Tekst źródłowy strony Pierwiastek sześcienny

[[File:Cube-root_function.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Cube-root_function.svg|mały|220x220px|Wykres funkcji <math>y=\sqrt[3]{x}</math>. Funkcja ta jest rosnąca w całym przedziale liczb rzeczywistych, dlatego każdej liczbie rzeczywistej <math>x</math> odpowiada dokładnie jedna liczba <math>y=\sqrt[3]{x}</math> będąca jej pierwiastkiem sześciennym. W szczególności pierwiastki z liczb ujemnych są liczbami ujemnymi.]]
'''Pierwiastkiem sześciennym''' [[liczba|liczby]] <math>x</math> jest taka liczba <math>y,</math> że <math>y^3 = x</math>. Pierwiastki sześcienne oznacza się symbolem <math>\sqrt[3]{x}</math> <ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN|id=3956913|tytuł=pierwiastek sześcienny|data dostępu=2023-08-27}}</ref>. Liczbę <math>x</math> nazywa się liczbą podpierwiastkową. Rozważa się pierwiastki sześcienne z [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] '''<math>R</math>''' oraz [[Liczby zespolone|zespolonych]] '''<math>C</math>'''. Pojęcie pierwiastkowania rozszerza się także na elementy dowolnych [[pierścień przemienny|pierścieni przemiennych]], przy czym pierwiastki (w tym sześcienne) definiuje się w analogiczny sposób, jak to zdefiniowane jest dla liczb. 

== Pierwiastki z liczb rzeczywistych ==
'''Liczby rzeczywiste mają zawsze pojedyncze pierwiastki sześcienne w dziedzinie liczb <math>R</math>'''. Tj. dla dowolnej liczby rzeczywistej <math>x</math> istnieje tylko jedna liczba rzeczywista <math>y,</math> taka, że <math>y=\sqrt[3]{x}</math>. 
[[Plik:X-3-cubic-function.svg|mały|352x352px|Wykres funkcji sześciennej <math>y = x^3</math>. Jest to funkcja rosnąca w dziedzinie liczb rzeczywistych - dlatego jest [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcją]].]]
Jest tak dlatego, że [[Sześcian (algebra)|funkcja sześcienna]] <math>y = x^3</math>, do której funkcja pierwiastka sześciennego jest  [[Funkcja odwrotna|odwrotna]], jest rosnąca w całym zakresie liczb rzeczywistych i dla dwóch różnych wartości <math>x</math> daje różne wyniki <math>y = x^3</math>. Innymi słowy, funkcja sześcienna jest [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcją]] (odwzorowuje zbiór liczb rzeczywistych na zbiór liczb rzeczywistych w relacji 1 do 1). Dlatego też można zdefiniować funkcję odwrotną, która każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje unikalny pierwiastek sześcienny. 

Pierwiastek sześcienny w dziedzinie liczb rzeczywistych z liczby dodatniej jest liczbą dodatnią, a z liczby ujemnej jest liczbą ujemną, np.  <math>\sqrt[3]{8}=2</math>, gdyż <math>2^3=8</math>; <math>\sqrt[3]{-8}=-2</math>, gdyż <math>(-2)^3=-8</math>.

== Twierdzenia ==
* Pierwiastek sześcienny z [[liczby naturalne]]j jest liczbą naturalną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba pierwiastkowana jest [[Potęgowanie|sześcianem]] liczby naturalnej{{odn|Sierpiński|1968|s=244}}. Na przykład <math>\sqrt[3]{2}</math> jest [[liczby niewymierne|liczbą niewymierną]].
* W twierdzeniu powyższym liczby naturalne można zastąpić [[liczby całkowite|liczbami całkowitymi]].
* Pierwiastek sześcienny z liczby wymiernej jest liczbą wymierną wtedy i tylko wtedy, gdy liczba podpierwiastkowa jest sześcianem liczby wymiernej.
* Dla każdej liczby rzeczywistej <math>x</math> istnieje dokładnie jeden rzeczywisty pierwiastek sześcienny z <math>x.</math> Wynika to z tego, że funkcja
: <math>f(x) = x^3</math> dla <math>x \in \mathbb{R}</math>
: jest [[funkcja ciągła|ciągłą]] funkcją [[funkcja monotoniczna|rosnącą]] oraz <math>\lim_{x \to \infty} x^3 = \infty</math> oraz <math>\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty.</math>
: Z wartości granic na podstawie [[Twierdzenie Darboux|twierdzenia Darboux]] wynika wtedy, że funkcja ta przekształca zbiór <math>\mathbb{R}</math> [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] na <math>\mathbb{R},</math> a z monotoniczności wynika jej różnowartościowość. Dlatego dla każdej liczby <math>a \in \mathbb{R}</math> istnieje dokładnie jedna liczba <math>b = f^{-1}(a) \in \mathbb{R}.</math> Liczba <math>b</math> jest pierwiastkiem sześciennym z <math>a.</math>

== Tożsamości - pierwiastek sześcienny z liczb rzeczywistych ==
Z definicji pierwiastka sześciennego i definicji potęgi wynika tożsamość (por. [[Potęgowanie]])
: <math>\sqrt[3]{x}\equiv x^{{1}/{3}}</math>

Z własności potęgowania wynikają następujące tożsamości:
* <math>\sqrt[3] {x^m} = \left(\sqrt[3] x\right)^m = \left(x^{1/3}\right)^m = x^{m/3}</math>
* <math>\left( \sqrt[3]{x} \right)^3=x,</math>
* <math>\left( x^{{1}/{3}} \right)^3=x^{{3}/{3}}=x.</math>
* <math>\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}</math> - pierwiastek sześcienny z [[Liczba przeciwna|liczby przeciwnej]] (szczególny przypadek tożsamości podanej niżej)
* <math>\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3] x \sqrt[3] y,</math>
* <math>\sqrt[3]{x/y} = \frac{\sqrt[3] x}{\sqrt[3] y}</math> dla <math>y \ne 0.</math>

Tożsamości dla sumy i różnicy pierwiastków sześciennych:
* <math>\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a+b+3\sqrt[3]{a^2 b}+3\sqrt[3]{ab^2}} = \frac{a + b}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}},</math>
* <math>\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a-b-3\sqrt[3]{a^2 b}+3\sqrt[3]{ab^2}}.</math>

== Pierwiastki z liczb zespolonych ==
'''Liczby zespolone mają zawsze trzy pierwiastki sześcienne'''. Gdy liczba zespolona redukuje się do liczby rzeczywistej (tj. ma tylko niezerową część rzeczywistą, a zerową część urojona), to i tak liczba ta ma trzy pierwiastki '''w dziedzinie [[Liczby zespolone|liczb zespolonych]] <math>C</math>''': jeden rzeczywisty pierwiastek sześcienny oraz parę zespolonych, [[Sprzężenie zespolone|sprzężonych]] pierwiastków sześciennych; natomiast liczby zespolone o niezerowej części urojonej mają trzy różne zespolone pierwiastki sześcienne (por. wykresy pierwiastków zespolonych liczb <math>z=1</math> oraz <math>z  = 1+i</math>). Na [[Płaszczyzna zespolona|płaszczyźnie zespolonej]] pierwiastki sześcienne liczby <math>z=|z|\cdot e^{i\phi}</math>  znajdują się na wierzchołkach trójkąta równoramiennego, obróconego o kat <math>\phi / 3</math> względem osi rzeczywistej, gdzie <math>\phi </math> - argument danej liczby <math>z</math> (por. poniżej).[[Plik:One3Root.svg|thumb|200px|Trzy pierwiastki sześcienne z liczby 1: 1 oraz dwa wzajemnie sprzężone.]]

=== Wzory na obliczanie pierwiastków zespolonych ===
Jeżeli liczbę zespoloną zapisze się w [[Liczby zespolone|postaci wykładniczej]]  

: <math>z  = |z|\cdot e^{i\phi}</math>,

to jej trzy pierwiastki sześcienne oblicza się ze [[wzór de Moivre’a|wzoru de Moivre’a]]{{odn|Trajdos|1993|s=69}}

: <math>t_k\equiv\sqrt[3]{z}_{(k)}  = \sqrt[3]{|z|}\cdot e^{i(\phi+2\pi\cdot k)/3} , \ k\in\{0,1,2\}</math>

Równoważny zapis (korzystający z [[Liczby zespolone|postaci trygonometrycznej]] liczby zespolonej){{odn|Trajdos|1993|s=70}}
: <math>t_k\equiv\sqrt[3]{z}_{(k)}   = 
\sqrt[3]{|z|}\cdot
 \big[\cos \big(\tfrac{\varphi+2k\pi}{3}\big) +i\sin \big(\tfrac{\varphi+2k\pi}{3}\big) \big], \quad k\in\{0,1, 2\}</math>

=== Pierwiastki sześcienne z jedynki a pierwiastki dowolnej liczby ===
Dla liczby 1 moduł i argument wynoszą odpowiednio <math>|z|=1, \phi = 0. </math> Licząc ze wzoru de Moivre'a pierwiastki sześcienne otrzymamy:
: <math>\sqrt[3]{1} = \begin{cases}

e^{i\frac{2\pi}{3} \cdot 0} = 1 \\
e^{i\frac{2\pi}{3} \cdot 1} 
=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}
= \frac{-1 + i\sqrt 3}{2}
\\
e^{i\frac{2\pi}{3} \cdot 2} = -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}
= \frac{-1 - i\sqrt 3}{2}
\end{cases}</math>
:
Z wzoru de Moivre'a wynika, że dla dowolnej liczby zespolonej <math>z </math> jej pierwiastki sześcienne dane są wzorami:  
: <math>t_0 = \sqrt[3]{|z|}\cdot e^{i(\phi+2\pi\cdot 0)/3}
= \sqrt[3]{|z|}\cdot e^{i\phi/3}</math>
: <math>t_1= \sqrt[3]{|z|}\cdot e^{i(\phi+2\pi\cdot 1)/3} 
= \sqrt[3]{|z|}\cdot e^{i\phi/3}e^{i2\pi /3} 
= t_0 e^{i2\pi /3}  </math>
: <math>t_2= \sqrt[3]{|z|}\cdot e^{i(\phi+2\pi\cdot 2)/3} 
= \sqrt[3]{|z|}\cdot e^{i\phi /3}e^{i4\pi /3}
= t_0 e^{i4\pi /3}
</math>
Wynika stąd, że pierwiastki <math>t_1 </math> oraz <math>t_2</math> można otrzymać mnożąc pierwiastek <math>t_0</math> przez drugi i trzeci pierwiastek z jedynki, tj. 
: <math>t_1 = e^{i\frac{2\pi}{3} }t_0
= \frac{-1 + i\sqrt 3}{2} t_0 </math>
: <math>t_2 = e^{i\frac{4\pi}{3} }t_0
=  \frac{-1 - i\sqrt 3}{2} t_0</math>
Jeżeli oznaczymy

: <math>\omega = e^{i\frac{2\pi}{3} }\equiv \tfrac{-1 + i\sqrt 3}{2}</math>

Wtedy 

: <math>\omega^2=\tfrac{-1 - i\sqrt 3}{2}
</math>

W ogólności pierwiastki sześcienne dowolnej liczby <math>z
</math> można zapisać w zwartej formule:
: <math>\sqrt[3]{z} = \begin{cases}

t_0 \\
t_1= t_0 \cdot \omega
\\
t_2=t_0 \cdot \omega^2
\end{cases}</math>
gdzie <math>t_0</math> oznacza tu '''dowolny''' z trzech pierwiastków zespolonych danej liczby. 

Wzór ten oznacza, że pozostałe pierwiastki otrzymuje się przez mnożenie danego pierwiastka przez pierwiastek z jedynki <math>\omega 
</math>  i jego kwadrat <math>\omega^2 
</math>. Na płaszczyźnie zespolonej odpowiada to obrotowi [[Wektor wodzący|wektora wodzącego]] punktu, wyznaczającego położenie pierwiastka <math>t_0</math>, o kąty <math>2\pi/3=120^0, 
4\pi/3=240^0.

</math>

=== Pierwiastki zespolone liczb rzeczywistych i problem zmiany numeracji ===
[[Plik:Roots3 i.png|mały|197x197px|Pierwiastki sześcienne z liczby zespolonej są liczbami, którym na płaszczyźnie zespolonej odpowiadają wektory, obrócone wzajemnie o kąt <math>120^0.

</math> Tu pokazano pierwiastki liczby <math>1+i

</math>.]]
Pierwiastki obliczone wg wzoru de Moivre'a dla liczby <math>z=-8</math> mają wartości (moduł i argument wynoszą odpowiednio <math>|z|=8, \phi = \pi</math>):
: <math>t_0  = \sqrt[3]{|z|}\cdot e^{i\phi/3}
= 2\cdot e^{i\pi/3}
=1+i\sqrt 3</math>
: <math>t_1= -2 </math>
: <math>t_2 = 1-i\sqrt 3</math>.
Gdyby jednak jako wartość startową przyjąć  <math>t_{0'}=\sqrt[3]x</math>  czyli wartość pierwiastka rzeczywistego (tj. zdefiniowanego w dziedzinie liczb rzeczywistych), to np. dla liczby <math>x=-8</math> mielibyśmy wg wyżej podanej reguły następującą kolejność pierwiastków: 
: <math>t_{0'}=\sqrt[3]{-8}=-2</math>
: <math>t_{1'}=-2\cdot \tfrac{-1+i\sqrt 3}{2}= 1-i\sqrt 3</math>
: <math>t_{2'}=-2\cdot\tfrac{-1-i\sqrt 3}{2}=1+i\sqrt 3</math>
czyli pierwiastek zerowy wg wzoru de Moivre'a stałby się ostatnim wg drugiej reguły obliczeń, itd. Kolejność numeracji pierwiastków w obliczeniach może być istotna. Stąd m.in. powstała potrzeba definicji pierwiastka głównego, co omówiono niżej.

=== Pierwiastek zespolony główny ===
Skoro w dziedzinie liczb zespolonych pierwiastek ma wiele wartości (w tym trzy dla pierwiastka sześciennego), to wprowadza się pojęcie tzw. '''pierwiastka głównego''', który definiuje się jako pierwiastek, który ma największą [[wartość bezwzględna]] części rzeczywistej, lub - równoważnie - jako mający najmniejszą wartość bezwzględną [[Argument liczby zespolonej|argumentu]], tj. jeżeli liczbę zespoloną przedstawi się w postaci wykładniczej{{odn|Trajdos|1993|s=70}}  

: <math>z = |z| \cdot e^{i \phi}\,</math>,

przyjmując <math>\phi\in (-\pi, \pi></math> , to pierwiastek główny wynosi

: <math>\sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{|z|} \cdot e^{ \phi/3 }</math>

Pierwiastek główny jest więc pierwiastkiem o numerze 0 wg wzoru de Moivre'a, gdy ustali się fazę liczby zespolonej w przedziale <math>\phi\in (-\pi, \pi></math>. 

Konsekwencją takiej definicji jest, że pierwiastek główny jest dla liczb ujemnych liczbą zespoloną; np. dla liczby <math>-8</math> jest równy <math>1+i\sqrt 3</math>, a nie <math>-2</math>,  czyli pierwiastek główny sześcienny w dziedzinie liczb zespolonych jest różny od pierwiastka sześciennego w zbiorze liczb rzeczywistych. (Dla liczb dodatnich pierwiastek główny jest identyczny z pierwiastkiem arytmetycznym.)  

=== Pierwiastek sześcienny na powierzchni Riemanna ===
Ponieważ pierwiastek z liczby zespolonej <math>z</math> ma wiele wartości, to nie da się bezpośrednio utworzyć funkcji, która jednoznacznie przyporządkowuje liczbie zespolonej pierwiastek sześcienny  <math>f: z \to t:  \ t = \sqrt[3]{z}</math>. Tę trudność można rozwiązać rozważając [[Multifunkcja|funkcje wielowartościowe]], pisząc wyjściową liczbą zespoloną w trzech postaciach

: <math>z = \begin{cases} |z| e^{ i \phi} \\[3px] |z| e^{i (\phi + 2\pi) }  \\[3px] |z| e^{i (\phi - 2\pi)} \end{cases} </math>

Wtedy pierwiastki główne tych trzech postaci mają wartości (por. pierwiastkowanie liczb zespolonych - Wzór de Moivre’a): 

: <math>t=\sqrt[3]{z} = \begin{cases} 
\sqrt[3]{|z|} e^{ i \phi/3} 
\\
\sqrt[3]{|z|} e^{i (\phi+ 2\pi)/3 }  
\\
\sqrt[3]{|z|} e^{i (\phi- 2\pi)/3} 

\end{cases}</math>[[File:Complex_cube_root.jpg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Complex_cube_root.jpg|prawo|mały|350x350px|Trzy części powierzchni Riemanna, na których umieszcza się poszczególne trzy pierwiastki sześcienne w zbiorze liczb zespolonych; pierwszy obrazek pokazuje główną część, na której umieszczone są pierwiastki główne, zdefiniowane w tym artykule.]]

Teoretycznie uzasadnia się to  budując za pomocą [[Przedłużenie analityczne|przedłużenia analitycznego]] [[powierzchnia Riemanna|powierzchnię Riemanna]], na której można określić pierwiastek sześcienny jako funkcję. Powierzchnię tę można sobie wyobrazić jako trzy egzemplarze [[płaszczyzna zespolona|płaszczyzny zespolonej]] z usuniętym punktem 0 i rozcięciem wzdłuż półprostych wychodzących z punktu 0 i połączone z sobą tak, jak jest to pokazane na rysunku. 

Różne języki obliczeniowe przyjmują stosowne definicje pierwiastków głównych.

== Pierwiastek sześcienny w algebrze ==
Z algebraicznego punktu widzenia pierwiastkiem sześciennym jest dowolne rozwiązanie [[równanie|równania]] <math>x^3 - a = 0</math> zmiennej <math>x</math> (czyli pierwiastek [[wielomian]]u <math>x^3 - a</math>). Równania takie można rozpatrywać nad dowolnym [[pierścień przemienny|pierścieniem przemiennym]], analogicznie jak w dziedzinie liczb rzeczywistych i zespolonych.

== Metoda iteracyjna Newtona ==
[[Plik:JK_2024.06_Metoda_Newtona_-_Pierwiastek_szescienny_2._png.png|alt=JK 2024.06 Metoda Newtona - Pierwiastek szescienny 2. png|prawo|349x349px]]
[[Metoda Newtona]] jest [[Algorytm iteracyjny|metodą iteracyjną]], którą można użyć do obliczania pierwiastka sześciennego w dziedzinie liczb R. W zerowym kroku zadaje się wartość startową <math>x_0</math> (np.<math>x_0=a</math>), w kolejnych krokach oblicza się coraz lepsze przybliżenia pierwiastka sześciennego z liczby <math>a</math>, przy czym :
: <math>x_{n+1} = \frac{1}{3} \left(\frac{a}{x_n^2} + 2x_n\right), \ \ n=0, 1, 2, \dots</math>
Obok pokazano kolejne przybliżenia obliczeń pierwiastka sześciennego z liczby <math>a=2</math>, zaczynając od wartości początkowej <math>x_0=70</math> (bardzo dalekiej od wartości dokładnej); pomimo tego już w 14-tym kroku uzyskano wynik <math>\sqrt[3]{2}=1.2599210498948732</math> z dokładnością do <math>10^{-10}</math>. Pokazuje to, jak skuteczna jest to metoda. 

== O potrzebie odróżniania dziedzin R i C w obliczeniach ==
Dana liczba ma jedną wartość pierwiastka sześciennego w dziedzinie liczb rzeczywistych (jeżeli pierwiastek istnieje), ale trzy wartości pierwiastka w dziedzinie liczb zespolonych. Jest to istotne rozróżnienie, gdyż np. liczenie numeryczne pierwiastków może prowadzić do błędów, jeżeli zamiast pierwiastka w dziedzinie liczb rzeczywistych zostanie przyjęty jako wynik jeden z pierwiastków z dziedziny liczb zespolonych. (Patrz np. omówienie problemu liczenia pierwiastków [[Równanie sześcienne|równania sześciennego]] wg wzorów Cardana). Ta sama uwaga dotyczy liczenia pierwiastków wyższych stopni: w dziedzinie liczb zespolonych pierwiastek ''n''-tego stopnia ma ''n'' różnych wartości dla danej liczby. 

=== Liczenie pierwiastków sześciennych w językach programowania ===
W obliczeniach numerycznych konieczna jest uwaga: czy zastosowana procedura danego [[Język programowania|języka programowania]] liczy np. pierwiastek sześcienny główny w dziedzinie zespolonej czy pierwiastek w dziedzinie rzeczywistej. Przykładowo: w [[Python|języku Python]] do liczenie <u>pierwiastków rzeczywistych</u> 3-go stopnia z liczby m nie należy używać funkcji ''cmath.pow(m, 1/3)'' z biblioteki ''cmath'' lub instrukcji ''m**(1/3)'' , gdyż dla liczb ujemnych otrzyma się jako wynik <u>główny pierwiastek zespolony</u> (wg wyżej podanej definicji), a nie pierwiastek sześcienny w dziedzinie liczb rzeczywistych (np. dla <math>-8</math> zamiast <math>-2</math> otrzyma się liczbę <math>\approx 1+1.732j</math> ), co prowadzi do błędnych wyników. W Python można zaś użyć <u>funkcji '''cbrt'''</u> (''cubic root'') z biblioteki numpy, co daje poprawnie liczbę rzeczywistą lub napisać własny, krótki kod:        <syntaxhighlight lang="python" line="1">
if m>0: u=m**(1/3)
else: u=-(-m)**(1/3)
</syntaxhighlight>[[Plik:Riemann surface cube root.jpg|thumb|355x355px|[[Powierzchnia Riemanna]], skonstruowana dla umieszczenia na niej wartości funkcji zespolonego pierwiastka sześciennego <math>t= z^{1/3}</math>.]]

== Dodatek: Obliczanie pierwiastka sześciennego prymitywnym kalkulatorem ==
Korzystając z zależności<ref group="uwaga">'''Dowód tożsamości'''

Aby obliczyć prawą stronę tożsamości należy wyznaczyć wartość iloczynu nieskończonego

:<math>\left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right) \left(1 + \frac{1}{2^8}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{16}}\right) \dots =
\left(1 + \frac{1}{4^1}\right) \left(1 + \frac{1}{4^2}\right) \left(1 + \frac{1}{4^4}\right) \left(1 + \frac{1}{4^8}\right) \dots</math>

podstawiamy <math>\tfrac{1}{4} = q</math> i uzyskujemy

:<math>(1 + q) (1 + q^2) (1 + q^4) (1 + q^8) \dots</math>

Przeliczamy rekurencyjnie kolejne iloczyny:

:<math>(1 + q + q^2 + q^3) (1 + q^4) (1 + q^8) \dots = (1 + q + q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + q^6 + q^7) (1 + q^8) \dots = \sum\limits_{i=0}^\infty 1 \cdot q^i</math>

W wyniku uzyskujemu nieskończony [[szereg geometryczny]], który jest [[Granica ciągu|zbieżny]] <math>(|q|<1),</math> zaś jego sumę obliczamy

:<math>\sum_{n=0}^\infty a_0 q^n = \frac{a_0}{1-q}  = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}</math>

Po uwzględnieniu pierwszego czynnika w zadanej tożsamości otrzymujemy

:<math>\frac{1}{2^2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3}</math>
[[Q.e.d.]]</ref>
: <math>\frac{1}{3} = \frac{1}{2^2} \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right) \left(1 + \frac{1}{2^8}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{16}}\right) \dots</math>

można zastosować następujący [[algorytm]] obliczania pierwiastka sześciennego dysponując kalkulatorem wyposażonym w klawisz do obliczania tylko pierwiastka kwadratowego i mnożenia, rozpoczynając go po uzyskaniu na wyświetlaczu liczby, z której chcemy obliczyć pierwiastek sześcienny.
* Wykonaj ''jeden raz'' pierwiastkowanie.
* Wykonaj mnożenie.
* Wykonaj ''dwa razy'' pierwiastkowanie.
* Wykonaj mnożenie.
* Wykonaj ''cztery razy'' pierwiastkowanie.
* Wykonaj mnożenie.
* Wykonaj ''osiem razy'' pierwiastkowanie.
* Wykonaj mnożenie....

Proces należy kontynuować, aż liczba przestanie się zmieniać po naciśnięciu klawisza mnożenia, ponieważ powtarzana operacja pierwiastkowania wynosi 1 (co oznacza, że rozwiązanie zostało osiągnięte z największą dokładnością jaką ten kalkulator mógł osiągnąć). A następnie:
* Naciśnij ''ostatni raz'' klawisz pierwiastkowania.

W tym momencie na wyświetlaczu pojawi się przybliżona wartość pierwiastka sześciennego.

=== Objaśnienie metody ===
Podnosząc <math>x</math> do potęgi po obu stronach tożsamości powyżej otrzymujemy:
: <math>x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2^2} \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right) \left(1 + \frac{1}{2^8}\right) \left(1 + \frac{1}{2^{16}}\right) \dots}.</math> (*)

Z lewej strony równania mamy pierwiastek sześcienny z <math>x.</math>

Po 2, 4, 6, 8, ... krokach obliczeń przybliżenia wartości pierwiastka sześciennego wynoszą : 

<math>x^{\frac{1}{3}} \approx</math> <math>x^{\frac{1}{2}}</math>, <math>x^{\frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2^2}\right)}</math>, <math>x^{\frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right)}</math>, <math>x^{\frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2^4}\right) \left(1 + \frac{1}{2^8}\right)}</math>, itd.

Im więcej kroków zrobi się, tym lepsze przybliżenie.

=== Metoda alternatywna ===
Powyższa metoda wymaga aby kalkulator był wyposażony w funkcję pierwiastka kwadratowego. Dysponując prostą metodą obliczania pierwiastka kwadratowego następujące wyrażenie jest szybko zbieżne do wyniku:
: <math>x_{i+1} = \tfrac{4}{3}\sqrt[4]{a x_i} - \tfrac{1}{3}x_i.</math>

Gdzie z każdą iteracją wynik jest zbieżny do pierwiastka sześciennego z <math>a.</math>

Ta metoda wymaga mniej [[Iteracja|iteracji]] niż metoda Halleya, ale wymaga więcej obliczeń, ukrytych w wyznaczeniu pierwiastków kwadratowych. Z uwagi na szybką zbieżność, początkowe przybliżenie wartością 1 jest wystarczające.

== Przykładowe wartości ==
: <math>\begin{align}
\sqrt[3]{1} &= 1                                        &\sqrt[3]{11} \approx 2{,}2239800905 6931552116 53633... \\
\sqrt[3]{2} &\approx 1{,}2599210498 9487316476 72106... &\sqrt[3]{12} \approx 2{,}2894284851 0666373561 60844... \\
\sqrt[3]{3} &\approx 1{,}4422495703 0740838232 16383... &\sqrt[3]{13} \approx 2{,}3513346877 2075748950 00163... \\
\sqrt[3]{4} &\approx 1{,}5874010519 6819947475 17056... &\sqrt[3]{14} \approx 2{,}4101422641 7522998612 83696... \\
\sqrt[3]{5} &\approx 1{,}7099759466 7669698935 31088... &\sqrt[3]{15} \approx 2{,}4662120743 3047010149 16113... \\
\sqrt[3]{6} &\approx 1{,}8171205928 3213965889 12117... &\sqrt[3]{16} \approx 2{,}5198420997 8974632953 44212... \\
\sqrt[3]{7} &\approx 1{,}9129311827 7238910119 91168... &\sqrt[3]{17} \approx 2{,}5712815906 5823535545 31872... \\
\sqrt[3]{8} &= 2                                        &\sqrt[3]{18} \approx 2{,}6207413942 0889660714 16612... \\
\sqrt[3]{9} &\approx 2{,}0800838230 5190411453 00568... &\sqrt[3]{19} \approx 2{,}6684016487 2194486733 96273... \\
\sqrt[3]{10}&\approx 2{,}1544346900 3188372175 92935... &\sqrt[3]{20} \approx 2{,}7144176165 9490657151 80894...
\end{align}</math>
== Historia ==
[[File:01-Würfelverdoppelung-4.svg|thumb|upright=1.3|Sześcian jednostkowy i sześcian z podwojoną objętością, który ma krawędź <math>\sqrt[3]{2}</math> = 1.259921049894.... razy dłuższą.]]
Na temat obliczania pierwiastków sześciennych można znaleźć wzmianki u {{link-interwiki|Babylonian mathematics|Q=Q787931|tekst=matematyków babilońskich}} z 1800 r. B.C.<ref name="cbgr">{{Cytuj | url = https://archive.org/details/isbn_9780300050318 | tytuł = Civilization Before Greece and Rome | wydawca = Yale University Press | data = 1989 | autor = H. W. F. Saggs | isbn = 978-0-300-05031-8 <!-- nieprzetłumaczone parametry: | page = [https://archive.org/details/isbn_9780300050318/page/227 227] | url-access = registration -->}}</ref>  W IV wieku B.C. [[Platon]] postawił problem [[Podwojenie sześcianu|podwojenia objętości sześcianu]] za pomocą [[Konstrukcje klasyczne|klasycznej konstrukcji]] (tj. z użyciem cyrkla i linijki), co wymaga wyznaczenia długości krawędzi nowego sześcianu o długości <math>\sqrt[3]{2}</math> raza większej od krawędzi pierwotnego sześcianu (obecnie wiadomo, że konstrukcja taka jest niemożliwa). Metoda wyodrębniania pierwiastków sześciennych pojawiła się następnie w dziele {{link-interwiki|The Nine Chapters on the Mathematical Art|Q=Q657057|tekst=''Dziewięć rozdziałów o sztuce matematycznej 九章算术''}}, {{link-interwiki|Chinese mathematics|Q=Q540129|tekst=chińskim}} tekście matematycznym skompilowanym około II w. B.C.<ref name="oxf">{{Cytuj | url = https://books.google.com/books?id=eiTJHRGTG6YC&pg=PA213 | tytuł = The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary | wydawca = Oxford University Press | data = 1999 | autor = John Crossley; Anthony W.-C. Lun | isbn = 978-0-19-853936-0 <!-- nieprzetłumaczone parametry: | page = 213 -->}}</ref>  {{link-interwiki|Greek mathematics|Q=Q58413|tekst=Grecki matematyk}} [[Heron z Aleksandrii]] opracował metodę obliczania pierwiastków sześciennych w pierwszym wieku naszej ery. Jego formuła została ponownie wspomniana przez [[Eutokios|Eutokiosa]] w komentarzu do [[Archimedes|Archimedesa]].<ref>{{Cytuj | tytuł = Heron's Formula for Cube Root | wydawca = Trinity College Dublin | data = 1920 | autor = J. Gilbart Smyly | czasopismo = Hermathena | s = 64–67 | wolumin = 19 | wydanie = 42 <!-- nieprzetłumaczone parametry: | jstor = 23037103 -->}}</ref> W [[499]] n.e [[Arjabhata|Aryabhata]] opisał metodę znajdowania pierwiastków sześciennych z liczb wielocyfrowych w swoim dziele ''[[Aryabhatiya]]'' (rozdział 2.5)<ref>''[https://archive.is/20110815204559/http://www.flipkart.com/aryabhatiya-mohan-apte-book-8174344802 Aryabhatiya] {{lang|mr}}'', Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p. 62, {{ISBN|978-81-7434-480-9}}.</ref>.

== Zobacz też ==
* [[pierwiastkowanie]]
* [[pierwiastek kwadratowy]]
* [[pierwiastek z jedynki]]
* [[podwojenie sześcianu]]
* [[Wzór de Moivre’a|pierwiastkowanie liczb zespolonych]] - Wzór de Moivre’a.  
* [[algorytm obliczania pierwiastka n-tego stopnia]]
Inne:

* [[równanie sześcienne]] - praktyczny przykład liczenia pierwiastków sześciennych i związane z tym subtelności

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj |autor = [[Wacław Sierpiński]] |tytuł = Arytmetyka teoretyczna |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |data = 1968 |wydanie = 4 |odn = tak}}
* {{cytuj |autor=T. Trajdos |tytuł=Matematyka |opis=cz. III |miejsce=Warszawa |wydawca=PWN |data=1993 |isbn=83-204-1547-0 |s=69-73 |odn=tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* [http://people.freebsd.org/~lstewart/references/apple_tr_kt32_cuberoot.pdf Computing the Cube Root, K. Turkowski, Apple Technical Report #KT-32, 1998]. {{lang|en}} Zawiera [[kod źródłowy]] w C.
* {{PlanetMath|url=CubeRoot|tytuł=Pierwiastek sześcienny}}
* {{MathWorld|adres=CubeRoot|tytuł=Pierwiastek sześcienny}}

{{Funkcje elementarne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Pierwiastkowanie]]
[[Kategoria:Funkcje potęgowe]]