Tekst źródłowy strony Parzystość liczb

[[File:Parity_of_5_and_6_Cuisenaire_rods.png|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Parity_of_5_and_6_Cuisenaire_rods.png|mały|[[Klocki Cuisenaire’a]] ilustrujące nieparzystość liczby 5 oraz parzystość liczby 6. Piątka nie jest [[Wielokrotność|wielokrotnością]] dwójki, a szóstka już tak.]]
[[Plik:Vintage Elgin Manual Wind Watch, Swiss-Made (9674115714).jpg|mały|[[Zegarek]], w którym tylko parzyste godziny są zaznaczone [[cyfra]]mi]]

'''Parzystość liczb''' – [[Dzielnik|podzielność]] dowolnej [[Liczby całkowite|liczby całkowitej]] przez [[2 (liczba)|dwa]]<ref>{{Cytuj |tytuł = Rozwój pojęcia liczby. |data dostępu = 2022-06-27 |opublikowany = www.math.us.edu.pl |url = http://www.math.us.edu.pl/prace/liczba/indekspoj.html}}</ref>. Innymi słowy '''liczba parzysta''' to [[wielokrotność]] dwóch – każdą liczbę parzystą można przedstawić jako <math>2k</math> dla pewnego całkowitego <math>k</math><ref name="epwn-p">{{Encyklopedia PWN | id = 3932371 | tytuł = liczby parzyste | data dostępu = 2023-10-26 }}</ref>, przez co [[zbiór]] liczb parzystych ma postać:
: <math>\left\{2k\colon\, k\in\mathbb{Z}\right\}=\left\{\dots, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, \dots\right\}.</math>

Pozostałe liczby całkowite nazywa się '''nieparzystymi'''. Każdą z nich można przestawić jako <math>2k+1</math> dla pewnego całkowitego <math>k</math><ref name="epwn-n">{{Encyklopedia PWN | id = 3932368 | tytuł = liczby nieparzyste | data dostępu = 2023-10-26 }}</ref>; zbiór liczb nieparzystych ma więc postać:
: <math>\left\{2k+1\colon\, k\in\mathbb{Z}\right\}=\left\{\dots, -5, -3, -1, 1, 3, 5, \dots\right\}.</math>

== Własności [[Arytmetyka|arytmetyczne]] ==
=== Liczby parzyste ===
[[Dodawanie|Suma]], [[Odejmowanie|różnica]] i [[Mnożenie|iloczyn]] liczb parzystych są zawsze parzyste<ref name="epwn-p" />:
* ''parzysta'' ± ''parzysta'' = ''parzysta''; bo <math>2k\pm2l=2(k\pm l).</math>
* ''parzysta'' · ''parzysta'' = ''parzysta''; bo <math>2k\cdot2l=2(2kl).</math>

=== Liczby nieparzyste ===
Suma i różnica dwóch liczb nieparzystych są parzyste<ref name="epwn-n" />:
* ''nieparzysta'' ± ''nieparzysta'' = ''parzysta''; bo <math>(2k+1)+(2l+1)=2(k+l+1)</math> i <math>(2k+1)-(2l+1)=2(k-l).</math>
Iloczyn dwóch liczb nieparzystych jest nieparzysty<ref name="epwn-n" />:
* ''nieparzysta'' · ''nieparzysta'' = ''nieparzysta''; bo <math>(2k+1)\cdot(2l+1)=2(2kl+k+l)+1.</math>

=== Liczby różnej parzystości ===
{| class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em"
|+[[Tablica Cayleya]] dodawania
liczb parzystych i nieparzystych
!+
!parzysta
!nieparzysta
|-
!parzysta
|parzysta
|nieparzysta
|-
!nieparzysta
|nieparzysta
|parzysta
|}
Suma i różnica liczby parzystej i nieparzystej są nieparzyste:
* ''parzysta'' ± ''nieparzysta'' = ''nieparzysta''; bo <math>2k+(2l+1)=2(k+l)+1</math> i <math>2k-(2l+1)=2(k-l)-1.</math>
Iloczyn liczby parzystej z nieparzystą jest parzysty:
* ''parzysta'' · ''nieparzysta'' = ''parzysta''; bo <math>2k\cdot(2l+1)=2(2kl+k).</math>

=== Perspektywa [[Algebra abstrakcyjna|algebry abstrakcyjnej]] ===
Liczby parzyste są przykładem:
* [[Podpierścień|podpierścienia]] pierścienia liczb całkowitych; podpierścień ten nie zawiera [[Element neutralny|jedynki]]<ref>{{MathWorld | adres = Ring | tytuł = Ring }} [dostęp 2024-04-16].</ref>;
* [[Ideał (teoria pierścieni)|ideału]] pierścienia liczb całkowitych<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3913837 | tytuł = ideał | data dostępu = 2023-10-26 }}</ref>.

== Zobacz też ==
* [[modulo]]
* [[Hipoteza Goldbacha]]
* [[Problem Collatza]]
* [[Liczby doskonałe]]
* [[Symbolika liczb]]
* [[Parzystokopytne]]
* [[Nieparzystokopytne]]

; Inne znaczenia parzystości
* [[Funkcje parzyste i nieparzyste]]
* [[Permutacja|Permutacje parzyste i nieparzyste]]
* [[Parzystość P]]
* [[Parzystość T]]
* [[Parzystość R]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Krzysztof Kwiecień, ''[https://www.youtube.com/watch?v=wF9Ozbl38vo Liczby parzyste i nieparzyste – wprowadzenie]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]], 20 września 2015 [dostęp 2024-04-16].

{{Arytmetyka elementarna}}
{{Typy liczb naturalnych}}
{{Teoria grup}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Arytmetyka]]