysterium Cosmographicum]]'' (''Tajemnica kosmograficzna'').

Tak zwane „czwarte prawo” wiąże ze sobą promienie orbit planet. Kepler odkrył tę zależność, wpisując i opisując na poszczególnych [[wielościan foremny|wielościanach foremnych]] sfery o promieniach odpowiednio dobranych planet. Wcześniej nieskutecznie próbował tego, używając wielokątów i okręgów wyznaczonych przez orbity planet. Promienie orbit, które Kepler dopasowywał, były wyznaczone przy użyciu ówczesnych metod i dlatego nie były zbyt dokładne.

Ustawiając na przemian sfery i wielościany, Kepler zauważył, że:
# [[ośmiościan foremny]] opisany na [[sfera|sferze]] [[Merkury|Merkurego]] jest wpisany w sferę [[Wenus]],
# [[dwudziestościan foremny]] opisany na sferze Wenus jest wpisany w sferę Ziemi,
# [[dwunastościan foremny]] opisany na sferze Ziemi jest wpisany w sferę [[Mars]]a,
# [[czworościan foremny]] opisany na sferze Marsa jest wpisany w sferę [[Jowisz]]a
# [[sześcian (geometria)|sześcian]] opisany na sferze Jowisza jest wpisany w sferę [[Saturn]]a.

Szczęśliwym zbiegiem okoliczności było też to, że w czasach Keplera ostatnią znaną planetą był właśnie Saturn. Podobna zależność została również opisana jako [[reguła Titiusa-Bodego]].

== Znaczenie praw Keplera ==
Odkrycie Keplera, że zarówno planety w [[Układ Słoneczny|Układzie Słonecznym]], jak i księżyce w układzie Jowisza krążą wokół ciała centralnego po orbitach eliptycznych, było mocnym potwierdzeniem [[Heliocentryzm|teorii heliocentrycznej]] [[Mikołaj Kopernik|Kopernika]], dając zarazem niespotykaną dotąd zgodność obliczeń z obserwacjami. Było także definitywnym zerwaniem z pitagorejskim kanonem, zgodnie z którym prostota i elegancja opisu ruchu polegała na jego „rozłożeniu” na ruchy jednostajne po okręgu. Jeszcze w starożytności ideę tę podjął [[Platon]], a twórczo i matematycznie opracował ją [[Eudoksos z Knidos|Eudoksos]]. I od niego we wszystkich późniejszych modelach kosmologicznych pojawiały się koncentryczne sfery „działające” i „neutralizujące”, ekscentryczne koła, deferenty, epicykle i ekwanty. Towarzyszyły one wszystkim astronomom od [[Hipparchos z Nikei|Hipparcha]] poprzez [[Klaudiusz Ptolemeusz|Ptolemeusza]] na Koperniku skończywszy{{u|Kopernik}}. Odkrycie Keplera odrzuciło ten pitagorejsko-platoński kanon – elipsy okazały się równie pięknym i z pewnością prostszym pojęciem systemu kosmologicznego.

Te wydedukowane z danych empirycznych prawa były w gruncie rzeczy prawami czysto geometrycznymi. Pojawiające się wzmianki dotyczące masy, siły i bezwładności (szczególnie w pracach [[Galileusz]]a) zupełnie nie znalazły odzwierciedlenia w prawach Keplera. Z punktu widzenia dzisiejszej fizyki jest to opis ruchu w języku kinematyki, brak w nich zupełnie pojęć dynamiki. On sam pisząc ''Astronomia nova'', był przekonany, że tym co wywołuje orbitalny ruch planet, jest „duch planety”, choć i u niego ten pogląd ewoluował – z biegiem lat zauważywszy ścisłą zależność prędkości liniowej planety na orbicie od jej średnicy, doszedł do wniosku, że przyczyna ruchu ma jednak podłoże fizyczne. Nawet w takim poglądzie widać pokłosie błędnej arystotelesowskiej fizyki{{u|Galileusz}}, choć u Keplera nowatorskie niewątpliwie było mówienie o „podłożu fizycznym” w ruchach ciał niebieskich{{u|moment}}.

Mimo to znaczenie praw Keplera dla dalszego rozwoju fizyki trudno przecenić – były one inspiracją i podstawą rozważań dla [[Isaac Newton|Newtona]] szukającego uniwersalnego prawa rządzącego ruchami ciał na powierzchni Ziemi, jak i w kosmosie. W roku 1687 Newton, korzystając z wprowadzonych przez siebie trzech [[Zasady dynamiki Newtona|zasad dynamiki]], wyprowadził z trzech praw Keplera wzór na [[siła|siłę]] przyciągającą dwóch ciał, formułując tym samym nowe [[prawo powszechnego ciążenia]]{{r|dowód}}. Walnie przyczyniły się więc do rozwoju [[Mechanika klasyczna|mechaniki klasycznej]].

Dzisiaj, po czterech wiekach, zmieniło się podejście do praw Keplera. R. Penrose pisze:

: „Obecnie jednak nieco inaczej traktujemy ruchy Keplera i uważamy, że są one jedynie konsekwencją siedemnastowiecznych praw dynamiki grawitacyjnej, sformułowanych po raz pierwszy przez Newtona (…); nie traktujemy zatem praw Keplera jako fundamentalnych praw Przyrody”{{r|Penrose}}.

Z praw uwiarygodniających wzór na ciążenie powszechne Newtona stały się jedynie jego piękną i sugestywną ilustracją. Tak też są one przedstawiane w wielu współczesnych źródłach (np. podręcznikach akademickich), gdzie wyprowadza się je z praw mechaniki klasycznej{{r|Rubinowicz}}.

== Współczesne ujęcie ==
Z praw mechaniki Newtona wynika, że trzy prawa Keplera poprawnie opisują ruch planety w układzie związanym ze Słońcem. Dokładniej: prawa Keplera mówią o układzie dwóch ciał obdarzonych masą, z których jedno ma masę zaniedbywalnie małą w porównaniu z masą drugiego. W przypadku dwóch ciał o porównywalnych masach układ odniesienia nie jest związany z żadnym z nich, tzn. żadne z nich nie jest ciałem centralnym. Prawa Keplera zupełnie zawodzą dla układu trzech{{u|3ciała}} i więcej ciał.

Podstawowymi pojęciami, w których współcześnie wyraża się te prawa, to m.in. masa, energia, siła, [[moment pędu]].

=== Pierwsze prawo Keplera ===
Każde z dwóch ciał porusza się po [[krzywa stożkowa|krzywej stożkowej]], w [[ognisko (matematyka)|ognisku]] której znajduje się [[środek masy]] całego układu. Ze środkiem tym jest związany inercjalny układ odniesienia, co wynika z [[zasada zachowania pędu|zasady zachowania pędu]] i właśnie w tym układzie krzywa ma kształt pewnej stożkowej.

W szczególnie ważnym przypadku, gdy m<<M, jeden z parametrów stożkowej można wyznaczyć z zależności:
:: <math>a=-\frac{GMm}{2U},</math>

gdzie:
: <math>a</math> – wielka półoś stożkowej (dla paraboli jest to <math>\infty,</math> dla hiperboli jest to połowa odległości między wierzchołkami obu gałęzi wzięta z minusem),
: <math>M,m</math> – masy obu ciał,
: <math>G</math> – [[stała grawitacji]],
: <math>U</math> – całkowita energia orbitalna, tj. suma energii kinetycznej <math>E_k</math> i potencjalnej <math>E_p</math> ciała mniejszego w układzie związanym ze środkiem masy układu. Ponieważ <math>E_p</math> jest ujemne, więc można wartość całkowitej energii wyrazić jako <math>U=|E_k|-|E_p|.</math>

Z analizy powyższego równania wynika, że
* jeśli <math>a>0,</math> czyli <math>U<0,</math> to ciało porusza się po elipsie o półosi równej <math>a,</math>
* jeśli <math>a=\infty,</math> czyli <math>U=0,</math> to ciało porusza się po paraboli,
* jeśli <math>a<0,</math> czyli <math>U>0,</math> to ciało porusza się po hiperboli o półosi równej <math>-a.</math>

Oznacza to, że jeśli energia orbitalna jest nieujemna, tj. <math>U\geqslant 0,</math> to mniejsze ciało porusza się na tyle szybko, że zbliży się do drugiego ciała tylko jednokrotnie.

=== Drugie prawo Keplera ===
Zgodnie z tym prawem [[prędkość polowa]] każdej planety jest stała. Wektorowo oznacza to, że dla dowolnej stożkowej:
:: <math>\vec{v_s}=\frac{d\vec{S}}{dt}= \text{const},</math>

gdzie:
: <math>\vec{v_s}</math> – prędkość polowa rozumiana jako wektor prostopadły do płaszczyzny stożkowej,
: <math>d\vec{S}</math> – wektor powierzchni o wartości pola zakreślanego w czasie <math>dt</math> przez promień wodzący o początku w ognisku stożkowej.

Stosując wzór na pole trójkąta: <math>dS =\tfrac{1}{2} R ds \sin \alpha,</math> dostaniemy <math>d\vec{S} = \tfrac{1}{2} \vec{R} \times d\vec{s},</math> gdzie <math>\alpha</math> jest kątem między promieniem wodzącym a wektorem przesunięcia <math>\vec{ds}</math> na orbicie. Stąd:
:: <math>\vec{v_s} =\frac{d\vec{S}}{dt} = \frac{\vec{R} \times d\vec{s}}{2\cdot dt} = \frac{\vec{R} \times \vec{v}}{2} = \frac{1}{2}R^2\vec {\omega}=\text{const},</math>

gdzie:
: <math>d\vec{s}</math> – nieskończenie mały wektor przesunięcia w ruchu po orbicie,
: <math>\vec{R}</math> – promień wodzący z ogniska,
: <math>\vec{v}</math> – prędkość liniowa na orbicie,
: <math>\vec\omega</math> – prędkość kątowa wokół ogniska orbity.

Jednocześnie zachodzi
:: <math>\vec{J} = m\vec{R} \times \vec{v},</math>

gdzie:
: <math>\vec{J}</math> – moment pędu planety,
: <math>m</math> – masa planety.

Stąd:
:: <math>\frac{\vec{J}}{2m} = \text{const}.</math>

Powyższą kinetyczną zależność można zinterpretować jako przejaw działania [[Zasada zachowania momentu pędu|zasady zachowania momentu pędu]] planety. Siła grawitacyjna bowiem, jako oddziaływanie centralne, w układzie podwójnym nie wywołuje momentów sił, zatem moment pędu układu zostaje zachowany.

=== Trzecie prawo Keplera ===
Jeśli planeta porusza się w polu grawitacyjnym gwiazdy, ale jej masa jest na tyle duża, że nie można jej pominąć przy porównaniu z masą gwiazdy, natomiast pominie się oddziaływania z innymi ciałami, obowiązuje zależność zwana uogólnionym III prawem Keplera:
:: <math>d^3 = \frac{G \left( M_S + m \right)}{4 \pi^2} T^2,</math>

gdzie:
: <math>d</math> – średnia odległość między środkami mas planety i obieganej gwiazdy w znaczeniu [[Średnia arytmetyczna|średniej arytmetycznej]] największej i najmniejszej odległości między tymi ciałami,
: <math>G</math> – [[stała grawitacji]],
: <math>m</math> – masa danej planety,
: <math>M_S</math> – masa gwiazdy,
: <math>T</math> – okres obiegu planety wokół gwiazdy.

Z uogólnionego trzeciego prawa Keplera, pomijając masę planety, można wyprowadzić sformułowane przez Keplera prawo, gdy: <math>M_S + m \to M_S.</math>

== Uwagi ==
{{Uwagi|
<ref name="Galileusz">Galileusz bezlitośnie obnażył słabości tej fizyki w dziele ''Dialog o dwóch systemach wszechświata'' w roku 1632.</ref>
<ref name="tytuł">Pełny tytuł: ''Astronomia Nova ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΤΟΣ seu physica coelestis, tradita commentariis de motibus stellae Martis ex observationibus G.V. Tychonis Brahe''.</ref>
<ref name="Kopernik">Przyjęte początkowo przez Kopernika idealne okręgi jako orbity planet dawały tak duże rozbieżności z obserwacjami (gorsze nawet niż u Ptolemeusza), że zmusiło to astronoma do użycia niemal tak samo skomplikowanego jak u Ptolemeusza systemu epicykli.</ref>
<ref name="3ciała">W szczególnym przypadku, gdy trzy ciała poruszają się w jednej płaszczyźnie i jedno z nich ma masę zaniedbywalną w stosunku do pozostałych dwóch, możliwy jest analityczny opis historii układu.</ref>
<ref name="moment">Stała prędkość kątowa jest równoznaczna z zerowym momentem siły. Inaczej mówiąc, żaden „duch” ani siła wzdłuż orbity nie są potrzebne do poruszania planety na jej orbicie, czyli wbrew fizyce Arystotelesa – gdyby ją zastosować do ruchów orbitalnych – ten ruch nie wymaga podtrzymywania.</ref>
}}

== Przypisy ==
{{Przypisy|
<ref name="Rubinowicz">Np. {{cytuj książkę |autor = W. Rubinowicz |autor2 = W. Królikowski |tytuł = Mechanika teoretyczna |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |rok = 1980 |isbn = 83-01-01689-2 |strony = 126–129}}</ref>
<ref name="Penrose">{{cytuj książkę |autor = R. Penrose |tytuł = Droga do rzeczywistości |rozdział = 27. Wielki Wybuch, paragraf 1}}</ref>
<ref name="dowód">Rekonstrukcję dowodu przeprowadzonego przez Newtona można znaleźć w: {{cytuj książkę |autor = M. Kordos |tytuł = Wykłady z historii matematyki |rozdział = XIII |strony = 154 |wydawca = WSiP |miejsce = Warszawa |rok = 1994 |isbn = 83-02-05591-3}}</ref>
}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Pismo Delta | url = 2020/10/drugie-prawo-keplera-i-owale-newtona-kontrowersje-wokol-lematu-xxviii-w-principiach/ | autor = Grzegorz Łukaszewicz | tytuł = Drugie prawo Keplera i owale Newtona. Kontrowersje wokół Lematu XXVIII w Principiach | data = październik 2020 | data dostępu = 2024-05-05 }}
* {{Pismo Delta | url = 2024/01/problemy-z-dowodem-prawa-pol-w-principiach-newtona/ | autor = Grzegorz Łukaszewicz | tytuł = Problemy z dowodem prawa pól w Principiach Newtona? | data = styczeń 2024 | data dostępu = 2024-02-13 }}
* {{Pismo Delta | url = 2025/01/trzecie-prawo-keplera-i-analiza-wymiarowa/ | autor = Grzegorz Łukaszewicz | tytuł = Trzecie prawo Keplera i analiza wymiarowa | data = styczeń 2025 | data dostępu = 2025-01-05 }}

{{Kształt i ruch Ziemi}}
{{Zasady zachowania}}
{{Krzywe stożkowe}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Mechanika nieba]]
[[Kategoria:Fizyka matematyczna]]
[[Kategoria:Jan Kepler]]
[[Kategoria:Zasady zachowania]]