Tekst źródłowy strony Pochodna funkcji

{{Inne znaczenia|pojęcia matematycznego|[[Pochodna (ujednoznacznienie)|inne znaczenia tego wyrazu]]}}
{{spis treści}}
[[Plik:Tangent to a curve.svg|mały|Wykres funkcji narysowanej na czarno i linii stycznej do tej funkcji, narysowanej na czerwono. Nachylenie linii stycznej jest równe pochodnej funkcji w zaznaczonym punkcie.]]

'''Pochodna funkcji''' – nieformalnie: miara szybkości [[Funkcja|funkcji]], czyli tempa zmian jej wartości względem zmian jej [[Zmienna (matematyka)|argumentów]]<ref name="ReferenceA">{{odn|ref=nie|Korn|Korn|1983|s=107}}, 4.5-1 (a).</ref><ref>{{Encyklopedia PWN |tytuł = Pochodna funkcji |id = 3958619 |data dostępu = 2021-07-29}}</ref>. Dokładna definicja pochodnej zależy od kontekstu, ponieważ pojęcie to stosuje się do funkcji różnego typu; jednak w każdym z tych przypadków pochodna to granica [[Iloraz różnicowy|ilorazu różnicowego]] dla zerowego mianownika.

Dziedziną rozważanej funkcji może być podzbiór [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] dowolnego wymiaru, inna [[rozmaitość]] różniczkowalna lub [[płaszczyzna zespolona]], a zbiorem wartości mogą być oś rzeczywista, zbiór wektorów kartezjańskich lub także liczby zespolone. W niektórych przypadkach pochodna jest pojedynczą [[Liczby rzeczywiste|liczbą rzeczywistą]] lub zespoloną, a w innych – całym wektorem (kolumną); za to pochodne wyższych rzędów (iterowane) mogą być nawet [[macierz]]ami i to wielowskaźnikowymi jak [[tensor]]y.

Od czasu wprowadzenia w XVII w. pochodne odgrywają ogromną rolę w całej [[Analiza matematyczna|analizie matematycznej]] i poza nią. Są podstawowym narzędziem znajdowania [[Ekstremum funkcji|ekstremów]] i [[Punkt przegięcia|przegięć]], badania monotoniczności i wypukłości funkcji, rozwijania ich w [[szereg potęgowy]] ([[Wzór Taylora|szereg Taylora]]), obliczania rozmaitych przybliżeń ([[Metoda numeryczna|metody numeryczne]]), a [[podstawowe twierdzenie rachunku całkowego]] mówi, że przez odwrócenie operacji pochodnej – czyli znalezienie [[Funkcja pierwotna|funkcji pierwotnej]] – można wykonać [[Całka|całkowanie]] w sensie oznaczonym, m.in. obliczając rozmaite pola powierzchni, długości krzywych, objętości, prawdopodobieństwa i inne [[Miara (matematyka)|miary]]. Dodatkowo [[pochodna formalna]] jest narzędziem stosowanym w algebrze [[wielomian]]ów traktowanych abstrakcyjnie, w oderwaniu od zmiennych rzeczywistych czy zespolonych.

Za pomocą pochodnych definiuje się podstawowe [[Wielkość fizyczna|wielkości fizyczne]] jak prędkość chwilowa, chwilowe przyspieszenie i wyższe pochodne położenia po czasie, natężenie prądu elektrycznego, rozmaite gradienty i inne. Przez to podstawowe równania fizyki teoretycznej są na ogół równaniami różniczkowymi – wiążącymi szukaną zależność (funkcję) z jej pochodnymi.

== Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych ==
[[Plik:What is derivative (animation).gif|thumb|Animacja, która daje intuicyjny pomysł na pochodną, ponieważ „zmiana” funkcji zmienia się, gdy zmienia się argument.]]
{{Zobacz też|iloraz różnicowy|granica funkcji}}
Niech <math>y = f(x)</math> będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej <math>x</math> określoną w [[Otoczenie i sąsiedztwo|otoczeniu]] punktu <math>x_0</math><ref group="uwaga">Istnienie takiego otoczenia oznacza istnienie pewnej liczby rzeczywistej <math>\epsilon > 0,</math> że funkcja jest określona na przedziale <math>(x_0-\epsilon,\, x_0+\epsilon).</math></ref>. '''Pochodną funkcji''' <math>f(x)</math> w punkcie <math>x_0</math> nazywamy [[Granica funkcji|granicę]] (o ile istnieje):
: <math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x},</math>

co symbolicznie zapisuje się w jednej z postaci:
: <math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x},\; \frac{d y}{d x},\; \frac{d}{d x} f(x_0),\; f'(x_0),\; y'(x_0)</math><ref name="ReferenceA" />,

We wzorze tym:
* <math>\Delta x</math> jest '''przyrostem zmiennej niezależnej''' <math>x,</math>
* <math>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)</math> jest '''przyrostem zmiennej zależnej''' <math>y,</math>
* Wyrażenie <math>\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}</math> nazywa się [[Iloraz różnicowy|ilorazem różnicowym]]; jest on '''funkcją''' przyrostu zmiennej niezależnej.

Jeżeli przyjmie się, że <math>x = x_0 + \Delta x,</math> to pochodną w punkcie <math>x_0</math> można zapisać następująco:
: <math>\lim_{x \to x_0}~\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.</math>

Często w publikacjach przyrost <math>\Delta x</math> oznacza się literą <math>h.</math> Wtedy pochodna jest równa<ref>{{odn|ref=nie|Kuratowski|1967|s=101}}. Taki sposób zapisu uwypukla fakt, że iloraz różnicowy jest funkcją <math>h.</math></ref>:
: <math>\lim_{h \to 0}~\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.</math>

Jeśli funkcja <math>f</math> ma pochodną dla każdego elementu swej [[Dziedzina (matematyka)|dziedziny]] <math>U,</math> to można rozważać odwzorowanie przypisujące każdemu argumentowi, jego pochodną dla tego elementu. Przekształcenie to nazywa się '''funkcją pochodną''' funkcji <math>f</math> lub krótko: ''pochodną'' <math>f;</math> w dalszej części artykułu będzie ono oznaczane symbolem <math>f'</math> – pozostałe oznaczenia opisano w [[#Oznaczenia|oddzielnej sekcji]] – w ten sposób <math>f'(x)</math> oznaczać będzie pochodną funkcji <math>f</math> dla argumentu <math>x;</math> w tym wypadku <math>f'</math> również jest funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych.

=== Własności funkcji pochodnej ===
* iloczyn pochodnej przez stałą
: <math>(af)'(x) = af'(x),</math>
* pochodna sumy funkcji (''[[Funkcja addytywna (algebra)|addytywność]]'')
: <math>(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x),</math>
* pochodna iloczynu funkcji (''reguła Leibniza'')
: <math>(fg)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x),</math>
* pochodna [[Złożenie funkcji|złożenia funkcji]] (''[[reguła łańcuchowa]]'')
: <math>f'(x) = h'\big(g(x)\big) g'(x), \quad\text{ dla }\quad f(x) = h(g(x)),</math>
* pochodna [[Funkcja odwrotna|funkcji odwrotnej]]
: <math>\left(f^{-1}\right)'(y) = \big(f'(x)\big)^{-1}, \quad\text{ o ile }\quad f'(x) \ne 0, f(x)=y</math>
* pochodna odwrotności funkcji (''reguła odwrotności'')
: <math>\left(\tfrac{1}{g(x)}\right)' = \frac{-g'(x)}{g^2(x)}, \quad\text{ o ile }\quad g(x) \ne 0,</math>
* pochodna ilorazu funkcji (''reguła ilorazu'')
: <math>\left(\tfrac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}, \quad\text{ o ile }\quad g(x) \ne 0.</math>

Pochodna jako operator – czyli [[Funkcja|odwzorowanie]] na zbiorze funkcji różniczkowalnych – ma [[Zbiór niezmienniczy|zbiory niezmiennicze]], między innymi{{fakt|data=2023-08}}:
* [[wielomian]]y – pochodna wielomianu jest wielomianem;
* [[Funkcja wymierna|funkcje wymierne]];
* różniczkowalne [[Funkcja okresowa|funkcje okresowe]].

=== Pochodne niektórych funkcji elementarnych ===
{{Wikiźródła|tekst=nie|Tablica pochodnych|tablicę pochodnych}}
Istnieje pewien zestaw funkcji uważanych za elementarne, które wykorzystuje się do obliczania pochodnych bardziej skomplikowanych funkcji i ich złożeń; niech <math>a</math> oznacza [[Stała (matematyka)|stałą]], zaś <math>n</math> będzie [[Liczby naturalne|liczbą naturalną]], wówczas:
<!-- PROSIMY NIE DODAWAĆ JUŻ WIĘCEJ PRZYKŁADÓW DO TEJ LISTY -->
* [[Funkcja stała|funkcje stałe]]<ref group="uwaga">Jeżeli <math>f(x) = a,</math> to wprost z definicji zachodzi <math>f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim\limits_{h \to 0} 0 = 0.</math></ref> i [[Funkcja potęgowa|funkcje potęgowe]]<ref group="uwaga">Skoro
: <math>\begin{align}
& \frac{(x + h)^n - x^n}{h} \\
&= \frac{\binom{n}{0} x^n h^0 + \binom{n}{1} x^{n-1} h^1 + \ldots + \binom{n}{n} x^0 h^n - x^n}{h} \\
&= \frac{nx^{n-1} h + \binom{n}{2} x^{n-2} h^2 + \ldots + h^n}{h} \\
&= nx^{n-1} + \binom{n}{2} x^{n-2} h^1 + \ldots + h^{n-1},
\end{align}</math>

to biorąc obustronnie granicę przy <math>h \to 0,</math> uzyskuje się wynik.</ref><ref group="uwaga">Podany wzór zachodzi dla [[liczby naturalne]]j <math>n > 0;</math> wzór na pochodną odwrotności funkcji umożliwia rozszerzenie wzoru na wykładniki [[Liczby całkowite|całkowite]] <math>n;</math> z [[Funkcja ciągła|ciągłości]] wzór jest prawdziwy dla [[liczby rzeczywiste]]j <math>n \ne 0.</math></ref>,
*: <math>(a)' = 0, \qquad\qquad (x^n)' = nx^{n-1},</math>
* [[Funkcja wykładnicza|funkcje wykładnicze]]<ref group="uwaga">Z definicji, jeśli <math>f(x) = \exp x,</math> to
: <math>\begin{align}
f'(x) &= \lim\limits_{h \to 0} \frac{\exp(x + h) - \exp x}{h} \\
&= \exp x \lim\limits_{h \to 0} \frac{\exp h - 1}{h} \\
&= \exp x,
\end{align}</math>

przy czym ostatnia granica jest własnością funkcji wykładniczej.</ref> i [[logarytm]]iczne<ref group="uwaga">Ponieważ
: <math>\begin{align}
(\ln x)' &= \lim\limits_{h \to 0} \frac{\ln(x + h) - \ln x}{h} \\
&= \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} \ln(1 + h/x) \\
&= \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{x} \ln\left((1 + h/x)^{x/h}\right),
\end{align}</math>

to podstawiając <math>y = x/h \to 0,</math> otrzymuje się dalej
: <math>(\ln x)' = \frac{1}{x} \lim\limits_{y \to 0} \ln(1 + y)^{1/y} = \frac{\ln e}{x} = 1/x.</math>

Z reguły ilorazu jest <math>(\log_a x)' = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)' = \frac{1}{\ln a} (\ln x)' = \frac{1}{x\ln a}.</math></ref>
*: <math>\begin{matrix}
\left(e^x\right)' = e^x, & \qquad (a^x)' = a^x \ln a, \quad \text{dla } a>0 \\
(\ln x)' = \frac{1}{x}, & \qquad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a},
\end{matrix}</math>
* [[funkcje trygonometryczne]]<ref group="uwaga">Z [[Tożsamości trygonometryczne|tożsamości trygonometrycznych]] (ostatnie również z reguły ilorazu):
: <math>\begin{align}
(\sin x)' &= \lim\limits_{h \to 0} \frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} \\
&= \lim\limits_{h \to 0} \frac{2}{h} \sin(h/2) \cos(x + h/2) \\
&= \lim\limits_{h \to 0} \frac{\sin(h/2)}{h/2} \lim\limits_{h \to 0} \cos(x + h/2) \\
&= \cos x,
\end{align}</math>
: <math>\begin{align}
(\cos x)' &= \lim\limits_{h \to 0} \frac{\cos(x + h) - \cos x}{h} \\
&= \lim\limits_{h \to 0} \frac{-2}{h} \sin(h/2) \sin(x + h/2) \\
& -\lim\limits_{h \to 0} \frac{\sin(h/2)}{h/2} \lim\limits_{h \to 0} \sin(x + h/2) \\
&= -\sin x,
\end{align}</math>
: <math>\begin{align}
(\operatorname{tg} x)' &= \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' \\
&= \frac{(\sin x)' \cos x - (\cos x)' \sin x}{\cos^2 x} \\
&= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\
&= 1/\cos^2 x \\
&= 1 + \operatorname{tg}^2 x.
\end{align}.</math></ref>
*: <math>(\sin x)' = \cos x, \qquad (\cos x)' = -\sin x,</math>
*: <math>(\operatorname{tg} x)' = \sec^2 x = \tfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \operatorname{tg}^2 x.</math>
* [[funkcje cyklometryczne]]<ref group="uwaga">Niech <math>y = f(x) = \arcsin x,</math> wtedy też <math>x = g(y) = \sin y.</math> Wówczas z reguły o pochodnej funkcji odwrotnej jest
: <math>\begin{align}
g'(y) &= \cos y = +\sqrt{1 - \sin^2 y} \\
&= \sqrt{1 - x^2} = 1/f'(x).
\end{align}</math>

Znak pierwiastka jest dodatni, gdyż <math>x \in [-\pi/2, +\pi/2],</math> z ostatniej równości jest <math>f'(x) = (\arcsin x)' = 1/\sqrt{1 - x^2}.</math>

Analogicznie dla <math>y = f(x) = \arccos x</math> oraz <math>x = g(y) = \cos y,</math> przy czym tym razem znak pierwiastka jest ujemny, bo <math>g'(y) = -\sin y,</math> przez co <math>(\arccos x)' = -1/\sqrt{1 - x^2}.</math>

Podobnie dla <math>y = f(x) = \operatorname{arctg} x</math> jest <math>x = g(y) = \operatorname{tg} y</math> oraz <math>g'(y) = 1/\cos^2 y,</math> skąd
: <math>\begin{align}
f'(x) &= \cos^2 y = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 y} \\
&= \frac{1}{1+(\operatorname{tg\ arctg} x)^2} = \frac{1}{1 + x^2}.
\end{align}.</math></ref>,
*: <math>(\arcsin x)' = \tfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}},</math>
*: <math>(\arccos x)' = -\tfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}},</math>
*: <math>(\operatorname{arctg} x)' = \tfrac{1}{1 + x^2},</math>
*: <math>(\operatorname{arcctg} x)' = -\tfrac{1}{1 + x^2}</math>

wszędzie, gdzie powyższe wzory mają sens.

=== Inne przykłady pochodnych ===
Pochodna o własności <math>f'(x)=f^{-1}(x)</math> istnieje i zachodzi dla funkcji <math>f(x) = \sqrt[\varphi]\frac{1}{\varphi} x^\varphi</math> (przy sprawdzeniu korzystamy z równości <math>1/\varphi = \varphi - 1</math> oraz <math>1 = 1/\varphi + 1/\varphi^2</math>)<ref>{{Cytuj stronę |url = https://www.youtube.com/watch?v=rNUfiQgj6ZI |tytuł = A very interesting differential equation. |nazwisko = Penn |imię = Michael |data = 2020 |data dostępu = 2022-11-28}}</ref> – we wzorze tym pojawia się [[złoty podział]].

== Pochodne wyższego rzędu ==
Jeżeli pochodna funkcji <math>f\colon (a, b) \to \mathbb{R}</math> istnieje w każdym punkcie przedziału otwartego <math>(a,b),</math> to otrzymujemy funkcję <math>f'\colon (a, b) \to \mathbb{R},</math> taką że
: <math>x \mapsto f'(x)</math> dla <math>x \in (a, b).</math>

Funkcję tę nazywamy '''pierwszą pochodną''' funkcji <math>f.</math> Ta funkcja może być również różniczkowalna w każdym punkcie przedziału <math>(a, b).</math> Różniczkując ją, otrzymujemy '''drugą pochodną''' funkcji <math>f{:}</math>
: <math>x \mapsto f''(x)</math> dla <math>x \in (a, b).</math>

Oznaczamy to następująco:
: <math>f''(x) = f^{(2)}(x) = (f'(x))'</math> lub <math>y'' = (y')'.</math>

Ogólnie pochodną rzędu <math>n</math> określamy rekurencyjnie{{odn|Бугров|Никольский|1984|s=145}}:
: <math>f^{(n)}(x) = (f^{(n - 1)}(x))'</math> lub <math>y^{(n)} = (y^{(n - 1)})'.</math>

=== Przykłady ===
# <math>(e^x)^{(n)} = e^x</math>
# <math>(x^n)' = n x^{n - 1},</math> <math>(x^n)'' = n (n - 1) x^{n - 2},\dots,</math>
# <math>(x^n)^{(n)} = n!, (x^n)^{(n + 1)} = 0</math>
# <math>(a^x)^{(n)} = a^x \ln^n a</math>
# <math>(\sin x)^{(n)} = \sin (x + \frac{\pi n}{2})</math>
# <math>(\cos x)^{(n)} = \cos \left(x + \frac{\pi n}{2}\right)</math>
# <math>(\ln x)^{(n)} = -1^{(n-1)}\cdot\frac{(n-1)!}{x^n}</math>
# <math>n</math>-tą pochodną iloczynu funkcji można wyrazić za pomocą pochodnych czynników oraz współczynników Newtona wzorem:
: <math>(uv)^{(n)} = \sum_{k = 0}^n C_n^k u^{n - k} v^k.</math>

== Zastosowania w fizyce ==
=== Prędkość chwilowa ===
Załóżmy, że ciało porusza się wzdłuż prostej tak że <math>s = f (t)</math> oznacza zależność współrzędnej <math>s</math> ustalonego punktu ciała od czasu <math>t.</math> Droga przebyta przez to ciało w przedziale czasu <math>[t, t + \Delta t]</math> wynosi
: <math>\Delta s = f(t + \Delta t) - f(t).</math>

'''Prędkością średnią''' na tym odcinku jest wielkość:
: <math>v_{sr} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}.</math>

'''Prędkość chwilowa''' w momencie <math>t</math> jest równa{{odn|Бугров|Никольский|1984|s=126}}:
: <math>v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = f'(t).</math>

=== Natężenie prądu ===
[[Prąd elektryczny]] jest to uporządkowany ruch [[ładunek elektryczny|ładunków elektrycznych]] wzdłuż [[Przewodnik elektryczny|przewodnika]]. Niech <math>\Delta Q</math> oznacza ładunek przepływający przez ustalony przekrój przewodnika w czasie <math>\Delta t.</math> Wówczas wielkość
: <math>I_{sr} = \frac{\Delta Q}{\Delta t}</math>

nazywa się '''średnim natężeniem prądu'''.

'''Chwilowym natężeniem prądu''' jest wielkość{{odn|Kane|Sternheim|1988|s=204}}:
: <math>I = \frac{dQ}{dt}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta Q}{\Delta t}.</math>

=== Gęstość rozkładu masy ===
Załóżmy, że mamy pręt o długości <math>L,</math> taki że masa części tego pręta liczona od początku do punktu <math>x\in [0,L]</math> dana jest funkcją <math>M(x).</math> Wtedy masa zawarta w przedziale <math>[x, x + \Delta x]</math> wynosi:
: <math>\Delta M = M (x + \Delta x) - M(x).</math>

'''Średnia gęstość masy''' na tym przedziale jest równa:
: <math>\overline\mu(x) = \frac{\Delta M}{\Delta x}.</math>

W granicy
: <math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta M}{\Delta x} = M'(x) = \mu (x)</math>

otrzymuje się '''gęstość masy w punkcie''' <math>x</math>{{odn|Бугров|Никольский|1984|s=126–127}}.

Pojęcie gęstości masy jest używane w [[Teoria prawdopodobieństwa|rachunku prawdopodobieństwa]] i [[Statystyka matematyczna|statystyce]]. Np. dla zmiennej losowej zależnej od jednej zmiennej przyjmuje się, że „masa” liczona od <math>-\infty</math> do <math>+\infty</math> jest równa 1 i definiuje się gęstość masy (lub [[Funkcja gęstości prawdopodobieństwa|gęstość prawdopodobieństwa]]) wzdłuż prostej{{odn|Прохоров|Розанов|1987|s=33}}.

== Geometryczny sens pochodnej ==
=== Styczna do wykresu funkcji ===
{{Zobacz też|styczna|sieczna}}
<gallery widths="120" heights="180" perrow="3" caption="Proste, które mają lokalnie jeden punkt wspólny z krzywą">
Plik:Tangency Example 3.svg|Prosta nieprzecinająca krzywej w jednym punkcie, ale będąca styczną.
Plik:Tangency Example 2.svg|Prosta przecinająca krzywą w jednym punkcie będąca styczną.
Plik:Tangency Example 1.svg|Prosta przecinająca krzywą w jednym punkcie niebędąca styczną.
</gallery>

Elementarna definicja stycznej do [[Okrąg|okręgu]] jako [[Prosta|prostej]] mającej ''dokładnie jeden'' (tzn. jeden i tylko jeden) [[Punkt (geometria)|punkt]] z nim wspólny nie jest wystarczający dla innych [[Krzywa|krzywych]] (patrz rysunki powyżej).
[[Plik:Tangent as Secant Limit.svg|thumb|250px|Styczna w punkcie <math>P</math> jako granica siecznych <math>PQ.</math>]]
[[Plik:Tangent line 1 bis.svg|thumb|250px|Styczna i sieczna do krzywej Γ.]]

W matematyce '''[[Styczna|styczną]]''' do krzywej w punkcie <math>P</math> (patrz rysunek obok) jest prosta, będąca granicą [[Sieczna|siecznych]] do krzywej przechodzących przez punkty <math>P</math> i <math>Q,</math> gdy <math>Q</math> dąży do <math>P.</math> Granica ta nie zawsze istnieje, ale jej istnienie związane jest z istnieniem pochodnej funkcji wyznaczającej tę krzywą.

Niech będzie dana funkcja ciągła <math>y = f(x)</math> na [[Przedział (matematyka)|przedziale]] otwartym <math>(a, b).</math> Jej [[Funkcja|wykres]] Γ (kolor czerwony na rysunku) jest nazywany '''[[Krzywa ciągła|krzywą ciągłą]]'''. [[Prosta|Współczynnik kierunkowy]] siecznej (kolor niebieski na rysunku) przechodzącej przez punkty <math>A = (x, f(x))</math> i <math>B = (x + \Delta x, f(x + \Delta x))</math> należące do przedziału <math>(a, b)</math> jest równy (patrz rysunek obok):
: <math>\operatorname{tg} \beta = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}.</math>

Wtedy współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie <math>A</math> (kolor zielony na rysunku) jest równy{{odn|Бугров|Никольский|1984|s=127}}:
: <math>\operatorname{tg} \alpha = \lim_{\beta \to \alpha} \operatorname{tg} \beta = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x).</math>

== Różniczka funkcji ==
[[Plik:Dydx zh.svg|thumb|250px|Zaznaczona niebieskim kolorem styczna do funkcji <math>f</math> dla argumentu <math>x,</math> tj. w punkcie <math>P = (x, f(x))</math> wraz z zaznaczonymi różniczkami.]]
{{Zobacz też|Pochodna funkcji wektorowej wielu zmiennych|Różniczka zupełna}}

Różniczka funkcji <math>f\colon (a, b) \to \mathbb{R}</math> w punkcie <math>x_0 \in (a,b)</math> to funkcja liniowa <math>L\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> (tzn. dana wzorem <math>L(h)=ah</math>) taka, że przyrost funkcji w punkcie <math>x_0</math> da się zapisać w postaci<ref name=":0">{{Cytuj |autor = Wojciech Kryszewski |tytuł = Wykład analizy matematycznej Część I Funkcje jednej zmiennej |data = 2009 |miejsce = Toruń |wydawca = Wydawnictwo Naukowe UMK}}</ref>
: <math>f(x_0+h)-f(x_0)=L(h)+r(h),</math>

gdzie reszta <math>r</math> ma własność
: <math>\lim_{h \to 0}\frac{r(h)}{h}=0.</math>

Wynika z tego, że różniczka funkcji to najlepsze liniowe przybliżenie przyrostu funkcji.

Funkcję <math>L</math> oznacza się <math>Df(x_0), \ df(x_0),\ d_{x_0}f</math> lub podobnie. Różniczka funkcji jest ważnym pojęciem, ponieważ stanowi punkt wyjścia do zdefiniowania [[Pochodna funkcji wektorowej wielu zmiennych|pochodnej funkcji <math>f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m.</math>]]

Równoważnie różniczkę <math>Df(x_0)</math> można zdefiniować jako funkcję liniową <math>L\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> taką, że
: <math>\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-L(h)}{h} = 0.</math>

=== Twierdzenie o związku pomiędzy różniczką i pochodną ===
Zachodzi następujące twierdzenie<ref name=":0" />:

''Funkcja <math>f\colon (a,b)\to \mathbb R</math> jest różniczkowalna w punkcie <math>x_0\in (a,b)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy ma w tym punkcie różniczkę <math>L.</math> Ponadto różniczka jest określona jednoznacznie i jest dana wzorem <math>L(h)=f'(x_0)h</math>''.

''Dowód''. Załóżmy, że <math>f</math> jest różniczkowalne w punkcie <math>x_0,</math> tzn. istnieje pochodna <math>f'(x_0).</math> Definiujemy funkcję <math>L\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> wzorem
: <math>L(h):=f'(x_0)h</math>

oraz funkcję <math>r</math> określoną w pewnym otoczeniu punktu <math>x_0</math> (tzn. dla <math>h</math> na tyle małych, że <math>x_0+h\in (a,b)</math>) wzorem
: <math>r(h):=f(x_0+h)-f(x_0)-L(h).</math>

Widzimy, że przyrost <math>f</math> da się przedstawić w postaci
: <math>f(x_0+h)-f(x_0)=L(h)+r(h).</math>

Ponadto reszta <math>r</math> ma własność
: <math>\lim_{h \to 0}\frac{r(h)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-L(h)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-f'(x_0)h}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-f'(x_0)=0.</math>

Wynika z tego, że <math>L</math> dane wzorem <math>L(h)=f'(x_0)h</math> jest różniczką funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0.</math>

Na odwrót: załóżmy, że funkcja <math>f</math> ma w punkcie <math>x_0</math> różniczkę <math>L</math> daną wzorem
: <math>L(h)=ah.</math>

Wówczas
: <math>\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}= \lim_{h \to 0} \frac{L(h)+r(h)}{h}=a+\lim_{h \to 0}\frac{r(h)}{h}=a.</math>

Czyli funkcja <math>f</math> jest różniczkowalna w punkcie <math>x_0.</math> Ponadto <math>f'(x_0)=a</math> i różniczka jest dana wzorem
: <math>L(h)=f'(x_0)h.</math> <math>\blacksquare</math>

=== Postać kanoniczna różniczki ===
W szczególności można badać różniczkę funkcji identycznościowej <math>\mathrm {id}_\mathbb R</math> na <math>\mathbb R,</math> tzn. funkcji <math>\mathrm{id}_\mathbb R\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> danej wzorem
: <math>\mathrm {id}_\mathbb R(x) := x.</math>

Funkcja <math>\mathrm{id}_\mathbb R</math> jest różniczkowalna na całym <math>\mathbb R</math> i jak wynika z treści poprzedniego podrozdziału jej różniczka jest dana wzorem
: <math>D\mathrm {id}_\mathbb R(x_0)(h)=h</math>

dla każdego <math>x_0\in \mathbb R.</math>

Z tego, a także z treści poprzedniego podrozdziału wynika, że różniczkę dowolnej funkcji <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R</math> różniczkowalnej w punkcie <math>x_0</math> można w tym punkcie zapisać w postaci
: <math>Df(x_0)=f'(x_0)D \mathrm {id}_\mathbb R(x_0),</math>

którą nazywamy ''postacią kanoniczną''.

Oznaczając <math>Df(x_0)</math> przez <math>df(x_0),</math> a <math>D \mathrm {id}_\mathbb R(x_0)</math> przez <math>dx,</math> można powyższemu wzorowi nadać klasyczną postać
: <math>df(x_0)=f'(x_0)dx.</math>

=== Przybliżanie przyrostu funkcji za pomocą różniczki ===
Z definicji i z twierdzenia o związku pomiędzy różniczką i pochodną wynika, że różniczkę można wykorzystać do przybliżania przyrostu funkcji <math>f\colon (a,b) \to \mathbb R</math>
: <math>\Delta f:=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\approx df(x_0)(\Delta x)=f'(x_0)\Delta x</math>

dla dowolnego <math>\Delta x \in \mathbb R</math> na tyle małego, że <math>x_0+\Delta x \in (a,b).</math> Przybliżenie to jest tym lepsze im mniejsze jest <math>\Delta x</math> co do [[Wartość bezwzględna|wartości bezwzględnej]].

=== Przykład zastosowania różniczek ===
Jeśli<ref>Przykład opracowany według podanego w: {{odn|ref=nie|Бугров|Никольский|1984|s=144}}.</ref>:
: <math>\sqrt[3]{27{,}005} \approx \sqrt[3]{27} = 3,</math>

to błąd jest w przybliżeniu równy różniczce funkcji <math>y = x^{1/3}</math> w punkcie <math>x = 27,</math> odpowiadającego przyrostowi <math>\Delta x = 0{,}005{:}</math>
: <math>dy = \frac{1}{3} x^{-2/3} \Delta x = \frac{1}{3} 27^{-2/3} \cdot 0{,}005 = \frac{1}{5400} \approx 0{,}0002.</math>

== Badanie zmienności funkcji ==
=== Pochodna a monotoniczność funkcji, ekstrema i punkty przegięcia ===
Z [[Twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)|twierdzenia Lagrange’a]] wynikają następujące własności pochodnej<ref>Fichtenholtz, op. cit., s. 236–237.</ref>:
: Jeżeli funkcja <math>f\colon (a, b) \to \mathbb{R}</math> jest różniczkowalna, to
:# Jeśli <math>\forall_{x \in (a, b)} f'(x) > 0,</math> to <math>f</math> jest [[Funkcja monotoniczna|funkcją rosnącą]] na <math>(a, b).</math>
:# Jeśli <math>\forall_{x \in (a, b)} f'(x) \geqslant 0,</math> to <math>f</math> jest [[Funkcja monotoniczna|funkcją niemalejącą]] na <math>(a, b).</math>
:# Jeśli <math>\forall_{x \in (a, b)} f'(x) < 0,</math> to <math>f</math> jest [[Funkcja monotoniczna|funkcją malejącą]] na <math>(a, b).</math>
:# Jeśli <math>\forall_{x \in (a, b)} f'(x) \leqslant 0,</math> to <math>f</math> jest [[Funkcja monotoniczna|funkcją nierosnącą]] na <math>(a, b).</math>
:# Jeśli <math>\forall_{x \in (a, b)} f'(x) = 0,</math> to <math>f</math> jest [[Funkcja stała|funkcją stałą]] na <math>(a, b).</math>

Z własności tych wynika, że ważnymi punktami dziedziny funkcji różniczkowalnej są [[Miejsce zerowe|miejsca zerowe]] jej pochodnej. Ponieważ [[funkcja różniczkowalna]] jest funkcją ciągłą<ref>Fichtenholtz, op. cit., s. 171.</ref>, więc jeśli funkcja jest określona na przedziale otwartym, to zbiory rozwiązań nierówności <math>f' > 0</math> i <math>f' < 0</math> są sumami przedziałów otwartych.

Zbiór miejsc zerowych pochodnej jest zbiorem domkniętym. Miejsca zerowe pierwszej pochodnej są bardzo ważne w badaniu funkcji. W praktyce obliczeniowej funkcje na ogół mają skończoną lub [[Zbiór przeliczalny|przeliczalną]] liczbę miejsc zerowych, które dzielą dziedzinę na przedziały otwarte, w których pochodna jest stale dodatnia lub stale ujemna. Wtedy każde miejsce zerowe albo oddziela dwa przedziały, na których pochodna przyjmuje jednakowe znaki, albo różne znaki. Stąd wynikają następujące definicje.

* Funkcja <math>f\colon (a, b) \to \mathbb{R}</math> przyjmuje w punkcie <math>x_0</math> [[Maksimum funkcji|maksimum]], jeśli istnieje takie otoczenie tego punktu <math>(x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset (a, b),</math> że dla każdego <math>x \in (x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta)</math> zachodzi nierówność <math>f (x) < f (x_0)</math><ref name="Fichtenholtz, op. cit., s. 241-242">Fichtenholtz, op. cit., s. 241–242.</ref>.

Dla funkcji różniczkowalnej oznacza to, że jeśli pochodna funkcji <math>f</math> jest:
: dodatnia w przedziale <math>(x_0 - \delta, x_0),</math>
: równa zero w <math>x_0,</math>
: ujemna w przedziale <math>(x_0, x_0 + \delta),</math>

to funkcja <math>f</math> ma w <math>x_0</math> maksimum.

* Funkcja <math>f\colon (a, b) \to \mathbb{R}</math> przyjmuje w punkcie <math>x_0</math> [[Minimum funkcji|minimum]], jeśli istnieje takie otoczenie tego punktu <math>(x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset (a, b),</math> że dla każdego <math>x \in (x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta)</math> zachodzi nierówność <math>f (x) > f (x_0)</math><ref name="Fichtenholtz, op. cit., s. 241-242" />.

Dla funkcji różniczkowalnej oznacza to, że jeśli pochodna funkcji <math>f</math> jest:
: ujemna w przedziale <math>(x_0 - \delta, x_0),</math>
: równa zero w <math>x_0,</math>
: dodatnia w przedziale <math>(x_0, x_0 + \delta),</math>

to funkcja <math>f</math> ma w <math>x_0</math> minimum.

Minima i maksima funkcji nazywamy jej [[Ekstremum funkcji|ekstremami]].

* Funkcja <math>f\colon (a, b) \to \mathbb{R}</math> ma w punkcie <math>x_0</math> [[punkt przegięcia]], jeśli jej pochodna ma ścisłe ekstremum lokalne w <math>x_0.</math>

=== Schemat badania zmienności funkcji ===
Przed narysowaniem wykresu funkcji <math>f\colon (a, b) \to \mathbb{R}</math> należy{{odn|Бугров|Никольский|1984|s=186–187}}:
# Znaleźć dziedzinę funkcji. Znaleźć granice funkcji w punktach brzegu dziedziny.
# Znaleźć miejsca zerowe pochodnej funkcji oraz punkty, w których pochodna funkcji nie istnieje lub jest równa <math>\pm\infty.</math> Obliczyć wartości funkcji w tych punktach i stwierdzić, czy w tych punktach funkcja przyjmuje minimum lub maksimum.
# Na każdym z przedziałów wyznaczonych przez miejsca zerowe pochodnej ustalić, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca.
# Zbadać istnienie punktów przegięcia funkcji.
# Rozwiązać, jeśli to możliwe, równanie <math>f (x) = 0</math> oraz ustalić przedziały, w których funkcja ma stały znak.
# Znaleźć [[Asymptota|asymptoty funkcji]].

== Pochodna funkcji wielu zmiennych ==
{{Zobacz też|przestrzeń współrzędnych|przestrzeń euklidesowa}}

=== Pochodne cząstkowe ===
{{Osobny artykuł|pochodna cząstkowa|pochodna kierunkowa}}
W przypadku funkcji wielu zmiennych <math>f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R</math> możliwe jest ustalenie <math>n-1</math> jej argumentów i traktowanie jej jako funkcji jednej zmiennej – pochodną względem tej zmiennej nazywa się „[[Pochodna cząstkowa|pochodną cząstkową]]”. Jeśli <math>\mathrm x \mapsto f(\mathrm x),</math> gdzie <math>\mathrm x = (x_1, \dots, x_n),</math> to ''pochodną cząstkową'' funkcji <math>f</math> względem jej <math>i</math>-tej współrzędnej <math>x_i</math> nazywa się wartość granicy
: <math>\frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathrm x):=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_1, \dots, x_i + h, \dots, x_n) - f(x_1, \dots, x_n)}{h},</math>

o ile istnieje i jest skończona. W zapisie wektorowym powyższą granicę można zapisać wzorem
: <math>\lim_{h \to 0} \frac{f(\mathrm x + h\mathbf e_i) - f(\mathrm x)}{h},</math>

gdzie <math>\mathbf e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)</math> jest wektorem z jedynką na <math>i</math>-tej współrzędnej i samymi zerami poza tym.

Powyższą definicję można uogólnić zastępując <math>\mathbf e_i</math> dowolnym [[Wektor jednostkowy|wektorem jednostkowym]] <math>\mathbf u.</math> Prowadzi to do definicji [[Pochodna kierunkowa|''pochodnej kierunkowej'']] wzdłuż <math>\mathbf u,</math> mianowicie:
: <math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf u}(\mathrm x):=\lim_{h \to 0} \frac{f(\mathrm x + h\mathbf u) - f(\mathrm x)}{h}.</math>

Jeśli <math>\mathbf u = u_1 \mathbf e_1 + \ldots + u_n \mathbf e_n</math> jest wektorem jednostkowym, to pochodna kierunkowa funkcji <math>f</math> wzdłuż <math>\mathbf u</math> jest równa
: <math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf u}(\mathrm x)=\frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathrm x)u_1+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathrm x)u_n.</math>

=== Pochodne zupełne ===
[[Plik:MaximumParaboloid.png|thumb|[[Paraboloida]], która jest wykresem funkcji <math>f\colon \mathbb R^2 \to \mathbb R,</math> w czerwonym punkcie ma [[Ekstremum funkcji|maksimum]]; w punkcie tym zerują się pochodne w dowolnym kierunku, co jest warunkiem koniecznym istnienia maksimum.]]
{{Zobacz też|pochodna zupełna|różniczka zupełna}}
Dowolną funkcję <math>\mathrm f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m</math> można rozłożyć na funkcje współrzędnych <math>f_1, \dots, f_m\colon \mathbb R^n \to \mathbb R,</math> przyjmując <math>\mathrm f = (f_1, \dots, f_m).</math> Jeżeli funkcje te są różniczkowalne w każdym kierunku, co jest równoważne istnieniu ich wszystkich pochodnych cząstkowych, to funkcję <math>\mathrm f</math> nazywa się ''różniczkowalną w słabym sensie''<ref group="uwaga">Pochodną/różniczkę w słabym sensie nazywa się czasem „słabymi”, jednakże należy ją odróżnić od opisywanej w ''[[#Uogólnienia|Uogólnieniach]]'' tzw. ''słabej pochodnej''.</ref>; przedstawieniem tej pochodnej we [[Układ współrzędnych|współrzędnych]] za pomocą odpowiadającej jej [[Macierz przekształcenia liniowego|macierzy przekształcenia liniowego]] jest tzw. ''[[macierz Jacobiego]]''.

Mogłoby się wydawać, że definicja słabej pochodnej jest w zupełności zadowalająca, jednak w przypadku funkcji wielowymiarowych należy zwrócić uwagę na zjawiska związane z większą liczbą wymiarów: istnieją przykładowo funkcje, które mają pochodne we wszystkich kierunkach (równoważnie: mają wszystkie pochodne cząstkowe, zob. ostatni ustęp poprzedniej sekcji), czyli wzdłuż prostych, lecz nie mają pochodnych wzdłuż innych krzywych – problem ten nie istnieje w przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej, gdzie granicę można obliczać wyłącznie wzdłuż krzywych leżących na prostej.

Definicja pochodnej funkcji wielu zmiennych <math>\mathrm f</math> stanowiącą rozwiązanie tego problemu naśladuje definicję „różniczkową” dla funkcji rzeczywistej (zob. ''[[#Związek z różniczką|Związek z różniczką]]''). ''Pochodną w mocnym sensie''<ref group="uwaga">Pochodną w mocnym sensie nazywa się również „mocną” lub „silną” pochodną, a samą funkcję – różniczkowalną w mocnym/silnym sensie; często jednak mówi się po prostu o „pochodnej”, „różniczce” i „różniczkowalności”.</ref> funkcji <math>\mathrm f</math> dla argumentu punktowego <math>\mathrm x \in \mathbb R^n</math> nazywa się takie [[przekształcenie liniowe]] <math>\mathrm{A_x}\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m,</math> dla którego zachodzi
: <math>\lim_{|\mathbf h| \to 0}~\frac{\big|\mathrm f(\mathrm x + \mathbf h) - \mathrm f(\mathrm x) - \mathrm{A_x}(\mathbf h)\big|}{|\mathbf h|} = 0,</math>

gdzie <math>|\cdot|</math> oznacza [[Przestrzeń euklidesowa#Struktura euklidesowa|moduł]] odpowiednich wektorów; odwzorowanie <math>\mathbf h \mapsto \mathrm{A_x}(\mathbf h),</math> podobnie jak w przypadku jednowymiarowym, nazywa się ''różniczką'' (''w mocnym sensie'') funkcji <math>\mathrm f</math><ref group="uwaga">Często w powyższej definicji, pomijając oznaczenie punktu <math>\mathrm x</math> w indeksie dolnym, zamiast <math>\mathrm A(\mathbf h)</math> pisze się <math>\mathbf{Ah},</math> gdzie <math>\mathbf A</math> jest [[Macierz|macierzą]] typu <math>m \times n</math> przekształcenia <math>\mathrm A,</math> zaś <math>\mathbf h</math> jest ''wektorem kolumnowym'' (tj. macierzą jednokolumnową); przyjmując naturalną strukturę danej [[Przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]] jako [[Przestrzeń afiniczna|przestrzeni afinicznej]] nad sobą, utożsamia się również punkt <math>\mathrm x</math> z odpowiadającym mu, zwykle kolumnowym, wektorem <math>\mathbf x</math> (zob. [[Przestrzeń współrzędnych|przestrzeni współrzędnych]] wektorów kolumnowych). Ogólna definicja różni się od przedstawionej rezygnacją z wyróżnionej [[Baza (algebra liniowa)|bazy]] oraz wyborem dowolnej [[Przestrzeń unormowana|normy]] wektorów (tj. zamiast <math>\mathbb R^n, \mathbb R^m</math> bierze się dowolne przestrzenie liniowe <math>V, W,</math> które muszą być unormowane); tak określoną pochodną nazywa się wtedy „pochodną Frechéta” (zob. ''[[Pochodna funkcji#Uogólnienia|Uogólnienia]]'').</ref>. Rolę funkcji pochodnej pełni tu więc odwzorowanie <math>\mathrm A\colon \mathbb R^n \to \mathrm L(\mathbb R^n, \mathbb R^m)</math> przestrzeni współrzędnych w [[Przestrzeń liniowa|przestrzeń liniową]] przekształceń liniowych (por. [[przestrzeń funkcyjna]] [[Przykłady przestrzeni liniowych#Przekształcenia liniowe|przekształceń liniowych]]) dane wzorem <math>\mathrm x \mapsto \mathrm{A_x},</math> tj. przypisujące punktowi przekształcenie liniowe.

Istnienie pochodnej w silnym sensie pochodnej pociąga istnienie pochodnej w słabym sensie; jeżeli jednak funkcja jest różniczkowalna w słabym sensie i wszystkie jej pochodne cząstkowe (kierunkowe) są ciągłe, to funkcja jest różniczkowalna w silnym sensie w sposób ciągły (tzn. jest klasy <math>\mathrm C^1</math>). Oba rodzaje pochodnych mają wiele własności pochodnej funkcji rzeczywistej, np. [[Przekształcenie liniowe|liniowość]], czy zachodzenie [[Reguła łańcuchowa|reguły łańcuchowej]]. Bezpośrednie generalizacje pojęć pochodnych w słabym/silnym sensie, tj. pochodne Gâteaux/Frécheta, opisano w ''[[#Uogólnienia|Uogólnieniach]]''.

== Przegląd stosowanych oznaczeń ==
[[Plik:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|thumb|Isaac Newton, jeden z twórców rachunku różniczkowego; pochodną nazywał on ''fluksją'', zmienną zaś ''fluentą''.]]

; Notacja Newtona
Notacja [[Isaac Newton|Isaaca Newtona]] wykorzystuje kropkę umieszczoną nad nazwą funkcji, która w domyśle jest funkcją argumentu czasowego, zwyczajowo oznaczanego literą <math>t;</math> częstokroć wykorzystuje się ją do zapisu [[Równanie różniczkowe|równań różniczkowych]] i ich zastosowaniach fizycznych, np. do opisu położenia <math>x(t), y(t), z(t)</math> jako funkcji <math>x, y, z</math> z ukrytym parametrem czasowym <math>t.</math>

Pierwsze dwie pochodne funkcji <math>x</math> (względem <math>t</math>) zapisuje się wtedy symbolami
: <math>\dot x \quad\text{ oraz }\quad \ddot x,</math>

przy czym niekiedy dodaje się kolejne kropki i choć notacja nie spełnia należycie swej roli przy pochodnych wyższych rzędu, to w praktyce przydatnych jest tylko kilka rzędów pochodnych.

; Notacja Leibniza
[[Plik:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg|thumb|Przez długie lata Leibniz wiódł spór z Newtonem o pierwszeństwo odkrycia rachunku różniczkowego.]]

Jednym z najwcześniejszych sposobów zapisu jest ten pochodzący od [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfrieda Wilhelma Leibniza]], w której pochodną funkcji <math>f</math> względem zmiennej <math>x</math> oznacza się za pomocą [[Ułamek|ułamka]]
: <math>\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}, \quad\text{ czy }\quad \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} f.</math>

Niegdyś pochodną interpretowano jako [[Dzielenie|iloraz]] różniczek [[Zmienne zależna i niezależna|zmiennych zależnej i niezależnej]]: [[Różniczka funkcji|różniczki funkcji]] <math>\mathrm df(x, h) = \mathrm df(x, \mathrm dx)</math> i [[Różniczka|różniczki]] <math>h = \mathrm dx,</math> choć dziś to różniczkę definiuje się za pomocą pochodnej, <math>\mathrm df(x, \mathrm dx) = f'(x) \mathrm dx,</math> w skrócie <math>\mathrm df = f'(x) \mathrm dx,</math> co prowadzi bezpośrednio do powyższej notacji. Mimo wszystko operowanie różniczkami w przedstawiony sposób wymaga uwagi ze względu na możliwość wyciągnięcia błędnych wniosków w ich wyniku, dlatego dziś oznaczenia te traktuje się zwykle jako napisy formalne, nierozerwalną całość.

Wyrażenie <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> można uważać za ''operator'' brania pochodnej działający na funkcji <math>f,</math> co znajduje odzwierciedlenie we drugim ze wzorów, dzięki czemu drugą pochodną można zapisać jako
: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\right) = \frac{\mathrm d^2 f}{(\mathrm dx)^2},</math>

przy czym wyrażenie <math>\mathrm dx</math> w mianowniku przyjęto traktować jako całość, dzięki czemu można pominąć nawias przy „[[Potęgowanie|potęgowaniu]]”,
: <math>\frac{\mathrm d^n f}{\mathrm dx^n}, \quad \frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n} f</math>

dla pochodnej <math>n</math>-tego rzędu.

Do powyższych napisów dodaje się często argument funkcji <math>f,</math> czy też jej funkcji pochodnej, stąd spotyka się również napisy postaci
: <math>\frac{\mathrm df(x)}{\mathrm dx}, \quad \frac{\mathrm df}{\mathrm dx}(x) \quad \text{ oraz } \quad \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} f(x)</math>

i analogicznie dla pochodnych wyższego rzędu. Notacja ta służy czasami oznaczeniu pochodnej funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x = a</math> (symbol <math>x</math> w nawiasach zamienia się wtedy na <math>a</math>), jednak może on sugerować, iż <math>a</math> jest argumentem funkcji <math>f.</math> Drugim sposobem oznaczania pochodnej w punkcie jest
: <math>\left.\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\right|_{x=a}</math>

i analogiczne jw. napisy z różnymi pozycjami funkcji <math>f,</math> jej argumentu i rzędami.

Zapis Leibniza wskazuje w mianowniku zmienną różniczkowania – nabiera to znaczenia w ''[[#Pochodne cząstkowe|pochodnych cząstkowych]]'' i pomaga zapamiętać [[Reguła łańcuchowa|regułę łańcuchową]],
: <math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm dy}{\mathrm du} \frac{\mathrm du}{\mathrm dx},</math>

twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej,
: <math>\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy} = \frac{1}{\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}},</math>

czy wzór na [[całkowanie przez części]],
: <math>\int f \mathrm dx = \int f \frac{\mathrm dx}{\mathrm du} \mathrm du.</math>

; Notacja Eulera
[[Plik:Leonhard Euler.jpg|thumb|Leonhard Euler połączył rachunek różniczkowy Leibniza z ''metodą fluksji'' Newtona, dając duży wkład w rozwój tej teorii.]]

Pochodząca od [[Leonhard Euler|Leonharda Eulera]] notacja wykorzystuje symbol [[Operator różniczkowy|operatora różniczkowego]] <math>\mathrm D,</math> który zastosowany do funkcji <math>f</math> daje jej pierwszą pochodną <math>\mathrm Df;</math> drugą oznacza się w naturalny sposób <math>\mathrm D^2 f,</math> a <math>n</math>-tą za pomocą symbolu <math>\mathrm D^n f.</math> Jest ona wygodna do opisu zadania i rozwiązania [[Równanie różniczkowe liniowe|liniowych równań różniczkowych]].

; Notacja Lagrange’a
[[Plik:Lagrange portrait.jpg|thumb|Prace Lagrange’a miały wielki wpływ na [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy’ego]], [[Carl Gustav Jakob Jacobi|Jacobiego]] i [[Karl Weierstraß|Weierstrassa]] uważanych za twórców współczesnej [[Analiza matematyczna|analizy matematycznej]].]]

Notacja używana w tym artykule pochodzi od [[Joseph Louis Lagrange|Josepha Louisa Lagrange’a]], wykorzystuje się w niej symbole [[prim]] »′«, [[Bis (symbol)|bis]] »″« i ter »‴« (nie należy ich mylić z [[Cudzysłów|cudzysłowami]] i [[apostrof]]ami) po oznaczeniu funkcji, np.
: <math>f', \quad f'', \quad f'''.</math>

Czwartą pochodną oznacza się jeszcze niekiedy symbolem [[quater]] »⁗«, jednak zwykle począwszy od czwartej w miejscu poprzednich umieszcza się liczby w [[Rzymski system zapisywania liczb|rzymskim systemie ich zapisywania]], np.
: <math>f^\mathrm{iv}, \quad f^\mathrm v, \quad f^\mathrm{vi}, \quad \dots,</math>

bądź liczby arabskie w nawiasie,
: <math>f^{(4)}, \quad f^{(5)}, \quad f^{(6)}, \quad \dots,</math>

co umożliwia oznaczenie <math>n</math>-tej pochodnej jako <math>f^{(n)},</math> co ułatwia opis funkcji pochodnej (w powyższych napisach dodaje się argument funkcji po oznaczeniu pochodnej). Ta notacja jest używana do opisu szeregów nieskończonych, takich jak [[Wzór Taylora|szeregu Taylora]].

; Funkcje wielu zmiennych
W przypadku [[Funkcja wielu zmiennych|funkcji wielu zmiennych]] można korzystać z każdej z powyższych notacji, choć zwykle unika się sposobu zapisu pochodzącego od Newtona. Zapis pochodnych cząstkowych wymaga wskazania zmiennych różniczkowania i ich kolejności (co czyni się często, wypisując je w indeksie dolnym), np. dla funkcji <math>f(x, y, z, t),</math> jej (mieszana) pochodna cząstkowa czwartego rzędu wzięta względem zmiennej <math>t,</math> następnie względem <math>y,</math> potem względem <math>x</math> i raz jeszcze względem <math>y</math> może być oznaczona symbolami
: <math>f^{(4)}_{tyxy} = f_{tyxy}, \quad \mathrm D_{tyxy} f.</math>

Popularna jest też notacja pochodząca od [[Adrien-Marie Legendre|Adriena-Marie Legendre’a]] i rozpropagowaną przez [[Carl Gustav Jakob Jacobi|Carla Gustava Jakoba Jacobiego]], naśladująca niejako symbolikę Leibniza, w której korzysta się z symbolu [[∂]] zamiast litery <math>\mathrm d,</math> co ma na celu podkreślenie innej natury tych obiektów, np.
: <math>\frac{\partial^4 f}{\partial t \partial y \partial x \partial y} = \partial_{tyxy} f.</math>

Z symbolu tego korzysta się również do oznaczania [[Macierz Jacobiego|macierzy Jacobiego]] (lub jej [[wyznacznik]]a, tzw. ''jakobianu'', jeśli jest kwadratowa); np. dla funkcji <math>\mathrm g(\mathrm x),</math> gdzie <math>\mathrm g = (g_1, \dots, g_m)</math> oraz <math>\mathrm x = (x_1, \dots, x_n)</math> jest to
: <math>\frac{\partial \mathrm g}{\partial \mathrm x} = \frac{\partial(g_1, \dots, g_m)}{\partial (x_1, \dots, x_n)}.</math>

== Uogólnienia ==
Wzięcie [[Granica funkcji#Granica jednostronna|granic jednostronnych]] w danym punkcie w definicji pochodnej funkcji <math>\mathbb R \to \mathbb R</math> nazywa się '''pochodnymi jednostronnymi'''; dalsze osłabienie definicji poprzez branie [[Granice dolna i górna|granic dolnych i górnych]] daje tzw. ''[[Pochodna Diniego|pochodne Diniego]]''.

''[[Subróżniczka|Subpochodna'' i ''subróżniczka]]'' (''podpochodna'' i ''podróżniczka'') to uogólnienie pochodnej na [[Wypukłość funkcji|funkcje wypukłe]] – opisują one wszystkie styczne w danym punkcie wykresu wspomnianych funkcji, przez to nie są one liczbami, lecz ich zbiorami.

W przypadku [[Liczby zespolone|liczb zespolonych]] <math>\mathbb C</math> definicje pochodnych dla funkcji <math>\mathbb R \to \mathbb R</math> przenoszą się bez zmian na funkcje <math>\mathbb C \to \mathbb C;</math> pochodną takiej funkcji nazywa ''[[Funkcja holomorficzna|pochodną zespoloną]]''. Zasadniczą różnicą między pochodnymi tych dwóch rodzajów funkcji jest fakt, iż ''funkcje holomorficzne'', czyli funkcje zespolone mające pochodną zespoloną w pewnym zbiorze otwartym, są w nim analityczne (zob. ''[[#Pochodne pochodnych|Pochodne pochodnych]]''). Jako [[Przestrzeń liniowa|przestrzenie liniowe]] równego wymiaru <math>\mathbb R^2</math> oraz <math>\mathbb C</math> mają tę samą strukturę (są [[Izomorfizm|izomorficzne]] nad <math>\mathbb R</math>), jednakże <math>\mathbb C</math> jest bogatsza o operacje mnożenia i dzielenia przez wektory (jest [[Algebra nad ciałem|algebrą]], a nawet [[Ciało (matematyka)|ciałem]]). Dzięki temu pochodną zespoloną na <math>\mathbb C</math> można traktować jako wzmocniony wariant mocnej pochodnej na <math>\mathbb R^2;</math> [[Warunek konieczny|warunkiem koniecznym]] i [[Warunek wystarczający|dostatecznym]] zgodności tych pojęć są ''[[równania Cauchy’ego-Riemanna]]'', czyli wymaganie, by pochodna w sensie rzeczywistym opisywała liczbę zespoloną ([[macierz Jacobiego]] [[Liczby zespolone#Reprezentacja macierzowa|reprezentowała liczbę zespoloną]], zob. [[Równania Cauchy'ego-Riemanna#Odwzorowania konforemne|równokątność różniczki zespolonej]]), zaś różniczka – mnożenie przez nią, a nie tylko dowolne [[przekształcenie liniowe]].

''[[Pochodna Frécheta]]'' jest bezpośrednim uogólnieniem pojęcia pochodnej w silnym sensie funkcji wielu zmiennych na [[Przestrzeń unormowana|unormowane]] [[Przestrzeń liniowa|przestrzenie liniowe]], z kolei ''[[pochodna Gâteaux]]'' uogólnia pochodną w słabym sensie na jeszcze ogólniejsze [[Przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzenie liniowo-topologiczne]] [[Przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła|lokalnie wypukłe]] (przykładami obu są np. [[Przestrzeń Banacha|przestrzenie Banacha]]), w szczególności pokrywają się ona z odpowiednio pochodnymi w silnym i słabym sensie dla [[Przestrzeń współrzędnych|przestrzeni współrzędnych]].

Odpowiednikiem pochodnej w silnym sensie dla funkcji między [[Rozmaitość różniczkowa|rozmaitościami różniczkowymi]] jest ''[[odwzorowanie styczne]]'' będące odwzorowaniem między [[Przestrzeń styczna|przestrzeniami stycznymi]] ustalonego punktu i jego [[Obraz (matematyka)|obrazu]]<ref group="uwaga">[[Dualność (matematyka)|Pojęciem dualnym]] jest [[odwzorowanie kostyczne]] między [[Przestrzeń kostyczna|przestrzeniami kostycznymi]].</ref> – jest to możliwe dzięki zapisaniu przestrzeni stycznych w ustalonej bazie, tzn. wyrażeniu ich za pomocą izomorficznych z nimi przestrzeni współrzędnych, gdzie zdefiniowana jest pochodna w silnym sensie<ref group="uwaga">Pochodną w silnym sensie można zastąpić pochodną Frécheta, gdyż przestrzenie styczne są przestrzeniami liniowymi, dla których można otrzymać niezbędne struktury z izomorficznych z nimi przestrzeni współrzędnych – ten poniekąd zbędny krok jest zwykle pomijany.</ref>. Rolę funkcji pochodnej pełni w tym wypadku odpowiednia funkcja między [[Wiązka styczna|wiązkami stycznymi]] (w przypadku funkcji między unormowanymi przestrzeniami liniowymi ich przestrzenie styczne pokrywają się z tymi przestrzeniami, a wiązka styczna jest trywialna).

Kolejne pochodne nie są przekształceniami liniowymi (muszą opisywać geometrię, której nie da się opisać za pomocą struktur liniowych), nie są określone między wiązkami stycznymi (zawierają one informację o danej przestrzeni i pochodnych kierunkowych), a ponadto nie uzyskuje się ich poprzez branie pochodnej funkcji pochodnych niższego rzędu. Ich analogonem są tzw. ''[[Strumień (matematyka)|strumienie]]'' (''dżety'') oraz [[Wiązka strumieni|ich wiązki]]. Związek między pochodną zupełną i cząstkowymi funkcji znajduje odzwierciedlenie w związku strumienia <math>k</math>-tego rzędu funkcji z jego pochodnymi cząstkowymi rzędu nie mniejszego niż <math>k.</math>

Dla [[wielomian]]u bądź [[Szereg (matematyka)|szeregu]] możliwe jest zdefiniowanie pochodnej bez odwoływania się do pojęcia granicy, korzystając jedynie ze wzoru, który uzyskuje się w analizie z podanej w tym artykule definicji – nazywa się ją ''[[Pochodna formalna|pochodną formalną]]''; definicja ta umożliwia uprawianie dużej części analizy w oparciu o [[Algebra|algebrę]] bez odwoływania się do [[Topologia|topologii]].

Rozszerzeniem pojęcia pochodnej na funkcje lokalnie [[Funkcja całkowalna|całkowalne]] (a więc nawet niekoniecznie ciągłe) jest tzw. ''[[słaba pochodna]]'', której idea opiera się na [[Całkowanie przez części|metodzie całkowania przez części]] – nie są one wyznaczone jednoznacznie<ref group="uwaga">Są one „równe prawie wszędzie”, tj. są zdefiniowane [[Izomorfizm|z dokładnością do]] [[Zbiór miary zero|zbiorów miary zero]], poza którymi są równe.</ref>; znajduje ona przede wszystkim zastosowanie przy poszukiwaniu tzw. słabych rozwiązywań [[Równanie różniczkowe cząstkowe|równań różniczkowych cząstkowych]].

W [[Teoria miary|teorii miary]] rozpatruje się tzw. ''[[Twierdzenie Radona-Nikodýma|pochodną Radona-Nikodýma]]'', która opisuje prędkość zmian gęstości jednej miary względem innej zupełnie analogicznie jak ma to miejsce w przypadku z [[wyznacznik]]a [[Macierz Jacobiego|macierzy Jacobiego]] dla funkcji wielowymiarowych (zob. ''[[#Pochodne zupełne|Pochodne zupełne]]'').

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
{{wikisłownik|pochodna}}

; Polskojęzyczna
* {{cytuj książkę |nazwisko = Korn |imię = G.A. |nazwisko2 = Korn |imię2 = T.M. |tytuł = Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |rok = 1983 |tom = 1 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kuratowski |imię = Kazimierz |autor link = Kazimierz Kuratowski |tytuł = Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej |wydawca = PWN |rok = 1967 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kane |imię = J.W. |nazwisko2 = Sternheim |imię2 = M.M. |tytuł = Fizyka dla przyrodników |wydawca = PWN |rok = 1988 |tom = 2 |isbn = 83-01-07418-3 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kryszewski |imię = W. |tytuł = Wykład analizy matematycznej Część I Funkcje jednej zmiennej |wydawca = Wydawnictwo Naukowe UMK |rok = 2009 |isbn = 978-83-231-2352-1}}

; Rosyjskojęzyczna
* {{cytuj książkę |nazwisko = Бугров |imię = Я.С. |nazwisko2 = Никольский |imię2 = С.М. |tytuł = Дифференциальное и интегральное исчисление |wydawca = Наука |rok = 1984 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Прохоров |imię = Ю.В. |nazwisko2 = Розанов |imię2 = Ю.А. |tytuł = Теория вероятностей |wydawca = Наука |rok = 1987 |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Pismo Delta | url = /media/articles/2023/05/delta-2023-05-nie-czytaj-jesli-nie-wiesz-czym-jest-pochodna.pdf | autor = Piotr Krzyżanowski | tytuł = Nie czytaj, jeśli nie wiesz, czym jest pochodna | data = maj 2023 | data dostępu = 2023-12-10 }}
* {{otwarty dostęp}} Paweł Lubowiecki, nagrania na [[YouTube]], [[Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego]], kanał „Uczelnia WAT”, 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09]:
** ''[https://www.youtube.com/watch?v=-YWvYkFVHNY Pochodna funkcji jednej zmiennej cz. I – Definicja pochodnej]''.
** ''[https://www.youtube.com/watch?v=VRIdE2R0TzY Pochodna funkcji jednej zmiennej cz. II – Wzory na pochodne]''.
** ''[https://www.youtube.com/watch?v=5yJ0ipScTNo Pochodna funkcji jednej zmiennej cz. III – Pochodne wyższych rzędów]''.

{{Rachunek różniczkowy}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Pochodne i różniczki| ]]