Tekst źródłowy strony Podzbiór

[[Plik:Venn A subset B.svg|thumb|150px|[[Diagram Venna]]: ''A'' jest podzbiorem ''B'', a ''B'' jest nadzbiorem ''A''.]]
'''Podzbiór''' – pewna „część” danego [[zbiór|zbioru]], czyli dla danego zbioru, nazywanego '''nadzbiorem'''<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3945273 | tytuł = nadzbiór | data dostępu = 2022-03-14}}</ref>, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się ''podzbiorem pustym'', drugi – ''podzbiorem jednoelementowym'' lub ''singletonem'', trzeci – ''podzbiorem niewłaściwym''.

== Definicja ==
Niech <math>A, B</math> będą zbiorami. Jeżeli każdy element <math>x \in A</math> jest jednocześnie elementem <math>B,</math> to zbiór <math>A</math> nazywa się '''podzbiorem''' zbioru <math>B</math>{{odn|Kuratowski|Mostowski|1952|s=8}}{{odn|Rasiowa|1975|s=10}}{{odn|Kuratowski|1980|s=21}}. W zapisie logicznym:
: <math>A \subseteq B \,\iff \forall_{x \in A}\ x \in B,</math>

Jeżeli <math>A</math> jest podzbiorem <math>B,</math> to sam zbiór <math>B</math> nazywa się '''nadzbiorem''' zbioru <math>A</math>{{odn|Rasiowa|1975|s=10}} i oznacza <math>B \supseteq A.</math>

Jeżeli każdy element zbioru <math>A</math> należy do <math>B</math> i jednocześnie każdy element zbioru <math>B</math> należy do <math>A,</math> czyli <math>A \subseteq B</math> oraz  <math>B \subseteq A</math> to <math>A = B</math> i dla zaznaczenia tego faktu taki podzbiór <math>A</math> zbioru <math>B</math> nazywa się '''niewłaściwym'''. Zatem cały zbiór <math>B</math> jest swoim podzbiorem niewłaściwym, a więc <math>B \subseteq B.</math> W przeciwnym wypadku, czyli gdy <math>A \subseteq B</math> oraz <math>A \ne B,</math> zbiór <math>A</math> nazywa się '''podzbiorem właściwym''' zbioru <math>B</math>{{odn|Rasiowa|1975|s=10}} i oznacza <math>A \subsetneq B.</math> Podobnie ma się rzecz z nadzbiorami.

=== Zapis ===
Do oznaczenia podzbioru bądź nadzbioru niekiedy wykorzystuje się jedynie symbole <math>\subset</math><ref name="epwn-p">{{Encyklopedia PWN |id = 3958998 |tytuł = podzbiór |data dostępu = 2022-03-14}}</ref> oraz <math>\supset,</math> a bycie podzbiorem (nadzbiorem) właściwym jest wtedy zaznaczane obok. Występuje to m.in. w starszych pozycjach, np. w podręcznikach [[Kazimierz Kuratowski|Kuratowskiego]]{{odn|Kuratowski|Mostowski|1952|s=8}}{{odn|Kuratowski|1980|s=21}} i [[Helena Rasiowa|Rasiowej]]{{odn|Rasiowa|1975|s=10}}. Z czasem jednak zaczęto korzystać ze znaków <math>\subseteq</math> i <math>\supseteq</math> na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów, również niewłaściwych (z połączenia poprzednich znaków ze znakiem równości), pozostawiając poprzednie symbole dla przypadków właściwych<ref group="uwaga">Zgodnie z analogią do symboli stosowanych w [[częściowy porządek|relacjach porządku]], np. <math><, \leqslant, >, \geqslant.</math></ref>{{odn|Ross|Wright|1996|s=17}}{{odn|Tiuryn|1998|s=4}}.

Część autorów przyjęła nową konwencję, inni pozostali przy dotychczasowej. W wyniku tego znaczenie symboli <math>\subset</math> i <math>\supset</math> stało się nieprecyzyjne. Z czasem wprowadzono symbole <math>\subsetneq</math> i <math>\supsetneq</math> na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów właściwych (połączenie ze znakiem nierówności), które jednoznacznie określają podzbiory i nadzbiory właściwe. W celu uniknięcia wątpliwości w artykule tym konsekwentnie stosowane są symbole zawierające znaki równości i nierówności.

== Zawieranie ==
Dla dowolnego zbioru <math>K</math> prawdziwe jest zdanie:
* [[zbiór pusty]] jest podzbiorem dowolnego zbioru{{odn|Rasiowa|1975|s=12}}{{odn|Kuratowski|Mostowski|1952|s=10}} ([[elementy najmniejszy i największy|element najmniejszy]]),
*: <math>\varnothing \subseteq K.</math>

Zbiór pusty jest podzbiorem właściwym każdego zbioru oprócz siebie.

Poza tym dla dowolnych zbiorów <math>K, L, M</math> zachodzą następujące fakty:
* dowolny zbiór jest swoim własnym podzbiorem ([[relacja zwrotna|zwrotność]]),
*: <math>K \subseteq K</math>{{odn|Rasiowa|1975|s=12}}{{odn|Kuratowski|1980|s=21}},
* zbiory będące swoimi podzbiorami i nadzbiorami są równe{{odn|Rasiowa|1975|s=12}}{{odn|Kuratowski|Mostowski|1952|s=8}} ([[relacja antysymetryczna|antysymetria]]),
*: <math>K \subseteq L \wedge L \subseteq K \Rightarrow K = L;</math>
* podzbiór podzbioru danego zbioru jest podzbiorem tego zbioru ([[relacja przechodnia|przechodniość]]),
*: <math>K \subseteq L \wedge L \subseteq M \Rightarrow K \subseteq M</math>{{odn|Rasiowa|1975|s=12}}{{odn|Kuratowski|1980|s=22}}.

[[Relacja (matematyka)|Relacja]] <math>\subseteq</math> jest więc [[częściowy porządek|relacją częściowego porządku]] (słabego) określoną w zbiorze wszystkich podzbiorów danego zbioru, tzw. [[zbiór potęgowy|zbiorze potęgowym]]{{odn|Rasiowa|1975|s=112}}{{odn|Kuratowski|1980|s=74}}. Nazywa się ją '''zawieraniem''' bądź '''inkluzją'''{{odn|Kuratowski|Mostowski|1952|s=8}}{{odn|Rasiowa|1975|s=10}}{{odn|Kuratowski|1980|s=21}}. Dlatego też dla danych zbiorów <math>A, B</math> pozostających z sobą w relacji <math>A \subseteq B</math> mówi się obok „<math>A</math> jest podzbiorem <math>B</math>”, że <math>A</math> ''zawiera się'' bądź ''jest zawarty'' w <math>B.</math> Analogiczne wyrażenie <math>B \supseteq A</math> obok „<math>B</math> jest nadzbiorem <math>A</math>” czyta się <math>B</math> ''zawiera'' <math>A.</math>

Relacja <math>\supseteq</math> ma analogiczne własności (ma [[elementy najmniejszy i największy|element największy]] zamiast najmniejszego, jest nim również zbiór pusty), a sama nie doczekała się własnej nazwy i również nosi nieściśle nazwę inkluzji bądź zawierania<ref group="uwaga">Relację <math>\supseteq</math> można sformalizować na poziomie języka uznając, że <math>B \supseteq A</math> jest po prostu innym sposobem zapisu <math>A \subseteq B.</math></ref>. Sposób czytania tych relacji również jest wymienny i zależy od czytelnika, choć zwykle stosuje się wyżej opisany.

=== Zawieranie właściwe ===
Podobnie rzecz ma się z relacjami <math>\subsetneq</math> oraz <math>\supsetneq,</math> które niekiedy czyta się „zawiera się całkowicie (w całości) w” i „jest zawarty całkowicie w”. Relacje te są również relacjami częściowego porządku, lecz ostrymi, mają więc nieco inne własności<ref group="uwaga">Raz jeszcze można uznać, że <math>\supsetneq</math> to inny sposób zapisu <math>\subsetneq,</math> mianowicie wyrażenie <math>B \supsetneq A</math> jest tożsame <math>A \subsetneq B.</math></ref>; dla dowolnych zbiorów <math>K, L, M{:}</math>
* żaden zbiór nie jest swoim ścisłym nadzbiorem ([[relacja zwrotna|przeciwzwrotność]]),
*: <math>\lnot(K \subsetneq K),</math>
* podzbiór właściwy podzbioru właściwego danego zbioru jest podzbiorem właściwym tego zbioru ([[relacja przechodnia|przechodniość]]),
*: <math>K \subsetneq L \wedge L \subsetneq M \Rightarrow K \subsetneq M.</math>
Z tych dwóch własności wynika też trzecia:
* podzbiór właściwy zbioru nie może być jego nadzbiorem właściwym ([[relacja przeciwsymetryczna|przeciwsymetria]]),
*: <math>K \subsetneq L \Rightarrow \lnot (L \subsetneq K).</math>

Warto zauważyć, że z własności drugiej i trzeciej wynika pierwsza.

== Przykłady ==
* zbiór <math>\{1, 3, 4\}</math> jest podzbiorem (właściwym) zbioru <math>\{1, 2, 3, 4\},</math>
* zbiór <math>\{1, 2, 3, 4\}</math> zawiera się w <math>\{1, 2, 3, 4\},</math>
* zbiór <math>\{1, 2, 4, 5\}</math> '''nie jest''' podzbiorem zbioru <math>\{1, 2, 3, 4\},</math>
* zbiór [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] jest podzbiorem (właściwym) zbioru [[liczby całkowite|liczb całkowitych]], ale zbiór liczb całkowitych '''nie jest''' podzbiorem zbioru liczb naturalnych,
* zbiór [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] jest nadzbiorem (właściwym) zbioru [[liczby wymierne|liczb wymiernych]],
* zbiór [[kwadrat]]ów jest całkowicie zawarty w zbiorze [[romb]]ów, zawiera się również w zbiorze [[prostokąt]]ów, jednakże zbiór rombów '''nie''' jest podzbiorem zbioru prostokątów.

== Zobacz też ==
{{wikibooks2|książka=Matematyka dla liceum|rozdział=Liczby i ich zbiory|link=Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Pojęcie zbioru#Zawieranie i równość zbiorów}}
* [[teoria mnogości]]
* [[zanurzenie (matematyka)]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Guzicki |imię = Wojciech |nazwisko2 = Zakrzewski |imię2 = Piotr |autor link2 = Piotr Zakrzewski (matematyk) |tytuł = Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |miejsce = Warszawa |rok = 2005 |isbn = 83-01-14415-7}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kuratowski |imię = Kazimierz |nazwisko2 = Mostowski |imię2 = Andrzej |autor link = Kazimierz Kuratowski |autor link2 = Andrzej Mostowski |tytuł = Teoria mnogości |url = http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.dl-catalog-234246e7-642c-4afd-8764-5edfcc26fad4 |miejsce = Warszawa |wydawca = Polskie Towarzystwo Matematyczne |strony = |rok = 1952 |oclc = 250182901 |seria = Monografie matematyczne, t. 27 |data dostępu = 2016-09-23 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kuratowski |imię = Kazimierz |autor link = Kazimierz Kuratowski |tytuł = Wstęp do teorii mnogości i topologii |miejsce = Warszawa |wydawca = PWN |strony = |wydanie = 8 |rok = 1980 |isbn = 83-01-01372-9 |seria = [[Biblioteka Matematyczna]], t. 9 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Rasiowa |imię = Helena |autor link = Helena Rasiowa |tytuł = Wstęp do matematyki współczesnej |miejsce = Warszawa |wydawca = PWN |strony = |wydanie = 5 |rok = 1975 |oclc = 749626864 |seria = [[Biblioteka Matematyczna]], t. 30 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Ross |imię = Kenneth A. |nazwisko2 = Wright |imię2 = Charles R.B |tytuł = Matematyka dyskretna |inni = E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.) |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |miejsce = Warszawa |rok = 1996 |isbn = 83-01-12129-7 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Tiuryn |imię = Jerzy |autor link = Jerzy Tiuryn |tytuł = Wstęp do teorii mnogości i logiki |miejsce = Warszawa |wydawca = Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Uniwersytet Warszawski |rok = 1998 |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = Subset | tytuł = Subset }} [dostęp 2024-09-17].

{{Algebra zbiorów}}
{{Teoria porządku}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Teoria mnogości]]
[[Kategoria:Dwuczłonowe relacje matematyczne]]

[[ro:Mulțime#Submulțimi]]