Tekst źródłowy strony Podstawa logarytmu naturalnego

'''Podstawa logarytmu naturalnego''', '''liczba <math>\mathrm e</math>''', '''liczba [[Leonhard Euler|Eulera]]''', '''liczba [[John Napier|Nepera]]''' – [[stała (matematyka)|stała matematyczna]] wykorzystywana w&nbsp;wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,718281828459<ref>[https://oeis.org/A001113 Ciąg A001113] w ''[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]]''.</ref>, oznacza się ją literą <math>\mathrm e</math><ref>{{Encyklopedia PWN |tytuł = e |id = 3896278 |data dostępu = 2021-07-29}}</ref>.

== Definicja ==
[[Liczba]] <math>\mathrm e</math> może być zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.

=== Granica ciągu ===
Jako [[granica ciągu]], <math>\mathrm e</math> jest określana przez
:: <math>\mathrm e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n.</math>

; Dowód zbieżności:
Wykażemy, że ciąg <math>\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}},</math> gdzie <math>a_n = \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n</math> jest [[Funkcja monotoniczna|niemalejący]] i [[funkcja ograniczona|ograniczony]] z góry, a zatem jest [[granica ciągu|zbieżny]].

Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb <math>x_1,\dots,x_{n+1}</math> zachodzi następująca [[nierówności między średnimi|nierówność Cauchy’ego]] między ich [[Średnia arytmetyczna|średnią arytmetyczną]] a [[Średnia geometryczna|geometryczną]]:
: {{Wzór|<math>\frac{x_1+\ldots+x_{n+1}}{n+1}\geqslant (x_1\cdot \ldots\cdot x_{n+1})^{1/(n+1)}.</math>|1}}

Rozważając <math>x_1 = \ldots = x_n = 1+\tfrac{1}{n}</math> oraz <math>x_{n+1} = 1,</math> otrzymujemy
: <math>\frac{1+\tfrac{1}{n} + \ldots + 1+\tfrac{1}{n} + 1}{n+1} \geqslant \left((1+\tfrac{1}{n}) \ldots (1+\tfrac{1}{n}) \cdot 1\right)^{1/(n+1)},</math>

a stąd
: <math>\left(\tfrac{n+2}{n+1}\right)^{n+1} \geqslant \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n</math> więc również <math>\left(1 + \tfrac 1 {n+1}\right)^{n+1} \geqslant \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n</math> i <math>a_{n+1}\geqslant a_n.</math>

Czyli ciąg <math>(a_n)_n</math> jest niemalejący.

Podłóżmy <math>b_n = \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^{n+1}</math> i zauważmy, że <math>a_n\leqslant b_n = \frac{1}{\left(\tfrac{n}{n+1}\right)^{n+1}} = \frac{1}{\left(1-\tfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}}.</math>

Z nierówności {{LinkWzór|1}} zastosowanej do <math>x_1 = \ldots = x_{n+1} = 1-\tfrac{1}{n+1}</math> oraz <math>x_{n+2} = 1</math> otrzymujemy, że:
: <math>\frac{1-\frac{1}{n+1} + \ldots + 1-\frac{1}{n+1} + 1}{n+2} \geqslant \left(\left(1-\tfrac{1}{n+1}\right) \ldots \left(1-\tfrac{1}{n+1}\right) \cdot 1\right)^{1/(n+2)}.</math>

Stąd <math>\left( \tfrac{n+1}{n+2} \right)^{n+2} \geqslant \left(1-\tfrac{1}{n+1}\right)^{n+1},</math> a więc też <math>\left(1-\tfrac{1}{n+2}\right)^{n+2} \geqslant \left(1-\tfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}.</math>

Czyli ciąg <math>\Big( (1-\tfrac{1}{n+1})^{n+1}\Big)_{n\in\mathbb N}</math> jest niemalejący. Ponieważ <math>b_n = \frac{1}{(1-\frac{1}{n+1})^{n+1}},</math> to możemy wywnioskować, że ciąg <math>(b_n)</math> jest nierosnący, a stąd
: <math>a_1 \leqslant a_2 \leqslant \ldots \leqslant a_n \leqslant b_n \leqslant \ldots \leqslant b_2 \leqslant b_1.</math>

Ciąg <math>(a_n)</math> jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez <math>b_1</math>), a więc jest zbieżny.

=== Suma szeregu ===
Jako [[szereg (matematyka)|suma szeregu]], <math>\mathrm e</math> jest określana przez
:: <math>\mathrm e = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!}
 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!}
 + \frac{1}{4!} + \ldots,</math>

gdzie <math>n!</math> jest [[silnia|silnią]] liczby <math>n.</math>

=== Za pomocą całki ===
[[Plik:Hyperbola E.svg|thumb|Pole powierzchni pod hiperbolą jest równe 1]]
Liczbę <math>\mathrm e</math> można także zdefiniować jako jedyną [[Liczby rzeczywiste|liczbę rzeczywistą]] taką że:
:: <math>\int\limits_1^\mathrm e \frac{1}{ t} \, \mathrm dt = {1}</math>

(to znaczy, że liczba <math>\mathrm e</math> to taka, że [[pole powierzchni]] pod [[Hiperbola (matematyka)|hiperbolą]] <math>f(t)=1/t</math> od 1 do <math>\mathrm e</math> jest równe 1).

=== Za pomocą funkcji ===
[[Plik:Xth root of x.svg|thumb|Wykres funkcji <math>f(x)=x^{1/x}</math>]]
Liczbę <math>\mathrm e</math> można również zdefiniować jako taki argument funkcji
: <math>f(x)=x^{1/x},\quad x>0</math>

dla którego jej wartość jest największa.

== Własności ==
* <math>\mathrm e</math> jest liczbą [[liczby niewymierne|niewymierną]] (co udowodnił [[Leonhard Euler]]), a nawet [[liczba przestępna|przestępną]] (co udowodnił [[Charles Hermite]] w 1873 roku, w dziele „Sur la fonction expentielle”<ref>Charles Hermite: ''Sur la fonction exponentielle''. C. R. Acad. Sci. Paris 77, 1873, s. 18–24, 74–79, 226–233.</ref> – prosty dowód opublikował [[Adolf Hurwitz]] w 1894<ref>A. Hurwitz, 1894, [https://bibliotekanauki.pl/articles/1975676''Dowód przestępności liczby e.''], Prace Matematyczno-Fizyczne, 5(1), 6–8., [https://bibliotekanauki.pl/articles/1975676.pdf pdf].</ref>).
* <math>\mathrm e</math> jest podstawą takiej [[funkcja wykładnicza|funkcji wykładniczej]], że [[styczna]] do jej [[wykres funkcji|wykresu]] w punkcie (0, 1) ma [[funkcja liniowa|współczynnik kierunkowy]] równy 1
* <math>\mathrm e</math> jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.
* [[pochodna funkcji]] <math>(\mathrm e^x)'=\mathrm e^x</math>
* całka funkcji <math>\int \mathrm e^x\,\mathrm dx=\mathrm e^x + C,</math> gdzie ''C'' jest dowolną [[stała całkowania|stałą całkowania]].
* z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie <math>\mathrm e</math> jest [[funkcja odwrotna|odwrotną]] do [[logarytm naturalny|logarytmu naturalnego]]:
*: <math>\ln \mathrm e^x=x</math>
*: <math>\mathrm e^{\ln x}=x</math>
* Jest jednym z elementów [[wzór Eulera|wzoru Eulera]] (zwanego też „najpiękniejszym wzorem matematyki”), wiążącej <math>\mathrm e</math> z innymi słynnymi liczbami: [[jednostka urojona|jednostką urojoną <math>\mathrm i</math>]], '''''[[pi|<math>\mathrm \pi</math>]]''''', [[1 (liczba)|jednością]] i [[0|zerem]]:
*: <math>\mathrm e^{\mathrm{i\pi}}+1=0</math>

== Wzory na obliczenie {{mvar|e}} ==
=== [[Granica ciągu|Granice]] [[ciąg (matematyka)|ciągów]] ===
: <math>\mathrm e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>

: <math>\mathrm e= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right)^{1/n}</math>

(oba to tzw. wzory Stirlinga)

: <math>\mathrm e = \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{!n},</math>
gdzie <math>!n</math> to [[podsilnia]], definiowana kombinatorycznie jako liczba [[nieporządek|nieporządków]] zbioru <math>n</math>–elementowego, algebraicznie zaś jako <math>!n = n! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \ldots + (-1)^n \frac{1}{n!}\right)</math>

: <math>\mathrm e = \lim_{n\to\infty} \left({\rm }\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} - \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}\right)</math>

=== [[Szereg (matematyka)|Szeregi nieskończone]] ===
: <math>\mathrm e= 2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{\ddots}}}}</math>

: <math>\mathrm e = \left[ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right]^{-1}</math>

: <math>\mathrm e = \left[ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right]^{-1}</math>

: <math>\mathrm e =  \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}</math>

: <math>\mathrm e =  2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}</math>

: <math>\mathrm e =   \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}</math>

: <math>\mathrm e =   \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}</math>

: <math>\mathrm e =   \left[ \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!} \right]^2</math>

: <math>\mathrm e =  \left[\frac{-12}{\mathrm \pi^2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \ \cos \left( \frac{9}{k\mathrm \pi+\sqrt{k^2\mathrm \pi^2-9}} \right) \right]^{-1/3}</math>

: <math>\mathrm e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}</math>

=== Iloczyny nieskończone ===
{{dopracować|sekcja|znaleźć źródła tych wzorów}}
: <math>\mathrm e=2\cdot\sqrt\frac{4}{3}\cdot\sqrt[4]\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}\cdot\sqrt[8]\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}\ldots=2\cdot\prod_{n=1}^\infty\sqrt[2^n]\frac{\prod_{i=1}^{2^{n-1}}(2^n+2 i)}{\prod_{i=1}^{2^{n-1}}(2^n+2 i-1)}</math>

: <math>\frac{2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^2} \ldots}{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^3}\ldots }=\prod_{n=0}^\infty 2^{(\ln(2)-1)^{2n}-(\ln(2)-1)^{2n+1}}</math>

W [[1980]] roku, [[Nick Pippenger]] udowodnił wzór<ref name="wolfram">{{MathWorld|adres=PippengerProduct |tytuł=Pippenger Product |data dostępu=2013-02-27}}</ref><ref name="Pippinger">{{Cytuj pismo |nazwisko = Pippinger |imię = Nick |tytuł = An Infinite Product for e |czasopismo = Amer. Math. Monthly |język = en |wolumin = 87 |numer = V |miesiąc = maj |strony = 391 |rok = 1980}}</ref>
: <math>\mathrm e= 2 \left( \frac{2}{1} \right)^{1/2} \left( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right)^{1/4} \left( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right)^{1/8} \ldots =2\prod_{n=1}^\infty\sqrt[2^n]\frac{[(2^{n-1}-1)!!]^2[(2^n)!!]^2}{[(2^{n-1})!!]^2[(2^n-1)!!]^2},</math>

gdzie '''n!!''', to [[Silnia#Silnia podwójna n!!|silnia podwójna]].

== Kultura <math>\mathrm e</math> ==
W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby <math>\mathrm e</math> tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie [[pi|π]]), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym <math>\mathrm e{:}</math>

''„We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!”''
: Gdzie znak „!” oznacza cyfrę 0.

== Inne interpretacje liczby <math>\mathrm e</math> ==
Wkładamy do pewnego banku jedną złotówkę. Załóżmy, że oprocentowanie wkładu ([[stopa procentowa]]) w skali rocznej wynosi 100%. Ale odsetki mogą być doliczane do kwoty podstawowej w różnorodny sposób. Jeśli będą obliczane po upływie roku, to na koniec roku będziemy mieli 2 złote. Jeśli będą dwa okresy kapitalizacji (czyli odsetki obliczane dwa razy w roku), to na koniec roku będziemy mieć <math>\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2,</math> czyli 2,25 złotego. W przypadku kapitalizacji co kwartał otrzymamy <math>\left(1 + \frac{1}{4}\right)^4,</math> co w przybliżeniu wynosi 2,44 zł. Jeśli kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły (czyli liczba okresów dąży do nieskończoności) to na koniec roku otrzymamy <math>\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n,</math> czyli <math>\mathrm e</math> złotych.

== Dowód niewymierności <math>\mathrm e</math> ==
Używamy <math>n</math>-tego przybliżenia <math>\mathrm e,</math> które zapisujemy <math>e_n{:}</math>
: <math>e_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}</math>

Szacujemy błąd
: <math>\begin{align}
\mathrm e - e_n &= \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!} \\
&= \frac{1}{(n+1)!}\cdot \left(1 + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} + \ldots\right) \\
&< \frac{1}{(n+1)!}\cdot \left(1 + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} + \ldots\right) \\
&= \frac{1}{(n+1)!}\cdot {\frac{1}{1 - \frac{1}{n+1}}} = \frac{1}{n!\cdot n}
\end{align}</math>

Z tego wynika, że <math>\mathrm e = e_n + \frac{\theta}{n!\cdot n} = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} + \frac{\theta}{n!\cdot n},</math> gdzie <math>0 < \theta < 1.</math>

Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności:

Załóżmy, że <math>\mathrm e</math> jest [[Liczby wymierne|liczbą wymierną]]. Czyli da się ją przedstawić w postaci <math>\frac{p}{q}</math> gdzie <math>p,q \in \mathbb{Z}, q \neq 0.</math>

W tym wzorze bierzemy tak duże <math>n,</math> żeby było większe od <math>q.</math>

Wówczas:
: <math>\frac{p}{q} = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} + \frac{\theta}{n!\cdot n}.</math>

Mnożąc stronami przez <math>n!</math> dostajemy:
<math>p \cdot \frac{n!}{q} = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!} + \frac{\theta}{n}</math>

<math>\frac{n!}{q} \in \mathbb{Z},</math> &nbsp; więc &nbsp; <math>p \cdot \frac{n!}{q} \in \mathbb{Z}</math>

<math>\frac{n!}{k!} \in \mathbb{Z},</math> &nbsp; więc &nbsp; <math>\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!} \in \mathbb{Z}</math>

Zostały same [[liczby całkowite]] poza <math>\frac{\theta}{n},</math> która całkowita nie jest.

To dowodzi sprzeczności, a więc i nieprawdziwości twierdzenia, że „<math>\mathrm e</math> jest wymierne”.

== Zobacz też ==
* [[logarytm binarny]]
* [[logarytm dziesiętny]]
* [[wzór Eulera]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Miś |imię = Bogdan |autor link = Bogdan Miś |tytuł = Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki |wydawca = [[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne]] |miejsce = Warszawa |rok = 1989 |isbn = 978-83-204-3364-7}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Pismo Delta | url = 2022a/03/2022-03-delta-art-04-gryszka.pdf | autor = Karol Gryszka | tytuł = Stała Eulera w trójkącie Pascala | data = marzec 2022 | data dostępu = 2022-03-15}}
* {{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, ''[https://www.youtube.com/watch?v=L-_5yXuNBNg Ciągi liczbowe cz. V – Liczba Eulera]'', [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT” na [[YouTube]], 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].
* {{MathWorld|adres=e |tytuł=e |data dostępu=12 grudnia 2020}}
* [http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil {{mvar|e}} w rozwinięciu] {{lang|en}}

{{Stałe matematyczne}}
{{Logarytmy}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Stałe matematyczne]]
[[Kategoria:Analiza rzeczywista]]
[[Kategoria:Logarytmy]]
[[Kategoria:Leonhard Euler]]