Tekst źródłowy strony Pi

{{Inne znaczenia|stałej matematycznej}}
[[Plik:Pi-unrolled-720.gif|thumb|Jeśli średnica koła&nbsp;=&nbsp;1, jego obwód wynosi {{pi}}]]

'''{{pi}}''' (czyt. ''pi''), '''ludolfina''', '''stała Archimedesa''' – [[stosunek (matematyka)|stosunek]] [[Obwód (geometria)|obwodu]] [[koło|koła]] (czyli [[Długość krzywej|długości]] [[okrąg|okręgu]]) do długości jego [[średnica|średnicy]]<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Pi | id = 3956528 | data dostępu = 2021-07-29}}</ref>; stosunek ten jest niezależny od wielkości koła, bowiem wszystkie koła są do siebie [[Podobieństwo (przekształcenie geometryczne)|podobne]]. Liczba {{pi}} nazywana jest czasami ''stałą Archimedesa'' w uznaniu zasług [[Archimedes|Archimedesa z Syrakuz]], który jako pierwszy badał własności i znaczenie w matematyce tej liczby; określenie ''ludolfina'' pochodzi od [[Ludolph van Ceulen|Ludolpha van Ceulena]], który zyskał sławę, przedstawiając tę liczbę z dokładnością do 35 miejsc po przecinku. Grecy nie używali symbolu {{pi}} – wprowadził go dopiero [[William Jones (matematyk)|William Jones]], a spopularyzował [[Leonhard Euler]]<ref>{{Cytuj książkę |nazwisko = Jahnke |imię = Hans Niels |tytuł = A history of analysis |data = 2003 |isbn = 0-8218-2623-9 |miejsce = Providence, RI |wydawca = American Mathematical Society |oclc = 51607350 |data dostępu = 2021-07-19 |strony = 20}}</ref>.

{{znak|{{pi}}}}
Liczba {{pi}} z dokładnością do 204 miejsc po przecinku:
: {{pi}} ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 102701 938521 105559 644622 948954 930381 964428<ref>{{Cytuj stronę |url = http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi |tytuł = pi |nazwisko = |imię = |opublikowany = A Wolfram Research Company |praca = WolframAlpha Computational Knowledge Engine |data = |data dostępu = 2014-03-30}}</ref>.

W praktyce korzysta się z [[Zaokrąglanie|przybliżonych wartości]] <math>3{,}14,</math> rzadziej z przybliżeń dokładniejszych: 3,141592 albo w postaci [[Ułamek|ułamków zwykłych]] np. <math>\tfrac{22}{7}</math> lub <math>\tfrac{355}{113}.</math>

Liczba {{pi}} jest [[Stała (matematyka)|stałą matematyczną]], która pojawia się w wielu działach [[matematyka|matematyki]] i [[fizyka|fizyki]].

Pojawia się w [[Geometria|geometrii]] (np. we wzorach na [[pole powierzchni|pole]] koła oraz na pole powierzchni i [[objętość]] [[Bryła obrotowa|brył obrotowych]]), w [[Analiza matematyczna|analizie matematycznej]] (np. w wielu sumach [[Szereg (matematyka)|szeregów liczbowych]]), we [[Wzór całkowy Cauchy’ego|wzorze całkowym Cauchy’ego]]. [[Analiza matematyczna]] dostarcza wielu metod obliczania jej przybliżeń z dowolną dokładnością.

== Oznaczenia liczby {{pi}} ==
[[Plik:William Jones(mathematician).jpg|thumb|75px|[[William Jones (matematyk)|W. Jones]]]]
[[Plik:Leonhard Euler.jpeg|thumb|75px|[[Leonhard Euler|L. Euler]]]]
Symbol {{pi}} wprowadził walijski matematyk i pisarz [[William Jones (matematyk)|William Jones]] w monografii ''Synopsis Palmariorum Matheseos'' w 1706. {{pi}} jest pierwszą literą greckiego słowa ''περίμετρον'' – ''perimetron'', czyli obwód.

Oznaczenie {{pi}} można znaleźć także w pracach matematyków [[William Oughtred|Williama Oughtreda]], [[Isaac Barrow|Isaaca Barrowa]] i [[David Gregory (matematyk)|Davida Gregory’ego]].

Ale jeszcze w 1734 r. [[Leonhard Euler]] w dziele ''De summis serierum reciprocarum'' używa oznaczenia <math>p;,</math> używa też tego oznaczenia w napisanym już po wydaniu ''Analizy'' liście do [[James Stirling (matematyk)|Jamesa Stirlinga]] z 16 kwietnia 1738 r.

Podobnie [[Johann Bernoulli]] w liście napisanym do Eulera w 1739 r. używa oznaczenia <math>c</math> dla liczby {{pi}}, jednak już w następnym liście do Eulera, z początku roku 1740, stosuje on oznaczenie {{pi}}.

Ostatecznie uznanie dla oznaczenia {{pi}} nastąpiło po wydaniu przez [[Leonhard Euler|Eulera]] w [[1737]] roku dzieła ''Analiza''. Euler używał tego oznaczenia również w ''Introductio in Analysin Infinitorum'' ([[1748]])<ref group="uwaga">''Satis liquet Peripheriam hujus Circuli in numeris rationalibus exacte exprimi non posse, per approximationes autem inventa est .. esse = 3,14159..., pro quo numero, brevitatis ergo, scribam pi, ita ut sit {{pi}} = Semicircumferentiae Circuli, cujus Radius = 1, seu pi erit longitudo Arcus 180 graduum.''</ref>. Prawdopodobnie znaczący wpływ na popularyzację symbolu {{pi}} miało jego pojawienie się w ''Mathematical Tables'' (1742) [[Henry Sherwina|Henry’ego Sherwina]].

== Niektóre wzory zawierające {{pi}} ==

=== W [[Geometria|geometrii]] ===
* <math>\pi r^2</math> – pole koła o promieniu <math>r</math>
* <math>2\pi r</math> – [[obwód (geometria)|obwód]] [[okrąg|okręgu]] o promieniu <math>r</math>
* <math>ab\pi</math> – [[pole powierzchni|pole]] [[Elipsa|elipsy]] o półosiach równych <math>a</math> i <math>b</math>
* <math>\tfrac{4}{3}\pi r^3</math> – [[Objętość (matematyka)|objętość]] [[kula|kuli]] o promieniu <math>r</math>
* <math>4\pi r^2</math> – [[pole powierzchni|powierzchnia]] kuli o promieniu <math>r</math>
* <math>\pi r^2 H</math> – objętość [[walec (bryła)|walca]] o wysokości <math>H</math> i promieniu podstawy <math>r</math>
* [[Miara łukowa kąta]] półpełnego równa jest {{pi}} [[radian]]ów

=== W [[Analiza matematyczna|analizie matematycznej]] ===
* <math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6}</math> ([[Leonhard Euler|Euler]]), <math>{}\quad\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}</math>
* <math>{}\,\int\limits_{-\infty}^{\ \infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}</math> ([[rozkład normalny]])
* <math>n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math> ([[wzór Stirlinga]])
* <math>e^{\pi i} + 1 = 0</math> ([[wzór Eulera]])
* <math>\int\limits_0^{\ 1} \frac{1}{1+x^2}\, dx =\frac{\pi}{4}, \quad\int\limits_{-1}^{\ 1} \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}, \quad \int\limits_{-1}^{\ 1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi</math>
: druga z powyższych całek służy do obliczania powierzchni górnego półkoła jednostkowego, trzecia do obliczania długości górnego półokręgu jednostkowego.

=== W [[Teoria liczb|teorii liczb]] ===
* Prawdopodobieństwo tego, że dwie losowo wybrane liczby całkowite są [[liczby względnie pierwsze|liczbami względnie pierwszymi]] wynosi <math>\tfrac{6}{\pi^2}.</math>
* Średnia liczba sposobów na zapisanie [[liczby naturalne]]j jako sumy dwóch kwadratów liczb naturalnych, wynosi <math>\tfrac{\pi}{4}.</math>

W powyższych przypadkach ''prawdopodobieństwo'' i ''średnią'' rozpatruje się w sensie granicznym. Na przykład rozważamy prawdopodobieństwo dla zbioru liczb <math>\{1,2,3,\dots,N\},</math> a następnie obliczamy [[granica (matematyka)|granicę]] przy <math>N</math> dążącym do nieskończoności.

=== W [[Fizyka|fizyce]] ===
* [[zasada nieoznaczoności|zasada nieoznaczoności Heisenberga]],
*: <math>\Delta x\Delta p\geqslant\frac{h}{4\pi}, \quad \Delta E\Delta t\geqslant\frac{h}{4\pi}</math>
* [[równanie Einsteina|równanie pola grawitacyjnego]] [[ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]],
*: <math>G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}</math> 

=== Często występujące przekształcenia {{pi}} ===
: <math>\pi^2= 9{,}869\,604\,401\,089\,358\,618\,834\,490\,999\,876\,2\dots</math>
: <math>\pi^3= 31{,}006\,276\,680\,299\,820\,175\,476\,315\,067\,101\dots</math>
: <math>\sqrt\pi=1{,}772\,453\,850\,905\,516\,027\,298\,167\,483\,341\,1\dots</math>

=== Rozwinięcie {{pi}} w [[ułamek łańcuchowy]] ===
: <math>\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, \dots ]</math>

Kilka początkowych reduktów tego ułamka:
: <math>\frac{3}{1},\; \frac{22}{7},\; \frac{333}{106},\;\frac{355}{113},\;\frac{103993}{33102},\;\frac{104348}{33215}, \dots</math>

Każdy z powyższych ułamków ma tę własność, że najlepiej przybliża liczbę {{pi}} spośród wszystkich ułamków o mianownikach nie większych od danego. Ponadto [[błąd bezwzględny]] tego przybliżenia jest mniejszy niż odwrotność kwadratu mianownika, np.

: <math>\left|\pi-\frac{333}{106}\right|<\frac{1}{106^2}.</math>

Redukt <math>\tfrac{3}{1}</math> był znany w najstarszych oszacowaniach liczby {{pi}}, redukt <math>\tfrac{22}{7}</math> podał [[Archimedes]].

== Własności liczby {{pi}} ==
Z liczbą {{pi}} ludzie zetknęli się już w starożytności. Podczas praktycznych zajęć (budownictwo, rolnictwo, gospodarstwo domowe itp.) zauważyli, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą. Pierwsze źródła dowodzące świadomego korzystania z własności liczby {{pi}} pochodzą ze [[Babilon|starożytnego Babilonu]].

Podejście starożytnych uczonych do matematyki, w szczególności do liczby {{pi}}, było ściśle użytkowe, nie stosowano właściwie żadnej abstrakcji, a reguły matematyczne opisywane były prostymi przykładami użytkowymi, niezbędnymi w architekturze czy księgowości.

=== Wyniki Archimedesa ===
[[Plik:Archimedes pi.svg|thumb|300x300px|Metoda aproksymacji liczby {{pi}} zaproponowana przez Archimedesa]]
[[Archimedes]] (III w. p.n.e.) był pierwszym matematykiem badającym liczbę {{pi}} i jej znaczenie w matematyce.

Przede wszystkim znalazł metodę szacowania długości okręgu. W tym celu rozważał ciąg wielokątów foremnych opisanych na okręgu i wpisanych w okrąg. Opierając się na wprowadzonych w swoim dziele „O kuli i walcu” postulatach, wywiódł, że im więcej boków ma [[wielokąt foremny]] wpisany/opisany, tym jego obwód jest bliższy długości okręgu. Dawało to możliwość szacowania długości okręgu z dowolną dokładnością.

Przejście graniczne w tej konstrukcji opierało się na tym, co już wiedziano od czasów [[Eudoksos z Knidos|Eudoksosa]], że dwie wielkości dowolnie bliskie sobie są równe. W dzisiejszym języku oznacza to analizę dwóch ciągów i ich granic: rosnącego ciągu obwodów wielokątów foremnych wpisanych <math>a_n= 2n \sin\tfrac{\pi}{n}</math> oraz malejącego ciągu obwodów wielokątów foremnych opisanych <math>b_n = 2n \operatorname{tg}\tfrac{\pi}{n}.</math> Dla tych ciągów zachodzą łatwe do stwierdzenia zależności:
: <math>a_n < 2\pi < b_n</math> oraz <math>\lim\limits_{n \to \infty} a_n= \lim\limits_{n \to \infty} b_n.</math>

Wprawdzie przy użyciu ówczesnej aparatury rachunkowej metoda ta praktycznie nie nadawała się do wyznaczania przybliżeń liczby {{pi}}, jasno jednak pokazała, że {{pi}} jest granicą pewnych ciągów wielkości konstruowalnych (w sensie konstrukcji klasycznych<ref group="uwaga">Oczywiście nie każdy wielokąt foremny jest konstruowalny, więc wystarczyło „zacząć” od wielokąta foremnego konstruowalnego, np. trójkąta równobocznego, kwadratu lub pięciokąta foremnego, a następnie wielokrotnie podwajać liczbę boków.</ref>).

W pracach „O wymierzaniu koła” i „O kuli i walcu” wykazał, że {{pi}} jest w istocie „stałą uniwersalną” geometrii w następującym sensie.

Stosunek obwodu koła do jego średnicy jest stały, ten stosunek jest właśnie liczbą {{pi}}. Podobnie stałe są stosunek pola powierzchni koła do kwadratu jego promienia, stosunek objętości walca i stożka do iloczynu wysokości i kwadratu promienia podstawy, stosunek powierzchni kuli do kwadratu jej promienia, stosunek objętości kuli do sześcianu jej promienia. Archimedes udowodnił, że dla wszystkich powyższych brył obrotowych stosunki te są współmierne i w każdym z nich pojawia się ta sama stała {{pi}}.

Stosując opracowaną przez [[Eudoksos z Knidos|Eudoksosa]] i rozwiniętą przez siebie [[metoda wyczerpywania|metodę wyczerpywania]], udowodnił m.in., że
* pole koła jest równe polu trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są promień koła i rektyfikacja brzegu koła (czyli odpowiedniego okręgu),
* objętość walca jest równa objętości graniastosłupa prostego trójkątnego, w którym z jednego z wierzchołków wychodzą trzy wzajemnie prostopadłe krawędzie o długościach równych wysokości walca, promieniowi podstawy walca i rektyfikacji brzegu podstawy walca,
* objętość stożka jest równa <math>\tfrac{1}{3}</math> objętości walca opisanego na stożku.

Stosując stworzoną przez siebie metodę sum całkowych, udowodnił także, że
* pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni bocznej walca opisanego na tej kuli,
* objętość kuli jest równa objętości walca opisanego na tej kuli, z którego wydrążono dwa stożki stykające się swoimi wierzchołkami i których podstawy pokrywają się z podstawami walca.

W dzisiejszym języku oznacza to wyprowadzenie przez Archimedesa wzorów na pola powierzchni i objętości wyżej omówionych brył. Dzisiaj oczywiście do tego służy rachunek całkowy. Współczesną kontynuacją powyższych wyników Archimedesa są wzory na pole powierzchni i objętość n-wymiarowej [[Hiperkula|hiperkuli]], w których to wzorach także pojawia się liczba {{pi}} w odpowiednich potęgach<ref>{{Cytuj książkę |nazwisko = Kordos |imię = Marek |tytuł = Wykłady z historii matematyki |wydawca = Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne |miejsce = Warszawa |data = 1994 |isbn = 83-02-05591-3 |strony = 87–91}}</ref><ref>{{Cytuj książkę |autor = Juszkiewicz A.P. |tytuł = Historia matematyki. Od czasów najdawniejszych do początku czasów nowożytnych |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |miejsce = Warszawa |data = 1975 |tom = I |strony = 131–136}}</ref>.

=== Niewymierność ===
Liczba {{pi}} jest [[Liczby niewymierne|niewymierna]], czyli nie da się jej przedstawić w postaci [[dzielenie|ilorazu]] dwóch [[Liczby całkowite|liczb całkowitych]]. Pierwszy dowód tej własności podał w 1761 roku [[Johann Heinrich Lambert]], wykorzystując rozwinięcie funkcji <math>\operatorname{tg} x</math> w [[ułamek łańcuchowy]]:
{{Wzór|<math>
\operatorname{tg}{x} = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{\ddots} } } } 
</math>.}}
Większość podręczników prezentuje jednak inne dowody niewymierności <math>\pi,</math> między innymi oparte na późniejszym pomyśle [[Charles Hermite|Hermite’a]]<ref>{{Cytuj |autor = Miklós Laczkovich |tytuł = On Lambert's Proof of the Irrationality of π |czasopismo = The American Mathematical Monthly |data = 1997 |data dostępu = 2024-04-13 |wolumin = 104 |numer = 5 |s = 439-443 |doi = 10.2307/2974737 |język = en|issn = 0002-9890}}</ref>.

'''Dowód niewymierności'''

Niech <math>\pi = \tfrac{p}{q}</math> dla pewnych dodatnich [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] <math>p</math> i <math>q.</math>

Niech dla liczby naturalnej <math>n</math> dane będą [[wielomian]]y
: <math>f_n(x) = \frac{x^n(p-qx)^n}{n!}</math>

oraz
: <math>F_n(x) = f(x) - f^{(2)}(x) + \ldots + (-1)^n f^{(2n)}(x),</math>

gdzie <math>f_n^{(k)}(x)</math> oznacza <math>k</math>-tą pochodną <math>f_n(x).</math>

Ponieważ wielomian <math>n!f_n(x)</math> ma współczynniki całkowite oraz [[stopień wielomianu|stopień]] równy <math>2n,</math> wszystkie pochodne <math>f_n^{(i)}</math> mają w <math>x = 0</math> wartości całkowite. Także dla <math>x = \pi</math> wartości te są całkowite, gdyż <math>f(x) = f(\tfrac{p}{q} - x).</math>

Ponieważ
: <math>\begin{align} \tfrac{\operatorname d}{\operatorname d\!x}(F_n'(x)\sin x - F_n(x)\cos x) & = F_n''(x)\sin x + F_n'(x)\cos x - F_n'(x) \cos x + F_n(x)\sin x \\ & = F_n''(x)\sin x + F_n(x)\sin x = f_n(x)\sin x,\end{align}</math>

to
: <math>I_n = \int\limits_0^\pi f_n(x)\sin x\,\operatorname d\!x = \Bigl[F_n'(x)\sin x - F_n(x)\cos x\Bigr]_0^\pi = F_n(\pi) + F_n(0).</math>

Ponieważ liczby <math>f_n^{(i)}(0)</math> i <math>f_n^{(i)}(\pi)</math> są całkowite, całkowita jest więc wartość <math>F_n(\pi) + F_n(0).</math> Z drugiej strony, dla <math>0 < x < \pi</math> zachodzi oszacowanie
: <math>0 < f_n(x)\sin x < \frac{\pi^n p^n}{n!}.</math>

Z dowolności <math>n</math> i powyższego oszacowania, całka <math>I_n</math> jest dowolnie mała, co prowadzi do sprzeczności<ref>I. Niven, [http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183510788 A simple proof that π is irrational], „[[Bulletin of the American Mathematical Society]]” '''53''', 6 (1947), s. 509.</ref>.

=== Przestępność ===
[[Plik:Kochanski-1.svg|thumb|320x320px|Przybliżona konstrukcja Kochańskiego]]
Liczba {{pi}} jest [[Liczba przestępna|liczbą przestępną]], co w 1882 roku wykazał [[Ferdinand Lindemann]]. Oznacza to, że nie istnieje [[wielomian]] o współczynnikach wymiernych, którego {{pi}} jest [[Wielomian#Pierwiastki|pierwiastkiem]]. W rezultacie nie jest możliwe przedstawić {{pi}} w postaci wyrażenia zawierającego skończoną liczbę [[Arytmetyka elementarna|działań arytmetycznych]] i [[Pierwiastkowanie|pierwiastków]] na liczbach całkowitych.

Przestępność liczby {{pi}} oznacza, że niemożliwa jest [[kwadratura koła]], czyli [[konstrukcje klasyczne|klasyczna konstrukcja]] (linijką i cyrklem) [[kwadrat]]u o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż [[układ współrzędnych|współrzędne]] wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych [[liczby algebraiczne|liczbami algebraicznymi]]. Konstrukcja klasyczna pozwala jedynie znaleźć rozwiązania przybliżone (tzw. konstrukcje przybliżone). Powiązanym, również niemożliwym do rozwiązania problemem, jest problem [[rektyfikacja okręgu|rektyfikacji okręgu]], do którego również istnieją konstrukcje przybliżone, z których za jedną z najprostszych uchodzi [[Konstrukcja Kochańskiego|konstrukcja Adama Adamandego Kochańskiego]].

== Historia obliczeń wartości {{pi}} ==
=== Przybliżanie liczby {{pi}} w starożytności ===
Babilończycy uważali, że obwód koła niewiele różni się od obwodu [[sześciokąt]]a wpisanego w niego i przyjmowali <math>\pi \approx 3,</math> Świadczą o tym niemal wszystkie teksty utrwalone na glinianych tabliczkach i poruszające te problemy. Tylko jedna tabliczka (datowana na lata 1900–1680 p.n.e.) zawiera obliczenia sugerujące stosowanie przybliżenia <math>\pi \approx 3\tfrac{1}{8}=3{,}125.</math>

Na pochodzącym sprzed 1650 r. p.n.e. egipskim [[Papirus Rhinda|papirusie Rhinda]], autorstwa królewskiego skryby (według niektórych źródeł tylko kopisty oryginału) [[Ahmes (egipski skryba)|Ahmesa]], zatytułowanym ''Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach'' można znaleźć rozwiązania zadań matematycznych zawierające m.in. odniesienia do wartości liczby {{pi}}, przybliżanej wartością <math>\tfrac{4^4}{3^4} = 3{,}1604\dots</math>

W [[Biblia|biblijnej]] ''Drugiej Księdze Kronik'' (''Biblia Tysiąclecia'', rozdział ''4'', werset ''2'') pochodzące z V–IV w. p.n.e. można znaleźć słowa:
:: ''Następnie sporządził odlew okrągłego „morza” o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci.''

Wynika z nich, że w [[Stary Testament|Starym Testamencie]], podobnie jak w źródłach babilońskich, przyjmowano oszacowanie <math>\pi \approx 3.</math>

Archimedes w III w. p.n.e. oszacował liczbę {{pi}} z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Użył do tego metody bazującej na zależnościach geometrycznych, metody pozwalającą oszacowywać {{pi}} z (teoretycznie) dowolną dokładnością, przez następne wieki była metodą najlepszą, często niezależnie od prac Archimedesa wykorzystywaną przez późniejszych matematyków. Wynikiem jego pracy było podanie przedziału, w jakim mieści się liczba {{pi}}: <math>\pi \in \left(3 \tfrac{10}{71}; 3\tfrac{1}{7}\right).</math> Archimedes uzyskał ten wynik, wyznaczając długości boków dwóch 96-kątów foremnych – opisanego na okręgu i wpisanego w ten sam okrąg. Następnie obliczył [[Średnia arytmetyczna|średnią arytmetyczną]] obwodów tych wielokątów, otrzymując przybliżenie długości okręgu. Obliczenia były bardzo żmudne i czasochłonne. Mimo wielkich wysiłków Archimedesowi nie udało się dokonać analogicznych obliczeń dla 192-kątów, co pozwoliłoby mu wyznaczyć wartość ludolfiny z jeszcze większą dokładnością.

=== Przybliżanie liczby {{pi}} w średniowieczu ===
[[Liu Hui]], chiński matematyk żyjący w III wieku naszej ery, metodą Archimedesa dla wieloboków o ''3072'' bokach ustalił przybliżoną wartość liczby {{pi}} na 3,1415.

[[Zu Chongzhi]], chiński cesarski astronom około 500 roku n.e. podał dwa przybliżenia liczby {{pi}} – wcześniejsze – <math>\pi \approx \tfrac{22}{7},</math> oraz późniejsze, wynoszące <math>\tfrac{355}{113},</math> które do XV wieku było najlepszym znanym ludzkości przybliżeniem wartości liczby {{pi}} (na szczególną uwagę zasługuje łatwość jego zapamiętania: 11-33-55). Wartości te zanotowano w pochodzących z tego okresu kronikach dworskich. Użył on metody Archimedesa, lecz najprawdopodobniej nie miał dostępu do jego prac.

[[Brahmagupta]], hinduski matematyk, sto lat później (około 600 r.n.e.), podał inne przybliżenie wartości {{pi}} – <math>\sqrt{10} \approx 3{,}162\dots,</math> stosując własności ''12'', ''24'', ''48'' i ''96''-boków, których długości obwodów wynosiły odpowiednio
: <math>\sqrt{9{,}56} , \sqrt{9{,}81} ,\sqrt{9{,}86}, \sqrt{9{,}87}.</math>

W rzeczywistości
: <math>\pi^2 \approx 9{,}8696.</math>

W 1400 roku hinduski matematyk [[Madhawa z Sangamagramy|Madhava]] jako pierwszy w historii do obliczenia wartości {{pi}} użył ciągów nieskończonych. W istocie odkrył on wzór, do którego [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] i Gregory (autorstwo przypisuje się obu) doszli w 1674. Natomiast pierwszym z Europejczyków, który użył metody [[aproksymacja|aproksymacji]] {{pi}} przy pomocy ciągów nieskończonych był [[John Wallis]], który w 1656 roku w dziele ''Arithmetica infinitorum'' podał bardzo zgrabny – aczkolwiek niezbyt użyteczny – wzór na {{pi}}. Od tego czasu do obliczania wartości {{pi}} zaczęto używać ciągów nieskończonych – zazwyczaj przy pomocy rozwinięcia funkcji ''arcus sinus'' lub ''arcus tangens'' w [[szereg potęgowy]].

[[Ludolph van Ceulen]], stosując jeszcze metodę Archimedesa, obliczył wartość {{pi}} z dokładnością do ''20'' miejsc po przecinku i opublikował wynik w dziele ''Van den Circkel'' (1596). Według biografów Ceulen większość swojego życia poświęcił próbom coraz lepszego przybliżenia {{pi}}, zwanej niekiedy od jego imienia ''Ludolfiną'', pod koniec życia podając {{pi}} z dokładnością do ''35'' miejsc po przecinku (użył do tego wieloboku o <math>2^{62}</math> bokach) – wartość ta została wyryta na jego płycie nagrobkowej.

=== Przybliżanie liczby {{pi}} w czasach nowożytnych ===
Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości {{pi}} sięgające kilkuset miejsc po przecinku. W 1853 [[William Rutherford (matematyk)|William Rutherford]] podał liczbę Pi z dokładnością 440 miejsc po przecinku. Rekordzistą w ręcznych obliczeniach liczby Pi jest [[William Shanks]], któremu w 1874 udało się uzyskać 707 miejsc po przecinku. Zajęło mu to 15 lat. Później okazało się, że 180 ostatnich cyfr obliczył błędnie (wynik, który uznano za prawidłowy uwzględnia 527 miejsc po przecinku)<ref name="Wszystkiego najlepszego, Pi">{{cytuj stronę |url = http://web.archive.org/web/20160427135710/http://www.rp.pl/artykul/446484-Wszystkiego-najlepszego--Pi.html |tytuł = Wszystkiego najlepszego, Pi |autor = Rzeczpospolita.pl |data dostępu = 2010-03-13}}</ref>. W 1946 roku Ferguson podał wartość {{pi}} do 620. miejsca po przecinku. W końcowych obliczeniach wspomagał się już kalkulatorem. Od 1949, kiedy to przy pomocy [[komputer]]a [[ENIAC]] obliczono 2038 miejsc po przecinku, dokładniejsze aproksymacje liczby {{pi}} uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. We wrześniu 1999 roku obliczono {{pi}} z dokładnością 2,0615·10<sup>11</sup> miejsc po przecinku. Dokonał tego Takahasi przy pomocy komputera Hitachi SR8000.

31 grudnia 2009 r. [[Fabrice Bellard]] ogłosił, że udało mu się obliczyć {{pi}} z dokładnością do 2700 miliardów cyfr. Obliczenia ze sprawdzeniem zajęły 131 dni, do obliczeń użyto komputera z procesorem Intel Core i7 (2,93&nbsp;GHz) i 6&nbsp;GB RAM. Sam zapis binarny liczby zajmuje około 1,12 TB<ref>F. Bellard, [http://bellard.org/pi/pi2700e9/pipcrecord.pdf Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer].</ref>.

W październiku 2011 Alexander J. Yee i Shigeru Kondo uzyskali dokładność ok. 10 bilionów (10<sup>13</sup>) miejsc po przecinku<ref>Alexander J. Yee, Shigeru Kondo [http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html Round 2... 10 Trillion Digits of Pi. Same program, same computer, just a longer wait...]</ref>. Obliczenia zajęły 371 dni.

W październiku 2014 anonimowa osoba o nicku ''houkouonchi'' uzyskała dokładność ok. 13,3 biliona miejsc po przecinku. Obliczenia zajęły 208 dni, a sprawdzanie 182 godziny<ref name=":1">{{Cytuj stronę |url = http://www.numberworld.org/y-cruncher/ |tytuł = y-cruncher – A Multi-Threaded Pi Program |nazwisko = |imię = |autor = |data = |opublikowany = www.numberworld.org |język = |data dostępu = 2017-11-19}}</ref>.

W listopadzie 2016 Peter Trueb uzyskał dokładność ok. 22,5 biliona miejsc po przecinku przy pomocy programu y-cruncher. Obliczenia zajęły 105 dni, a sama liczba zajęła ok. 120 TB miejsca<ref name=":1" />.

W styczniu 2020 Timothy Mullican uzyskał dokładność 50 bilionów miejsc po przecinku przy pomocy programu y-cruncher. Obliczenia zajęły 303 dni, a sama liczba zajęła ok. 281 TB miejsca<ref>{{Cytuj |autor = Timothy Mullican |tytuł = Calculating Pi: My attempt at breaking the Pi World Record |data = 2019-06-26 |data dostępu = 2020-10-24 |opublikowany = Bits and Bytes |url = http://blog.timothymullican.com/calculating-pi-my-attempt-breaking-pi-record |język = en}}</ref>.

Niezależnie od algorytmów znajdujących coraz lepsze przybliżenia liczby pi opracowano metody obliczania pojedynczych bardzo odległych cyfr w rozwinięciu dziesiętnym liczby pi. Np. w roku 2010 obliczono cyfrę będącą na 2&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;000 miejscu po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby pi i wynosi ona zero. Obliczenia trwały 23 dni na 1000 maszynach<ref>[http://www.rp.pl/artykul/536816-Co-jest-po-3-14.html Co jest po 3,14?]</ref>.

== Wzory do obliczania liczby {{pi}} ==
=== Wzory wolno zbieżne ===


Poniższe metody są wolno zbieżne

* [[François Viète]], [[1593]]:
: <math>\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots = \frac2\pi</math>

* [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]]:
: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \ldots = \frac{\pi}{4}</math>

* [[Leonhard Euler]], 1735:
: <math>\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}=\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...=\frac{\pi^2}{6}
</math>

* [[John Wallis]], 1655:
: <math>\prod\limits_{n=1}^\infty {\frac{2n}{2n-1}}\cdot \frac{2n}{2n+1}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\ldots =\frac{\pi}{2}</math> ([[wzór Wallisa]])

=== Wzory szybko zbieżne ===
[[Plik:Synopsis Palmariorum Matheseos pi.jpg|mały|''Synopsis palmariorum mathesos'', fragment]]
Do szybkich obliczeń komputerowych stosuje się przybliżenie wynikające z tożsamości:
: <math>\frac{\pi}{4} = 4 \operatorname{arctg}\frac{1}{5} - \operatorname{arctg}\frac{1}{239}</math>

Funkcję ''arcus tangens'' należy rozwinąć w [[Wzór Taylora|szereg Taylora]]. Twórcą tej formuły jest angielski matematyk [[John Machin]] (1680–1751).

Szybko zbieżne formuły postaci: <math>\tfrac{\pi}{4} = \sum\limits_n^N a_n \operatorname{arctg}\tfrac{1}{b_n}</math> podały również inne osoby, m.in.:

* S. Klingenstierna ([[1730]]):
: <math>\frac{\pi}{4} = 8 \operatorname{arctg}\frac{1}{10} - \operatorname{arctg}\frac{1}{239} - 4 \operatorname{arctg}\frac{1}{515}</math>

* F.C.W. Störmer ([[1896]]):
: <math>\frac{\pi}{4} = 44 \operatorname{arctg}\frac{1}{57} + 7 \operatorname{arctg}\frac{1}{239} - 12 \operatorname{arctg}\frac{1}{682} + 24 \operatorname{arctg}\frac{1}{12943}</math>

* K. Takano ([[1982]]):
: <math>\frac{\pi}{4} = 12 \operatorname{arctg}\frac{1}{49} + 32 \operatorname{arctg}\frac{1}{57} - 5 \operatorname{arctg}\frac{1}{239} + 12 \operatorname{arctg}\frac{1}{110443}</math>

Zbiór innych formuł typu zaproponowanego przez Machina można znaleźć np. na stronie „Numbers, constants and computation”<ref>{{Cytuj stronę |url = http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piclassic.html |tytuł = The constant {{pi}} |nazwisko = Gourdon |imię = Xavier |nazwisko2 = Sebah |imię2 = Pascal |data dostępu = 2019-02-12}}</ref>.

=== Inne metody ===
* [[Isaac Newton|Newton]]:
: <math>
\frac{\pi}{2}=
\sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}=
1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{5}\left(1+\frac{3}{7}\left(1+\frac{4}{9}(1+\ldots)\right)\right)\right)
</math>

* [[Srinivasa Ramanujan|Ramanujan]]:
: <math>\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}</math>
: Wzór ten wyróżnia dokładność, która wzrasta 100 milionów razy wraz z dodaniem kolejnego składnika sumy<ref name=":0">{{Cytuj książkę |nazwisko = Białynicki-Birula, Białynicka-Birula |imię = Iwo, Iwona |tytuł = Modelowanie rzeczywistości |rok = 2002 |wydawca = Prószyński i S-ka SA |miejsce = Warszawa |strony = 14–18 |isbn = 83-7255-103-0}}</ref>.

* David Chudnovsky i Gregory Chudnovsky:
: <math>\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}</math>

* Bailey-Borwein-Plouffe (BBP, 1997)<ref>{{Cytuj stronę |url = https://www.davidhbailey.com/ |tytuł = David H. Bailey |data dostępu = 2019-02-12}}</ref>
: <math>\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left(\frac{4}{8k+1} - \frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8k+6}\right) = \pi</math>
: Każdy składnik sumy jest równocześnie kolejną cyfrą [[Szesnastkowy system liczbowy|szesnastkowego]] rozwinięcia liczby {{pi}}, co pozwala na zrównoleglenie pracy np. na [[superkomputer]]ach.

=== Ułamki łańcuchowe ===
Istnieją także rozwinięcia w [[ułamek łańcuchowy|ułamki łańcuchowe]]:

* [[William Brouncker]] (ok. 1600)<ref name="tabmat">„Tablice matematyczne” praca zbiorowa pod redakcją W. Mizerskiego, wyd. Adamantan Warszawa 1999.</ref><ref>{{Encyklopedia PWN |id = 3881026 |tytuł = Brouncker William |data dostępu = 2022-10-12}}</ref>

: <math>1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\ldots}}}}=\frac{4}{\pi}</math>

* [[Leonhard Euler]] (ok. 1755)<ref name="tabmat" />
: <math>1+\cfrac{2}{3+\cfrac{1\cdot 3}{4+\cfrac{3\cdot 5}{4+\cfrac{5\cdot 7}{4+\ldots}}}}=\frac{\pi}{2}</math>

=== Szacowanie liczby {{pi}} przy pomocy całek ===
Przy pomocy [[całka Riemanna|całki Riemanna]] można dowodzić szacowań liczby {{pi}} przez pewne [[liczby wymierne]]. Jednym z przykładów jest zależność znaleziona przez Dalzella<ref>D.P. Dalzell, On 22/7, „J. London Math. Soc.” '''19''' (1944), s. 133–134.</ref>:
: <math>0 < \int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} \, \mbox{d}x = \frac{22}{7} - \pi,</math>
z której wynika, że <math>\tfrac{22}{7} > \pi.</math> Zachodzi ponadto
: <math>\frac{1}{1260} = \int_0^1\frac{x^4 (1-x)^4}{2}\,\mbox{d}x < \int_0^1\frac{x^4 (1-x)^4}{1+x^2}\,\mbox{d}x < \int_0^1\frac{x^4 (1-x)^4}{1}\,\mbox{d}x = \frac{1}{630},</math>

skąd wynika, iż
: <math>\frac{22}{7} - \frac{1}{630} < \pi < \frac{22}{7} - \frac{1}{1260}.</math>

[[Długość krzywej]] sparametryzowanej wzorem <math>\tfrac{\sin x}{\sqrt{2-2\cos x}},</math> gdzie <math>x \in \langle 0, \tfrac{\pi}{10^n} \rangle,</math> przy <math>n</math> dąży do nieskończoności, pomnożona razy <math>10^n</math> daje
: <math>\pi= \int_0^{\pi/10^n} \frac{\sqrt{9-\cos x}}{2\sqrt{2}} dx \cdot 10^n.</math>

== Kultura {{pi}} ==
[[Plik:PP 1280x1024.jpg|right|250px|Liczba Pi]]
Liczba {{pi}} ma swoich licznych wielbicieli. Obchodzą oni [[Dzień Liczby Pi|Dzień Liczby {{pi}}]] (14 marca; amerykański sposób zapisu tej daty to „3/14”) oraz ''dzień aproksymacji {{pi}}'' ([[22 lipca]]) (europejski sposób zapisu daty to „22/7”, od <math>\tfrac{22}{7} \approx 3{,}1428</math>).

Tworzone są też wierszyki i opowiadania, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby {{pi}} (zob. [[Pi-emat]]).

Niemcom w zapamiętaniu aproksymacji {{pi}} uzyskanej przez van Ceulena może być pomocny wiersz napisany przez [[Clemens Brentano|Clemensa Brentano]], który jest przypuszczalnie pierwszym tego typu tekstem:
: ''Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft mächtige Zahlreihn dauernd verkettet bis in die spaetere Zeit getreu zu merken. Drum hab ich Ludolph mir zu Lettern umgeprägt.''
:: <small>''Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach.'' (przekład Witolda Rybczyńskiego)</small>

Pierwszym polskim tekstem tego typu jest wiersz [[Kazimierz Cwojdziński|Kazimierza Cwojdzińskiego]] z 1930 roku, zamieszczony w październikowym wydaniu czasopisma „Parametr”, poświęconemu nauczaniu matematyki. Należy jednak pamiętać, że tekst powstał przed [[Historia ortografii polskiej|reformą ortografii z 1936 roku]]. Wtedy pisano „nie ma” w znaczeniu „nie posiada” i „niema” w znaczeniu „nie jest”.

: ''Kuć i orać w dzień zawzięcie,''
: ''Bo plonów niema bez trudu!''
: ''Złocisty szczęścia okręcie,''
: ''Kołyszesz...''
: ''Kuć! My nie czekajmy cudu.''
: ''Robota to potęga ludu!''

Rymowany wiersz, w którym liczba liter w kolejnych wyrazach odpowiada rozwinięciu dziesiętnemu liczby pi do 20 miejsca po przecinku:
: ''Kto w mgłę i słotę wagarować ma ochotę?''
: ''Chyba ten który ogniście zakochany, odziany wytwornie''
: ''Gna do nóg Bogdanki paść kornie''

Limeryk (limerypinoid) Marcina Orlińskiego wykorzystuje 26 miejsc po przecinku<ref>{{Cytuj |autor = Marcin Orliński |tytuł = Gad zapił bezę |czasopismo = Przekrój |data = |issn = 0033-2488 |wolumin = 2019 |numer = 2}}</ref>:
: ''Jan C. Dors z Pucka (Pomorskie)''
: ''na omyłki takie jak „Dorsz” reagował wstrząsem.''
: ''Bluzgał, zapieniał się:''
: ''„Ja już odpocząć chcę!''
: ''Błagam! Ja jestem Dors, nic nie plączcie!”''

Wiersz pozwala zapamiętać 32 cyfry składające się na liczbę pi:
: ''Kto w mózg i głowę natłoczyć by chciał cyfer moc,''
: ''Ażeby liczenie ludolfiny trudnej spamiętać móc,''
: ''To nam zastąpić musi słówka te litery suma,''
: ''Tak one trwalej się do pamięci wszystkie wsuną.''

Inne przykłady:
: ''Jaś o kole z werwą dyskutuje''
: ''bo dobrze temat ten czuje''
: ''zastąpił ludolfinę słowami wierszyka''
: ''czy Ty już odgadłeś, skąd zmiana ta wynika?''

: ''Kto i bada i liczy,''
: ''Myśliciel to wielki.''
: ''Mylić się zwykł jednakże''
: ''Matematyk wszelki.''

: ''Oto i wiem i pomnę doskonale…''

: ''Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła''

Oto limeryk opublikowany kiedyś w miesięczniku „[[Delta (miesięcznik)|Delta]]”:
: ''Raz w maju, w drugą niedzielę''
: ''Pi liczył cyfry pan Felek.''
: ''Pomnożył, wysumował,''
: ''Cyferki zanotował,''
: ''Ale ma ich niewiele...''

Są nawet wiersze białe:
: ''Źle w mgle i snach bolejącym do wiedzy progu iść.''

Kolejny, dłuższy przykład, w formie inwokacji do bogini pamięci (myślnik po „pauza” zastępuje zero):
: ''Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie Ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć; gdy się problemu nie da inaczej rozwiązać, pauza – to zastąpić liczbami.'' <small>Witold Rybczyński w miesięczniku „Problemy” (nr 8/1949)</small>

Jest to wersja poprawiona. Pierwotnie tekst zawierał błąd „zadania” zamiast „problemu”, czyli ''7'' zamiast ''8'' na 27 miejscu.

Najbardziej znany przykład angielski jest autorstwa sir [[James Hopwood Jeans|Jamesa Jeansa]]:
: ''How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!''
:: <small>''Jakże chciałbym się napić, czegoś mocnego oczywiście, po trudnych wykładach dotyczących mechaniki kwantowej!''</small>

Po francusku:
: ''Que j’aime a faire apprendre un nombre utile aux sages. Immortel Archimede, artiste ingenieux, qui de ton ton jugement put prise la valeur! Pour moi ton problème eut de pareils avantages.''

Po rosyjsku:
: ''Раз и шутя, и скоро пожелаешь пи узнать число – так знаешь''

Popularny jest także następujący wierszyk:
: ''How I wish I could recollect Pi easily today!''
:: <small>''Jakże bym chciał dzisiaj łatwo przypomnieć sobie Pi!''</small>

Popularny jest również polski wierszyk:
: ''Był i jest, i wieki chwalonym ów będzie, który kół obwód średnicą wymierzył; sławcie Archimeda, aby ów mąż wszędzie imię sławne na zawsze jako syn Muz dzierżył''.

Wśród polskich sposobów na mnemotechniczne zapamiętanie jest również okolicznościowy wierszyk, który powstał z okazji [[Mistrzostwa Świata w Piłce Nożnej 1978|Mistrzostw Świata w Piłce Nożnej w Argentynie w 1978 roku]]
: „Już i [[Grzegorz Lato|Lato]] i [[Kazimierz Deyna|Deyna]] strzelili do bramki obcej dwa karne. [[Włodzimierz Lubański|Lubański]] dostrzegł mistrza [[Andrzej Szarmach|Szarmacha]], gdy on tak wypuścił cios szacha, że zdobyć musi cel gry, krzyknął Gol na Mundial Argentyna”. (30 cyfr po przecinku).

Liczba {{pi}} była inspiracją wielu artystów i reżyserów. [[Darren Aronofsky]] poruszył jej temat w swoim filmie [[Pi (film)|Pi]]. W literaturze Pi jest imieniem bohatera powieści [[Yann Martel|Yanna Martela]] – ''[[Życie Pi]]'' oraz tematem jednego z wierszy [[Wisława Szymborska|Wisławy Szymborskiej]].
Rozwinięcie binarne liczby {{pi}} (jako zaszyfrowana informacja dotycząca sensu wszechświata) odgrywa kluczową rolę w zakończeniu znanej powieści s-f ''Kontakt'' [[Carl Sagan|Carla Sagana]]. Fascynacja {{pi}} jako kluczem czy ważnym elementem „wiedzy tajemnej” bywa obecna w wielu paranaukowych czy ezoterycznych sektach i stowarzyszeniach, poczynając od XVIII w. W szczególności Bóg objawia swoje imię [[Mojżesz]]owi jako „[[Jestem, który jestem]]” w 3 rozdziale, 14 i 15 wierszu [[Księga Wyjścia|Księgi Wyjścia]] (<math>\pi \approx 3.1415\dots</math>).

W latach 80. XX w. w Polsce emitowany był telewizyjny program edukacyjny przeznaczony dla dzieci i młodzieży pt. ''[[Przybysze z Matplanety]]'', w którym jednym z bohaterów był nieśmiały i tchórzliwy Pi.

Księga Guinnessa zawiera listę ludzi, którzy zapamiętali najwięcej cyfr liczby {{pi}}. Aby ją zapamiętać, korzystają często z [[mnemotechnika|mnemotechniki]] [[Główny System Pamięciowy|GSP]] i [[pałac pamięci|pałacu pamięci]]<ref>{{cytuj stronę |url = http://mnemotechnik-mnemonika.blogspot.com/2013/02/program-2know-dla-gsp-i-przy-okazji-jak.html |tytuł = Program 2Know dla GSP i przy okazji jak zapamiętać liczbę {{pi}} |autor = Krzysztof Galos |opublikowany = |data = |język = |archiwum = https://web.archive.org/web/20140118140736/http://mnemotechnik-mnemonika.blogspot.com/2013/02/program-2know-dla-gsp-i-przy-okazji-jak.html |zarchiwizowano = 2014-01-18 |data dostępu = 2013-02-26}}</ref>. Światowy potwierdzony rekord w zapamiętaniu ciągu cyfr liczby {{pi}} należy aktualnie do Hindusa Rajveera Meeny, który 21 marca 2015 roku podał ją z dokładnością do 70 tysięcy miejsc po przecinku<ref>{{Cytuj |tytuł = Most Pi places memorized |data dostępu = 2023-01-20 |opublikowany = Guinness World Records |url = https://www.guinnessworldrecords.com/world-records/most-pi-places-memorised |archiwum = https://web.archive.org/web/20200617082304/https://www.guinnessworldrecords.com/world-records/most-pi-places-memorised |zarchiwizowano = 2020-06-17 |język = en}}</ref>. Według serwisu Pi World Ranking List, rekord ten w tym samym roku został pobity przez Hindusa Suresha Kumara Sharmę, który 21 października 2015 roku wyrecytował 70 030 cyfr rozwinięcia liczby {{pi}}<ref>{{Cytuj |tytuł = Pi World Ranking List |data dostępu = 2023-01-20 |opublikowany = www.pi-world-ranking-list.com |url = https://www.pi-world-ranking-list.com/?page=lists&category=pi&sort=digits |archiwum = https://web.archive.org/web/20201112025822/pi-world-ranking-list.com/?page=lists&category=pi&sort=digits |zarchiwizowano = 2020-11-12}}</ref>. Nieoficjalny światowy rekord należy do Japończyka Akiry Haraguchi, który w październiku 2006 roku podał ją z dokładnością do 100 tysięcy miejsc po przecinku<ref>[http://www.rmf24.pl/fakty/swiat/news-rekordowa-pamiec-do-liczby-pi,nId,177046 Rekordowa pamięć do liczby Pi] RMF FM [dostęp 2012-09-20].</ref>, bijąc własny rekord 83&nbsp;431 cyfr po przecinku z lipca 2005 roku<ref>{{Cytuj |autor = Tomoko Otake |tytuł = How can anyone remember 100,000 numbers? |data = 2006-12-17 |data dostępu = 2023-01-20 |opublikowany = The Japan Times |url = https://www.japantimes.co.jp/life/2006/12/17/general/how-can-anyone-remember-100000-numbers/ |archiwum = https://web.archive.org/web/20130818004142/http://www.japantimes.co.jp/life/2006/12/17/life/how-can-anyone-remember-100000-numbers/ |zarchiwizowano = 2013-08-18 |język = en}}</ref>. Starszy oficjalny rekord należał do Chińczyka Lu Chao, który powtórzył ponad 67 tysięcy znaków po przecinku<ref>{{cytuj stronę |url = http://www.rp.pl/artykul/626512-Swiatowy-Dzien-liczby-Pi.html |tytuł = Światowy Dzień liczby Pi |autor = |opublikowany = Rzeczpospolita.pl |data = 2012-03-14 |język = |data dostępu =}}</ref>.

== Upamiętnienie ==
W 2022 skrzyżowaniu ulic Konstruktorskiej i Suwak w dzielnicy [[Mokotów]] w [[Warszawa|Warszawie]] nadano nazwę '' rondo Liczby π''<ref>{{Cytuj stronę |url = https://edziennik.mazowieckie.pl/legalact/2022/9758/ |tytuł = Uchwała nr LXX/2318/2022 Rady Miasta Stołecznego Warszawy z dnia 8 września 2022 r. w sprawie nadania nazwy obiektowi miejskiemu w Dzielnicy Mokotów m.st. Warszawy |data = 20 września 2022 |praca = Dziennik Urzędowy Województwa Mazowieckiego nr 9758 |data dostępu = 2023-01-23}}</ref>.

== Zobacz też ==
{{Commonscat|Pi}}
{{wikisłownik|pi}}
{{Wikicytaty|o liczbie pi|Liczba pi}}
* [[Dzień Liczby Pi]]
* [[Wzór Eulera#Tożsamość Eulera|tożsamość Eulera]]


== Linki zewnętrzne ==
; Polskojęzyczne
* {{otwarty dostęp}} [[Tomasz Rożek]], ''[https://www.youtube.com/watch?v=EHKPx9IPpYs Skąd się wzięła liczba Pi]'', kanał „Nauka. To lubię” na [[YouTube]], 14 marca 2021 [dostęp 2021-03-15].
* {{Pismo Delta | url = 2021/06/3-p-4/ | autor = Michał Miśkiewicz | tytuł = 3⩽π⩽4 | data = czerwiec 2021 | data dostępu = 2024-11-02 }}

; Anglojęzyczne
* E-tekst z projektu Gutenberg zawierający rozwinięcie liczby {{pi}} długości 10<sup>6</sup> miejsc po przecinku: http://www.gutenberg.org/etext/50 {{lang|en}}
* J.J. O’Connor and E.F. Robertson: ''A history of Pi''. Projekt Mac Tutor: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html {{lang|en}}
* {{MathWorld|adres=PiFormulas|tytuł=Pi Formulas|data dostępu=2020-12-12}}
* [http://mathforum.org/isaac/problems/pi1.html Jak obliczyć wartość pi] {{lang|en}}
* {{Cytuj |url = http://planetmath.org/encyclopedia/Pi.html |tytuł = Hasło Pi w encyklopedii PlanetMath |opublikowany = planetmath.org |archiwum = https://web.archive.org/web/20100124221705/http://planetmath.org/encyclopedia/Pi.html |zarchiwizowano = 2010-01-24 |język = en}}
* [http://www.angio.net/pi/piquery Znajdź swoją ulubioną liczbę w liczbie Pi] {{lang|en}}
* {{Cytuj |url = http://pi.nersc.gov/ |tytuł = Znajdź swoje imię zakodowane w liczbie Pi |opublikowany = pi.nersc.gov |archiwum = https://web.archive.org/web/20031128024605/http://pi.nersc.gov/ |zarchiwizowano = 2003-11-28 |język = en}}
* {{otwarty dostęp}} Reynaldo Lopes, ''[https://www.youtube.com/watch?v=9a5vHXsUvUw The infinite life of pi]'', kanał TED-Ed na [[YouTube]], 10 lipca 2013 [dostęp 2024-08-22].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://www.youtube.com/watch?v=ineO1tIyPfM When Pi is Not 3.14]'', kanał PBS Infinite Series na [[YouTube]], 5 stycznia 2017 [dostęp 2024-08-24].
* [https://betafcc.github.io/pi-generator/ Pi Digits Generator], betafcc na [[GitHub]]

== Uwagi ==
{{uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

{{Stałe matematyczne}}
{{Okręgi}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Stałe matematyczne]]
[[Kategoria:Okręgi (geometria)]]
[[Kategoria:Analiza rzeczywista]]
[[Kategoria:Oznaczenia matematyczne]]