Tekst źródłowy strony Pierwiastkowanie

{{Inne znaczenia|odwrócenia potęgowania|[[pierwiastek|inne znaczenia słowa „pierwiastek”]]}}{{Dopracować|więcej przypisów=2024-08}}

'''Pierwiastkowanie''' – operacja odwrotna względem [[potęgowanie|potęgowania]], zdefiniowana m.in. dla liczb [[Liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] i [[Liczby zespolone|zespolonych]]. Przy tym dla liczb rzeczywistych wprowadza się dwa pojęcia: '''pierwiastka arytmetycznego i pierwiastka algebraicznego'''. 

Pierwiastki pojawiają się np. w definicji [[średnia geometryczna|średniej geometrycznej]], w [[Kryteria zbieżności szeregów#Kryterium Cauchy'ego|pierwiastkowym kryterium Cauchy’ego]] na zbieżność [[szereg (matematyka)|szeregu liczbowego]] albo w definicji [[Odległość Minkowskiego|odległości Minkowskiego]]. 

[[pierwiastek z jedynki|Pierwiastki zespolone z jedynki]] odgrywają istotną rolę w matematyce wyższej. Duża część [[teoria Galois|teorii Galois]] skupia się na wskazaniu, które z [[liczby algebraiczne|liczb algebraicznych]] można przedstawić za pomocą pierwiastków, co prowadzi do [[twierdzenie Abela-Ruffiniego|twierdzenia Abela-Ruffiniego]] mówiącego, iż ogólny [[wielomian]] stopnia piątego bądź wyższego nie może być rozwiązany za pomocą tzw. ''[[pierwiastnik]]ów'', tzn. wyrażeń połączonych działaniami dodawania, [[Odejmowanie|odejmowania]], [[Mnożenie|mnożenia]] i dzielenia oraz pierwiastków.

== Pierwiastek rzeczywisty arytmetyczny ==
Pierwiastki arytmetyczne definiuje się dla liczb rzeczywistych i w taki sposób, by przypisać liczbom rzeczywistym pierwiastki w sposób [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|wzajemnie jednoznaczny]], tj. każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden pierwiastek stopnia ''<math>n </math>''-tego, przy czym nie istnieją pierwiastki arytmetyczne dla [[Znak liczby|liczb ujemnych]] stopnia parzystego, np. pierwiastek drugiego stopnia z -1. Natomiast w dziedzinie liczb zespolonych pierwiastek <math>n</math>-tego stopnia z liczby -1 istnieje i ma <math>n</math> wartości (por. dalej); w tym przypadku liczba -1 jest traktowana jako liczba zespolona o zerowej części urojonej. Także definiuje się tzw. pierwiastek algebraiczny w dziedzinie liczb rzeczywistych, który może mieć dwie wartości dla tej samej liczby.
=== Liczby rzeczywiste nieujemne ===
[[Plik:Squareroot-0-9-metapost.svg|thumb|Wykres funkcji pierwiastka arytmetycznego kwadratowego <math>y = \sqrt{x}</math> – funkcja ta jest zdefiniowana jednoznacznie dla liczb nieujemnych i przypisuje pierwiastkowi wartość nieujemną.]]Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia <math>n= 1,2,3, 4\dots</math> z liczby rzeczywistej nieujemnej ''<math>x \ (x \ge 0)</math>'' nazywamy taką liczbę rzeczywistą nieujemną ''<math>y \  (y \ge 0)</math>'', która podniesiona do potęgi ''<math>n </math>'' daje liczbę ''<math>x</math>'', tj. 
: ''<math>y^n=x</math>''
i zapisuje się w postaci 
: ''<math>y=\sqrt[n]{x}</math>''
W ten sposób każdej nieujemnej liczbie rzeczywistej przypisana zostaje jedna nieujemna liczba rzeczywista, będąca jej pierwiastkiem arytmetycznym. 

Liczbę ''<math>x</math>'' nazywamy liczbą podpierwiastkową.  

Z definicji wynika, że pierwiastek stopnia <math>n</math> z liczby <math>x</math> jest pierwiastkiem równania <math>y^n - x=0</math> zmiennej <math>y</math> przy ustalonej wartości ''<math>x </math>.'' 

Np. ''<math>\sqrt[4]{16}=2 </math>'' – pierwiastek arytmetyczny czwartego stopnia z ''<math>16 </math>'', gdyż <math>2^4 = 16.</math>  

Uwaga: Jeżeli liczbę 16 będziemy traktować jako liczbę zespoloną (o zerowej części urojonej), to otrzymamy cztery pierwiastki ''<math>\sqrt[4]{16}=2,  -2,  2i, -2i </math>'' (por. dalej – pierwiastki zespolone).

=== Liczby rzeczywiste ujemne i pierwiastek stopnia nieparzystego ===
[[Plik:Cube-root_function.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Cube-root_function.svg|mały|220x220px|Wykres funkcji sześciennej <math>y=\sqrt[3]{x}</math>. Funkcja ta jest rosnąca w całym przedziale liczb rzeczywistych, dlatego każdej liczbie rzeczywistej <math>x</math> odpowiada dokładnie jedna liczba <math>y=\sqrt[3]{x}</math> będąca jej pierwiastkiem sześciennym. W szczególności pierwiastki z liczb ujemnych są liczbami ujemnymi.]]
Dla liczb rzeczywistych ujemnych ''<math>x < 0</math>'' pierwiastek <u>stopnia nieparzystego</u> ''<math>n </math>'' definiuje się wzorem 
: ''<math>y=-\sqrt[n]{|x|}</math>''
gdzie ''<math>|x| </math>'' - [[wartość bezwzględna]] liczby ''<math>x </math>'' 

Np.''<math>\sqrt[3]{-8} = -\ \sqrt[3]{8} = -2, \quad</math>'' <math>\sqrt[5]{-2} = -\ \sqrt[5]{2}=-1{,}148698354\dots</math>  

Dla nieparzystych <math>n</math> każda liczba rzeczywista ma w ten sposób zdefiniowany pierwiastek rzeczywisty ''n''-tego stopnia.

<u>Nie istnieje zaś rzeczywisty</u> pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej, np. ''<math>\sqrt[4]{-8}. </math>'' Jednak w dziedzinie liczb zespolonych ''<math>\sqrt[4]{-8} </math>'' ma aż cztery różne wartości (por. dalej - pierwiastki zespolone). 

=== Symbole pierwiastka arytmetycznego ===
Pierwiastki zapisuje się zwykle za pomocą symbolu <math>\sqrt{^{^\;}}</math> (zob. [[#Historia|niżej]]), pierwiastkom stopnia drugiego, trzeciego, czwartego itd. z liczby <math>x</math> odpowiadają kolejno symbole <math>\sqrt x, \sqrt[3]x, \sqrt[4]x</math> itp. (zwyczajowo pomija się w zapisie stopień pierwiastka kwadratowego). Notacja ta nie budzi zastrzeżeń w stosunku do pierwiastków arytmetycznych, niemniej może prowadzić do sprzeczności w przypadku pierwiastków algebraicznych, dla których symbole te nie są jednoznaczne, gdyż istnieje wiele pierwiastków algebraicznych danej liczby (por. niżej).

=== Pierwiastek kwadratowy, sześcienny i inne ===
Dla ''<math>n=2</math>'' pierwiastek arytmetyczny nazywa się [[Pierwiastek kwadratowy|pierwiastkiem kwadratowym]] i oznacza ''<math>\sqrt{x}</math>'',  pomijając cyfrę 2, zaś dla ''<math>n=3</math>'' nazywa się  [[Pierwiastek sześcienny|pierwiastkiem sześciennym]] i oznacza ''<math>\sqrt[3]{x}</math>''; pierwiastki wyższych stopni nazywa się wyłącznie liczbowo, np. „pierwiastek czwartego stopnia”.

== Pierwiastkowanie jako potęgowanie o ułamkowym wykładniku ==
Obliczanie pierwiastka ''<math>n</math>''-tego stopnia jest operacją odwrotną do [[Potęgowanie|potęgowania]], dlatego pierwiastkowanie można zapisywać jako potęgowanie o wykładniku ułamkowym, tj. 
: <math>\sqrt[n] x \equiv x^{1/n}.</math>
<u>Dowód</u>: 

Korzystając z twierdzenia o potędze <math> (x^{a})^b=x^{a\cdot b}</math> potęgi mamy:
: <math> (x^{1/n})^n=x^{\frac{1}{n}\cdot n}=x^1=x</math>
Z drugiej strony, z definicji pierwiastka wynika, że ''<math>n</math>''-ta potęga pierwiastka ''<math>n</math>''-tego stopnia musi dać liczbę podpierwiastkową ''<math>x, </math>'' tj.
: <math>(\sqrt[n] x )^n=x</math>
Porównując obie równości dostajemy dowodzony wzór.

== Twierdzenia - pierwiastki rzeczywiste ==
[[Plik:RootAndPowerFunctions.svg|thumb|right|217x217px|Krzywe wybranych pierwiastków i potęg dla <math>x \in [0,1]</math>. Przekątna równania <math>y = x</math> jest osią symetrii między każdą krzywą funkcji pierwiastkowej a krzywą jej [[Funkcja odwrotna|funkcji odwrotnej]].]]

Jeżeli <math>x, y</math> są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś <math>n, m</math> są dodatnimi liczbami całkowitymi, to:
* <math>\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n] x \sqrt[n] y</math>
* <math>\sqrt[n]{x/y} = \frac{\sqrt[n] x}{\sqrt[n] y}\quad{}</math> dla <math>\  y \ne 0</math>
* <math>\sqrt[n]{x^m} = \left(\sqrt[n] x\right)^m</math>
* <math>\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}= \sqrt[m \cdot n]{x}</math>

* gdy <math>x<y</math> to <math>\sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{y}</math>
* Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest albo [[Liczby naturalne|liczbą naturalną]], albo [[liczby niewymierne|niewymierną]]<ref group="uwaga">[[Dowód nie wprost]]. Niech dla pewnej liczby naturalnej <math>n</math> jej pierwiastek <math>\sqrt n</math> będzie niecałkowitą liczbą wymierną; wówczas <math>0 < q = \sqrt n - \lfloor \sqrt n \rfloor < 1</math> i istnieją takie liczby naturalne, które mnożone przez <math>q</math> dają liczby naturalne. Najmniejsza z nich (istnieje na mocy [[zasada dobrego uporządkowania|zasady dobrego uporządkowania]]) będzie oznaczana literą <math>k;</math> niech ponadto <math>l = kq,</math> która jest mniejszą od <math>k.</math> Wtedy <math>lq = kq^2 = kn - 2k\sqrt n \lfloor \sqrt n \rfloor + k\lfloor \sqrt n \rfloor^2 = kn - 2k\lfloor \sqrt n\rfloor^2 + k\lfloor \sqrt n \rfloor^2 - 2kq\lfloor \sqrt n \rfloor</math> jest liczbą całkowitą, gdyż wyrazy sumy są iloczynami liczb całkowitych, w ten sposób <math>l</math> przeczy minimalności <math>k,</math> co kończy dowód.</ref>; np. dla liczby naturalnej 2:
: <math>\sqrt{2} = 1{,}414213562\dots</math>

* Im większy stopień pierwiastka z liczby mniejszej od <math>1</math>, tym większa jest jego wartość, która zmierza do 1 wraz ze wzrostem stopnia pierwiastka, np. <math> \sqrt[2]  {0.4}\approx 0{.}6 < \quad
\sqrt[5]  {0.4} \approx 0{.}8 <\quad
\sqrt[100] {0.4} \approx 0{.}99 </math>
* Im większy stopień pierwiastka z liczby wiekszej od <math>1</math>, tym mniejsza jest jego wartość, która zmierza do <math>1</math> wraz ze wzrostem stopnia pierwiastka, np. <math>\sqrt{2}\approx1{,}4 > \quad
\sqrt[3] 2 \approx 1{,}3 > \quad
\sqrt[100] 2 \approx 1{,}007 </math>

* Pierwiastki stopni całkowitych z liczb niewymiernych są niewymierne, bo [[Liczby wymierne|liczba wymierna]] podniesiona do potęgi o dowolnym wykładniku całkowitym daje liczbę wymierną.

== Pierwiastek rzeczywisty algebraiczny ==
Pierwiastkiem algebraicznym stopnia <math>n</math> (gdzie <math>n=1,2, \dots</math>)  z liczby rzeczywistej ''<math>x </math>'' nazywamy taką liczbę rzeczywistą ''<math>y</math>'' (dodatnią lub ujemną lub równą zero), która podniesiona do potęgi ''<math>n </math>'' daje liczbę <math>x</math><ref>{{Encyklopedia PWN|tytuł=Pierwiastek|id=3956895|data dostępu=2021-07-28}}</ref>, tj. 
: ''<math>y^n=x</math>''
Pierwiastek algebraiczny z liczb rzeczywistych ujemnych stopnia parzystego nie istnieje, podobnie jak pierwiastek arytmetyczny stopnia parzystego, np. pierwiastek kwadratowy z ''<math>-8 </math>''.  Ale istnieje pierwiastek algebraiczny dla dowolnych liczb rzeczywistych stopnia nieparzystego i ma zawsze jedną wartość, np. pierwiastek 3-go stopnia z ''<math>-8 </math>'' wynosi ''<math>-2 </math>''. Zaś dla liczb rzeczywistych dodatnich istnieją zawsze dwa pierwiastki algebraiczne stopnia parzystego. Np. dla liczby ''<math>4 </math>'' istnieją dwie takie liczby: ''<math>2 </math>'' oraz  ''<math>-2 </math>'', gdyż <math>2^2 = 4</math> oraz <math>(-2)^2 = 4</math> – obie te liczby nazywamy pierwiastkami kwadratowymi algebraicznymi z liczby ''<math>4 </math>''.  

Operacja znajdowania pierwiastka algebraicznego w dziedzinie liczb rzeczywistych przypisuje więc danej liczbie jedną wartość lub dwie wartości, inaczej niż dla pierwiastka arytmetycznego, który przyjmuje zawsze jedną wartość (oraz - tak jak w przypadku pierwiastka arytmetycznego - wyklucza przypisywanie pierwiastków stopnia parzystego liczbom ujemnym).  

== Pierwiastek zespolony ==
'''Df.''' Pierwiastkiem zespolonym stopnia <math>n= 1,2,3, 4\dots</math> z [[liczby zespolone]]j <math>z</math> nazywa się dowolną liczbę <math>w</math> spełniającą równość
: <math>w^n = z</math>

Każda niezerowa [[liczby zespolone|liczba zespolona]] <math>z</math> (w tym liczba rzeczywista, tj. zespolona o zerowej części urojonej)  ma <math>n</math> różnych zespolonych pierwiastków ''<math>n</math>''-tego stopnia. 

'''Tw.''' Aby wyznaczyć pierwiastki zespolone liczby zespolonej <math>z = a + i b</math>, przedstawia się ją w [[Liczby zespolone|postaci trygonometrycznej]]:
: <math>z = |z|\left(\cos \phi + i\sin \phi \right)</math>
gdzie:
: <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math> - moduł
: <math>\phi =\arctan(b/a) \in (-\pi, \pi></math> - argument główny
Wtedy pierwiastki <math>n</math>-go stopnia określa [[wzór de Moivre’a]]:
: <math>w_{(k)} = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos \tfrac{\phi + 2k\pi}{n} + i\sin \tfrac{\phi + 2k\pi}{n}\right),</math>
gdzie <math>k = 0, 1, 2, \dots, n-1</math> oznacza numer pierwiastka (symbol <math>\sqrt[n]{\;}</math> oznacza tu [[#Definicja|pierwiastek arytmetyczny]]).
[[Plik:Roots3_i.png|mały|221x221px|Pierwiastki 3-go stopnia z liczby <math>1+i
</math> na płaszczyźnie zespolonej tworzą wierzchołki trójkąta foremnego.]]
'''Interpretacja geometryczna:''' W interpretacji geometrycznej punkty przedstawiające pierwiastki stopnia <math>n</math> liczby zespolonej tworzą wierzchołki <math>n</math>-kąta foremnego mającego środek w początku układu współrzędnych, wpisanego w okrąg o promieniu <math>\sqrt[n]{|z|}, </math> przy czym [[wektor wodzący]] wierzchołka o indeksie 0 jest pod kątem <math>\phi/n </math> do osi rzeczywistej układu współrzędnych. Ilustrują to przykłady.

<u>Przykłady</u>

'''Przykład 1: Pierwiastek kwadratowy z <math>z=i</math>'''
[[File:Imaginary2Root.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Imaginary2Root.svg|prawo|mały|'''Dwa pierwiastki zespolone 2-go stopnia dla ''<math>z = i </math>''''']]
Niech będzie dana liczba czysto urojona <math>z = i.</math> Liczba ta ma zerową część rzeczywistą, tj. <math>z = 0+1 \cdot i </math>. Mamy więc moduł <math>|z| = 1</math>, argument główny  <math>\phi = \pi/2</math>, stąd postać trygonometryczna <math>z=i = \cos \tfrac{\pi}{2} + i\sin\tfrac{\pi}{2}.</math>

Z wzoru Moivre'a mamy pierwiastki 2-go stopnia z '''<math>z=i</math>'''
: '''<math>w_0 = \cos \tfrac{\pi}{4} + i\sin \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{1}{\sqrt{2}}+ i\tfrac{1}{\sqrt{2}}  </math>'''
: '''<math>w_1 = \cos \tfrac{3\pi}{2} + i\sin \tfrac{3\pi}{2} = -\tfrac{1}{\sqrt{2}}- i\tfrac{1}{\sqrt{2}} </math>'''
Pierwiastki te są leżą po przeciwnych stronach początku układu współrzędnych.

'''Przykład 2: Pierwiastki 2-go stopnia z -1'''

Niech będzie dana liczba <math>z = -1.</math> W dziedzinie liczb rzeczywistych nie istnieje pierwiastek algebraiczny z liczby ujemnej stopnia parzystego.  '''Jednak w dziedzinie liczb zespolonych liczba -1 jest liczbą o zerowej części urojonej i ma de facto postać''' <math>z = -1+0\cdot i </math>. Mamy więc moduł <math>|z| = 1</math>, argument główny  <math>\phi = \pi</math>, stąd postać trygonometryczna <math>z=-1 = \cos \pi + i\sin \pi.</math>

Z wzoru Moivre'a mamy pierwiastki 2-go stopnia z <math>z=-1</math>
: <math>w_0 = \cos \tfrac{\pi}{2} + i\sin \tfrac{\pi}{2} = i </math>
: <math>w_1 = \cos \tfrac{3\pi}{2} + i\sin \tfrac{3\pi}{2} = -i</math>
W dziedzinie zespolonej istnieją wiec dwa pierwiastki kwadratowe z <math>z = -1: +i, -i.</math> (Każda liczba zespolona jest punktem <u>na płaszczyźnie</u>, w tym -1, sytuacja jest więc inna, niż w przypadku obliczania pierwiastków w dziedzinie rzeczywistej, gdzie liczby są punktami <u>na prostej</u>).
[[File:NegativeOne3Root.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:NegativeOne3Root.svg|mały|Trzy pierwiastki zespolone 3-go stopnia dla <math>z=-1</math>]]
'''Przykład 3:  Pierwiastki 3-go stopnia z -1'''

Aby obliczyć pierwiastki 3-go stopnia korzystamy z postaci trygonometrycznej <math>z=-1 = \cos \pi + i\sin \pi</math> oraz wzoru Moivre'a:
: <math>w_0 = \cos \tfrac{\pi}{3} + i\sin \tfrac{\pi}{3} =\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2} </math>
: <math>w_1 = \cos \tfrac{3\pi}{3} + i\sin \tfrac{3\pi}{3}=-1 </math>
: <math>w_2 = \cos \tfrac{4\pi}{3} + i\sin \tfrac{4\pi}{3}=\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2} </math>
Przykłady powyższe ilustrują ogólna prawidłowość, iż każda liczba zespolona <math>z </math> ma <math>n </math> pierwiastków <math>n </math>-tego stopnia - w tym liczby zespolone czysto rzeczywiste, które nie mają pierwiastków algebraicznych w dziedzinie liczb rzeczywistych.

== Twierdzenia - pierwiastki zespolone. Subtelność funkcji wielowartościowych ==
W dziedzinie pierwiastków zespolonych obowiązują te same twierdzenia, co w dziedzinie liczb rzeczywistych, ale posługiwanie się nimi wymaga uwagi ze względu na wielowartościowość pierwiastków zespolonych. Np. zakładając słuszność twierdzenia <math>\sqrt[n]{z_1\cdot z_2} \ = \sqrt[n] z_1 \sqrt[n] z_2 </math> otrzymamy  
: <math>\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot -1} </math>
Ale 
: <math>\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1} = i \cdot i = i^2 = -1 </math>
zaś
: <math>\sqrt{-1 \cdot -1}=\sqrt{1}=1 </math>
– czyli sprzeczność. Sprzeczność wynika stąd, że w obliczeniach nie uwzględniono faktu, iż pierwiastki kwadratowe z liczb <math>\sqrt{-1} </math> oraz <math>\sqrt{1} </math> w dziedzinie liczb zespolonych mają po dwie wartości:
: <math>\sqrt{-1} = \begin{cases}
+i \\
-i
\end{cases}
\quad</math>      oraz <math>\quad \sqrt{1} = \begin{cases}
+1 \\
-1
\end{cases}</math>
Wtedy mamy:
: <math>\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1} =  \begin{cases}
i\cdot i =-1\\
\text{lub} \\
i\cdot(-i)=1
\end{cases}
\quad </math> 
czyli dostajemy dwa wyniki, identyczne jak dla pierwiastka z 1.

== Historia ==
Początki symbolu pierwiastka √ są dość niejasne. Niektóre źródła{{fakt|data=2010-04}} podają, że symbol został wprowadzony przez [[Arabowie|Arabów]], a po raz pierwszy został on użyty przez [[Abu al-Hasan ibn Ali al-Kalasadi|Abū al-Hasana ibn Alīego al-Qalasādīego]] (1421–1486) i został wyprowadzony z [[alfabet arabski|arabskiej]] litery ''ج'', pierwszej litery słowa ''جذر'' (''dżazr'') oznaczającego „korzeń”. Wielu, w tym [[Leonhard Euler]]<ref>{{cytuj książkę |autor = Leonhard Euler |tytuł = Institutiones calculi differentialis |rok = 1755 |język = la}}</ref> sądziło, że pochodzi on od [[litera|litery]] ''r'', pierwszej litery [[łacina|łacińskiego]] słowa ''radix'' (również oznaczającego „korzeń”), które oznacza to samo [[działanie algebraiczne|działanie matematyczne]].

Nieużywany w [[Język polski|języku polskim]] termin ''surd'', traktowany niekiedy jako nazwa symbolu √<ref name="Kartezjusz" />, pochodzi z czasów [[Muhammad ibn Musa al-Chuwarizmi|al-Khwārizmīego]] (ok. 825), który liczby wymierne i niewymierne nazywał odpowiednio „słyszalnymi” i „niesłyszalnymi”. W związku z tym arabskie ''assam'' („głuchy, głupi”) oznaczające liczbę niewymierną było później tłumaczone na łacinę jako ''surdus'' („głuchoniemy”). [[Gerard z Cremony]] (ok. 1150), [[Fibonacci]] (1202), a potem [[Robert Recorde]] (1551) używali tego terminu w odniesieniu do nierozwiązanych pierwiastków niewymiernych<ref>{{cytuj stronę |url = http://jeff560.tripod.com/s.html |tytuł = Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics |opublikowany = Mathematics Pages by Jeff Miller |data dostępu = 2008-11-30}}</ref>.

Symbolu √ użyto po raz pierwszy w druku bez ''[[vinculum (symbol)|vinculum]]'' (poziomej kreski nad liczbami wewnątrz symbolu pierwiastka) w 1525 roku w ''Die Coss'' autorstwa [[Niemcy (naród)|niemieckiego]] matematyka [[Christoff Rudolff|Christoffa Rudolffa]]. ''Vinculum'' wprowadził [[René Descartes|Kartezjusz]] w ''[[Geometria (Kartezjusz)|Geometrii]]'' (1637) do zaznaczania, jakie [[wyrażenie algebraiczne]] podlega pierwiastkowaniu<ref name="Kartezjusz">{{cytuj książkę |autor = Kartezjusz |autor link = Kartezjusz |tytuł = Geometria |inni = Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka (tłum., komentarz) |wydawca = TAiWPN UNIWERSITAS |miejsce = Kraków |rok = 2015 |isbn = 978-83-242-2759-4 |strony = 12, 15, 166, 299}}</ref>.

Stosowana przez Kartezjusza notacja dla pierwiastków stopnia wyższego niż dwa nie przyjęła się (np. <math>\sqrt[3]x</math> Kartezjusz zapisywał jako <math>\sqrt{C. x}</math><ref group="uwaga"><math>C</math> od [[łacina|łac.]] ''cube'', sześcian; zob. ''[[#Definicja|Definicja]]''.</ref>)<ref name="Kartezjusz" />. Współczesną notację stopnia pierwiastka zaproponował [[Albert Girard]] w pracy z 1629 roku; utrwaliła się ona w pierwszej połowie XVIII w.<ref>{{cytuj książkę |autor = A.P. Juszkiewicz |tytuł = Historia matematyki. Matematyka XVII stulecia |rok = 1976 |tom = 2 |strony = 46 |język = pl}}</ref>

== Typografia ==
Niżej przedstawiono kody znaków symboli pierwiastka. W notacji angielskiej znak pierwiastka występuje bez wiążącej kreski górnej<ref>{{cytuj książkę |tytuł = Oxford Advanced Learner’s Dictionary of Current English |wydawca = Oxford University Press/PWN |miejsce = Warszawa |rok = 1988 |strony = 737 |tom = 2 |tytuł tomu = L-Z |isbn = 83-01-02448-8}}</ref>.
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
!rowspan="2"| Znak
!rowspan="2"| Nazwa polska<ref group="uwaga">Nazwy polskie zaczerpnięte lub utworzone na podstawie Robert Bringhurst, ''Elementarz stylu w typografii'' (Załącznik A), Design Plus, Kraków 2007.</ref>
!rowspan="2"| Nazwa unikodowa
!rowspan="2"| [[Unikod]]
!colspan="3"| Encja HTML
!rowspan="2"| [[Uniform Resource Locator|URL]]
|-
! dec
! hex
! name
|-
|style="font-size: 1.5em; line-height: 1em"| {{Unicode|√}}
|align="left"| pierwiastek kwadratowy
|align="left"| SQUARE ROOT
| U+221A || &amp;#8730; || &amp;#x221A;
| &amp;radic;
| %E2%88%9A
|-
|style="font-size: 1.5em; line-height: 1em"| {{Unicode|∛}}
|align="left"| pierwiastek sześcienny
|align="left"| CUBE ROOT
| U+221B || &amp;#8731; || &amp;#x221B;
| –
| %E2%88%9B
|-
|style="font-size: 1.5em; line-height: 1em"| {{Unicode|∜}}
|align="left"| pierwiastek czwartego stopnia
|align="left"| FOURTH ROOT
| U+221C || &amp;#8732; || &amp;#x221C;
| –
| %E2%88%9C
|-
|style="font-size: 1.5em; line-height: 1em"| {{Unicode|‾}}
|align="left"| kreska wiążąca górna
|align="left"| OVERLINE
| U+203E || &amp;#8254; || &amp;#x203E;
| &amp;oline;
| %E2%80%BE
|-
|style="font-size: 1.5em; line-height: 1em"| {{Unicode|‾}}
|align="left"| kreska wiążąca górna dostawna
|align="left"| COMBINING OVERLINE
| U+0305 || &amp;#0773; || &amp;#x0305;
| –
| %00%CC%85
|}

W [[LaTeX|LaTeX-u]]:
* pierwiastek <math>\sqrt x</math> zapisywany jest jako <code>\sqrt x</code>;
* pierwiastek <math>\sqrt[k] x</math> zapisywany jest jako <code>\sqrt[k] x</code>.

== Zobacz też ==
{{wikisłownik|pierwiastkowanie}}
* [[pierwiastek kwadratowy]]
* [[pierwiastek sześcienny]]
* [[Pierwiastek z jedynki|pierwiastki zespolone z jedynki]]
* [[Wzór de Moivre’a|wzór de Moivre'a]]
* [[algorytm obliczania pierwiastka n-tego stopnia|algorytm Newtona numerycznego obliczania pierwiastka n-tego stopnia]] (dla liczby rzeczywistej)
Inne:
* ''[[Pomoc:Wzory#Pierwiastki|Pomoc Wikipedii: Pierwiastki we wzorach matematycznych]] - nt. edycji wzorów za pomocą kodu''

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, ''Poradnik encyklopedyczny Matematyka'', PWN, Warszawa 2019, str. 578-579.
* T. Trajdos, ''Matematyka dla inżynierów'', PWN, Warszawa 1974, str. 412-416.

== Linki zewnętrzne ==
* {{Pismo Delta | url = 2018/02/pierwiastkowanie-pod-kreska/ | autor = Karol Gryszka | tytuł = Pierwiastkowanie pod kreską | data = luty 2018 | data dostępu = 2024-11-03 }}

{{Funkcje elementarne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Pierwiastkowanie| ]]
[[Kategoria:Funkcje potęgowe]]
[[Kategoria:Znaki typograficzne]]