Tekst źródłowy strony Podnoszenie i opuszczanie wskaźników

{{konwencja sumacyjna}}
Dla danego [[tensor]]a z rozmaitości <math>M</math> z określoną na niej nieosobliwą formą (taką jak np. [[rozmaitość riemannowska|metryka Riemanna]] lub [[Czasoprzestrzeń Minkowskiego|metryka Minkowskiego]]) można '''podnieść''' lub '''opuścić''' jego '''wskaźniki''', czyli zmienić tensor wymiaru <math>(k, l)</math> na tensor wymiaru <math>(k + 1, l - 1)</math> (podnieść indeks) lub na tensor wymiaru <math>(k - 1, l + 1)</math> (opuścić indeks).

Wyniki te można osiągnąć poprzez mnożenie przez kowariantny lub kontrawariantny [[tensor metryczny]], a następnie [[kontrakcja tensora|skrócenie]] wyniku. Mnożenie przez kontrawariantny tensor metryczny (i skrócenie) podnosi wskaźniki:
: <math>g^{ij} A_j = A^i,</math>

a mnożenie przez kowariantny tensor metryczny (i skrócenie) opuszcza je:
: <math>g_{ij} A^j = A_i.</math>

Operacje podniesienia i następującego po nim opuszczenia tego samego wskaźnika (lub odwrotnie) są do siebie odwrotne, co odzwierciedla odwrotność kowariantnych i kontrawariantnych tensorów metrycznych:
: <math>g^{ij} g_{jk} = g_{kj}g^{ji} = \delta_k^i,</math>

gdzie <math>\delta</math> – [[Symbol Kroneckera|delta Kroneckera]] odpowiadająca [[macierz jednostkowa|macierzy jednostkowej]].

Należy zauważyć, że nieosobliwość <math>g_{ij}</math> nie jest wymagana do opuszczenia wskaźnika. Jednak aby możliwe było obliczenie <math>g^{ij}</math> i podwyższenie wskaźnika dowolnego tensora, macierz <math>g_{ij}</math> musi być nieosobliwa.

== Zobacz też ==
* [[izomorfizm muzyczny]]

[[Kategoria:Tensory| ]]