Tekst źródłowy strony Paradoks Banacha-Tarskiego

[[Plik:Banach-Tarski Paradox.svg|mały|350px|Paradoks Banacha-Tarskiego: Kula może być pocięta na skończenie wiele kawałków, z których można złożyć dwie kule identyczne z kulą wyjściową]]
'''Paradoks Banacha-Tarskiego''' (paradoks Hausdorffa-Banacha-Tarskiego, paradoksalny rozkład kuli) – [[paradoks]]alne twierdzenie [[Teoria miary|teorii miary]] sformułowane i udowodnione przez [[Stefan Banach|Stefana Banacha]] i [[Alfred Tarski|Alfreda Tarskiego]] w 1924 roku.

Twierdzenie głosi, że trójwymiarową [[kula|kulę]] można „rozciąć” na skończoną liczbę części (wystarczy ich pięć), a następnie używając wyłącznie [[translacja (matematyka)|przesunięć]] i [[obrót|obrotów]] można złożyć z tych części dwie kule o takich samych [[Promień (geometria)|promieniach]] jak promień kuli wyjściowej.

Paradoksalne jest to, że z jednej strony w wyniku operacji rozcinania, przesunięcia, obracania i składania następuje podwojenie objętości kuli, z drugiej użyte operacje przesunięcia i obrotu są izometriami i zachowują objętość brył.

Źródło paradoksu tkwi w tym, że części, na które dzielona jest kula, są zbiorami niemierzalnymi ([[Miara Lebesgue’a|w sensie Lebesgue’a]]), tj. nie mają objętości i nie stosuje się do nich addytywność miary, zgodnie z którą suma miar rozłącznych zbiorów mierzalnych jest miarą sumy mnogościowej tych zbiorów.

Twierdzenie Banacha-Tarskiego i pokrewne wyniki uświadamiają ograniczenia możliwych rozszerzeń miary Lebesgue’a, które miałyby pozostać [[miara niezmiennicza|niezmiennicze względem pewnych przekształceń]] [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowych]]<ref name="WagonS">Wagon, Stan: ''The Banach-Tarski paradox'', w: „Encyclopedia of Mathematics and its Applications”, 24. Cambridge University Press, Cambridge, 1985. {{ISBN|0-521-30244-7}}.</ref>.

Paradoks Banacha-Tarskiego ma swoją popularną wersję: ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których (przez [[izometria|izometrie]]) można złożyć kulę wielkości [[Słońce|Słońca]].

W jednej z książek dotyczących paradoksu Banacha-Tarskiego zamieszczone jest motto<ref name="WagonS" /> wskazujące jeden ze sposobów rozwiązania [[podwojenie sześcianu|problemu delijskiego]]:
: [[Delos|Delijczycy]]: ''W jaki sposób możemy uwolnić się od [[Epidemia|zarazy]]?''
: [[Wyrocznia delficka]]: ''Powiększcie dwukrotnie objętość ołtarza [[Apollo (mitologia)|Apolla]] zachowując jego kształt [[Sześcian (geometria)|sześcianu]]!''
: Banach i Tarski: ''Czy możemy użyć [[aksjomat wyboru|aksjomatu wyboru]]?''

== Rys historyczny ==
* 1905: [[Giuseppe Vitali]] podaje przykład zbioru niemierzalnego na [[okrąg jednostkowy|okręgu jednostkowym]], który to zbiór jest podstawą rozkładu σ-paradoksalnego okręgu<ref>Vitali, Giuseppe: ''Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta''. Bologna: Gamberini e Parmeggiani, 1905.</ref>. (Zobacz sekcja poniżej.)
* 1914: polscy matematycy [[Stefan Mazurkiewicz]] i [[Wacław Sierpiński]] publikują przykład paradoksalnego podzbioru płaszczyzny <math>\mathbb{R}^2</math><ref>Mazurkiewicz, Stefan; Sierpiński, Wacław: ''Sur un ensemble superposable avec chacune de ses deux parties''. „C. R. Acad. Sci. Paris”. 158 (1914), s. 618–619.</ref>.
* 1915: [[Felix Hausdorff]] publikuje twierdzenie, że po usunięciu [[Zbiór przeliczalny|przeliczalnie]] wielu punktów ze [[sfera|sfery]] jednostkowej można otrzymać zbiór, który jest paradoksalny ze względu na [[grupa obrotów|grupę obrotów]] <math>SO_3</math><ref>Hausdorff, Felix: ''Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen''. „Math. Ann.” 75 (1915), s. 428–433.</ref>.
* 1924: praca Banacha i Tarskiego przedstawiająca dowód ich twierdzenia ukazuje się w druku<ref>Banach, Stefan; Tarski, Alfred: ''Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes'', „[[Fundamenta Mathematicae]]” 6 (1924), s. 244–277. Dostępna w formacie [[Portable Document Format|pdf]] [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm6127.pdf tutaj].</ref>.
* 1991: [[wrocław]]ski matematyk [[Janusz Pawlikowski]] wykazuje, że zakładając [[aksjomaty Zermela-Fraenkla]] i [[twierdzenie Hahna-Banacha]] można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego<ref>Pawlikowski, Janusz: ''[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm138/fm13813.pdf The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox]''. „Fundamenta Mathematicae” 138 (1991), s. 21–22.</ref>.
* 1994: Randall Dougherty i Matthew Foreman dowodzą, że jest możliwy paradoksalny rozkład kuli na kawałki, które mają [[własność Baire’a]]<ref>Dougherty, Randall; Foreman, Matthew. ''Banach-Tarski decompositions using sets with the property of Baire''. „J. Amer. Math. Soc.” 7 (1994), s. 75–124.</ref>, a więc ''porządnych'' z topologicznego punktu widzenia.

== Wstępne przykłady ==
* W zasadzie już [[Galileusz]]<ref>Galileo Galilei. ''Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze'', 1638.</ref> zauważył, że zbiór [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] <math>\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,\dots\}</math> może być podzielony na dwie części, z których każda może być odwzorowana w sposób [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|wzajemnie jednoznaczny]] na cały [[zbiór]] <math>\mathbb{N}.</math> Rozważmy na przykład zbiór liczb [[Parzystość liczb|parzystych]] <math>P=\{0,2,4,6,\dots\}</math> i jego [[Dopełnienie zbioru|dopełnienie]], czyli zbiór liczb nieparzystych <math>N=\{1,3,5,\dots\}.</math> Funkcja <math>f_P\colon P \to \mathbb{N}\colon k\mapsto k/2</math> jest bijekcją z <math>P</math> na <math>\mathbb{N}</math> oraz funkcja <math>f_N\colon N \to \mathbb{N}\colon k\mapsto (k-1)/2</math> jest [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|bijekcją]] z <math>N</math> na <math>\mathbb{N}.</math>

* Każde dwa nietrywialne [[Przedział (matematyka)|odcinki]] na [[Liczby rzeczywiste|prostej rzeczywistej]] są [[Moc zbioru|równoliczne]] (w '''ZF''') i funkcja ustalająca równoliczność jest bardzo ''porządna'' (np. w przypadku dwóch przedziałów otwartych może to być [[funkcja liniowa]]). Zatem każdy nietrywialny odcinek może być podzielony na dwie rozłączne części (odcinki) i każda z tych części może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na odcinek wyjściowy. Podobna obserwacja ma miejsce w odniesieniu do [[prostokąt]]ów, [[prostopadłościan]]ów i wielu innych [[Figura geometryczna|figur geometrycznych]].

* Rozważmy [[zbiór Vitalego]] na okręgu jednostkowym. Najwygodniej jest ten zbiór opisać, jeśli zinterpretujemy punkty [[płaszczyzna|płaszczyzny]] jako [[liczby zespolone]]. Nasz okrąg to zbiór <math>O=\{e^{2\pi ri}:r\in \mathbb{R}\}=\{e^{2\pi ri}:r\in [0,1)\}.</math> Określmy na tym zbiorze [[relacja równoważności|relację równoważności]] <math>\cong</math> przez warunek
:: <math>e^{2\pi ri}\cong e^{2\pi si}</math> wtedy i tylko wtedy gdy <math>r-s</math> jest [[liczby wymierne|liczbą wymierną]].
: Zakładając aksjomat wyboru, możemy znaleźć zbiór <math>M\subseteq O,</math> który jest selektorem [[Relacja równoważności#Klasy abstrakcji|klas abstrakcji]] relacji <math>\cong.</math> Zatem zbiór <math>M</math> spełnia następujące dwa warunki:
:: (a) <math>(\forall s,t\in M)(s\neq t\ \Rightarrow\ s\not\cong t)</math> oraz
:: (b) <math>(\forall s\in O)(\exists t\in M)(s\cong t).</math>
: Przedstawmy zbiór liczb wymiernych w przedziale <math>[0,1)</math> jako [[suma zbiorów|sumę]] <math>\mathbb{Q}\cap [0,1)=A\cup B</math> dwóch zbiorów [[zbiór skończony|nieskończonych]]. Wówczas każdy ze zbiorów <math>A,</math> <math>B</math> jest równoliczny ze zbiorem <math>\mathbb{Q}\cap [0,1),</math> a więc możemy wybrać funkcje wzajemnie jednoznaczne <math>f_A\colon A \to \mathbb{Q}\cap [0,1)</math> i <math>f_B\colon B \to \mathbb{Q}\cap [0,1).</math> Rozważmy zbiory
:: <math>M_A=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\ \wedge\ q\in A\}</math> i <math>M_B=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\ \wedge\ q\in B\}.</math>
: Wówczas <math>O=M_A\cup M_B,</math> <math>M_A\cap M_B=\emptyset</math> oraz funkcje
:: <math>\varphi_A\colon M_A \to O:e^{2\pi qi}\cdot t\mapsto e^{2\pi f_A(q)i}\cdot t</math> i
:: <math>\varphi_B\colon M_B \to O:e^{2\pi qi}\cdot t\mapsto e^{2\pi f_B(q)i}\cdot t</math>
: są bijekcjami.

W powyższych przykładach użyte funkcje wzajemnie jednoznaczne, nawet jeśli są bardzo porządne, jednak nie zachowują odległości punktów (czyli nie są izometriami). Zatem przykłady te nie wzbudzają żadnego zdziwienia: odpowiednie zbiory są ''powiększone/rozdmuchane'' przez odpowiadające im funkcje. Można jednak zapytać, czy istnieją podobne rozkłady z dodatkową własnością, taką że funkcje ustalające równoliczność kawałków z wyjściowym zbiorem są izometriami (ze względu na [[Przestrzeń metryczna|metryki]] naturalne).

* Zbiór Vitalego, dyskutowany wcześniej, pozwala zbudować przykład podziału na przeliczalnie wiele części, tak że z dowolnych nieskończenie wielu kawałków można złożyć okrąg wyjściowy, używając tylko [[Obrót|obrotów]]. Niech zbiór <math>M</math> będzie wybrany jak powyżej. Dla <math>q\in \mathbb{Q}\cap [0,1)</math> połóżmy <math>M^q=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\}.</math> Wówczas <math>\{M^q:q\in \mathbb{Q}\cap [0,1)\}</math> jest przeliczalną rodziną parami [[Zbiory rozłączne|rozłącznych]] podzbiorów okręgu <math>O.</math> Przypuśćmy, że <math>A\subseteq \mathbb{Q}\cap [0,1)</math> jest zbiorem nieskończonym. Ustalmy bijekcję <math>f_A\colon A \to \mathbb{Q}\cap [0,1)</math> i zauważmy, że
:: <math>O=\bigcup\limits_{q\in A} F_q[M^q],</math> gdzie <math>F_q\colon O \to O\colon e^{2\pi ri}\mapsto e^{2\pi(r+f_A(q)-q)i}</math> jest obrotem o kąt <math>(f_A(q)-q)\cdot 2\pi.</math>

* Mazurkiewicz i Sierpiński podali w 1914 następujący przykład paradoksalnego (ze względu na izometrie) podzbioru płaszczyzny. Jak wcześniej, utożsamiamy płaszczyznę ze zbiorem liczb zespolonych. Niech
:: <math>Z=\{a_0+a_1e^i+a_2e^{2i}+\ldots+a_ke^{ki}:k\in \mathbb{N}\ \wedge\ a_0,\dots,a_k\in \mathbb{N}\},</math>
:: <math>Z_0=\{a_1e^i+a_2e^{2i}+\ldots+a_ke^{ki}:k\in \mathbb{N}\setminus\{0\} \wedge\ a_1,\dots,a_k\in \mathbb{N}\},</math>
:: <math>Z_+=\{a_0+a_1e^i+a_2e^{2i}+\ldots+a_ke^{ki}:k\in \mathbb{N}\ \wedge\ a_0,\dots,a_k\in \mathbb{N}\ \wedge\ a_0>0\}.</math>
: Można łatwo sprawdzić, że <math>Z=Z_0\cup Z_+,</math> <math>Z_0\cap Z_+=\emptyset</math> (przypomnijmy, że <math>e^i</math> jest [[Liczba przestępna|liczbą przestępną]]) oraz
:: <math>F_0[Z_0]=Z</math> gdzie <math>F_0\colon z\mapsto e^{-i}\cdot z</math> jest obrotem, a
:: <math>F_+[Z_+]=Z</math> gdzie <math>F_+\colon z\mapsto z-1</math> jest [[Translacja (matematyka)|przesunięciem]].

== Rozkłady paradoksalne ==
=== Definicje ===
Przypuśćmy, że [[Grupa (matematyka)|grupa]] <math>G</math> [[Działanie grupy na zbiorze|działa]] na zbiorze <math>X.</math>
* Powiemy, że zbiór <math>A\subseteq X</math> jest '''paradoksalny ze względu na działanie grupy ''G''''', jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory <math>B_0,\dots,B_n,C_0,\dots,C_m\subseteq A</math> (gdzie <math>n,m\in \mathbb{N}</math>) oraz elementy <math>g_0,\dots,g_n,h_0,\dots,h_m</math> grupy <math>G,</math> takie że
: <math>A=\bigcup\limits_{i=0}^n g_i[B_i]</math> oraz <math>A=\bigcup\limits_{j=0}^m h_j[C_j].</math>

Intuicyjnie, <math>A</math> jest paradoksalny ze względu na działanie grupy <math>G,</math> jeśli można podzielić zbiór <math>A</math> na skończenie wiele kawałków, z których można złożyć dwie kopie zbioru <math>A,</math> używając bijekcji wyznaczonych przez elementy grupy <math>G.</math>
* Zbiór <math>A\subseteq X</math> jest '''σ-paradoksalny ze względu na działanie grupy ''G''''', jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory <math>B_0,B_1\dots,C_0,C_1\ldots\subseteq A</math> oraz elementy <math>g_0,g_1,\dots,h_0,h_1\ldots</math> grupy <math>G,</math> takie że
: <math>A=\bigcup\limits_{i=0}^\infty g_i[B_i]</math> oraz <math>A=\bigcup\limits_{j=0}^\infty h_j[C_j].</math>
* Niech <math>A,B\subseteq X.</math> Powiemy, że zbiory <math>A</math> i <math>B</math> są ''kawałkami <math>G</math>-równoważne'', jeśli można wybrać <math>A_0,A_1,\dots, A_n\subseteq A,</math> <math>B_0,B_1,\dots, B_n\subseteq B,</math> <math>n\in \mathbb{N},</math> oraz <math>g_0,g_1,\dots,g_n\in G,</math> tak że
:: (a) <math>A_i\cap A_j=\emptyset=B_i\cap B_j</math> dla <math>i<j\leqslant n,</math>
:: (b) <math>A = \bigcup_{i=0}^n A_i,</math> <math>B= \bigcup_{i=0}^n B_i</math>
:: (c) <math>g_i(A_i)=B_i</math> dla każdego <math>i\leqslant n.</math>

=== Przykłady ===
* Zakładając aksjomat wyboru, okrąg jednostkowy jest σ-paradoksalny ze względu na grupę obrotów <math>SO_2</math> okręgu. (Zobacz dyskusję zbioru Vitalego wcześniej.)
* Zbiór <math>Z</math> podany przez Mazurkiewicza i Sierpińskiego (dyskutowany wcześniej) jest paradoksalny ze względu na grupę izometrii płaszczyzny.
[[Plik:Paradoxical decomposition F2.svg|mały|250px|Zbiory <math>S(a^{-1})</math> i <math>aS(a^{-1})</math> zaznaczone na grafie Cayleya grupy wolnej <math>F_2</math>]]
[[Plik:Cayley backward.gif|mały|250px|Animacja dowodu twierdzenia Banacha-Tarskiego za pomocą grafu Cayleya opartego na [[fraktal]]u]]
* Rozważmy [[Grupa wolna|grupę wolną]] <math>F_2</math> o dwóch generatorach <math>a</math> i <math>b</math> działającą na sobie przez [[mnożenie]] z lewej strony. (Tak więc elementowi <math>g\in F_2</math> odpowiada bijekcja <math>F_2\ni h\mapsto g h\in F_2.</math>) Dla <math>x\in \{a,a^{-1},b,b^{-1}\}</math> niech <math>S(x)</math> będzie zbiorem wszystkich elementów grupy <math>F_2</math> (słów w formie nieskracalnej) które zaczynają się od <math>x.</math> Zauważmy, że
:: <math>F_2=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})</math> i zbiory występujące w tej sumie są rozłączne, oraz
:: <math>F_2=aS(a^{-1})\cup S(a)</math> i <math>F_2=bS(b^{-1})\cup S(b).</math>
: Zatem <math>F_2</math> jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy <math>F_2.</math>

=== Twierdzenia ===
W poniższych stwierdzeniach zakładamy aksjomat wyboru (tzn. są to twierdzenia '''ZFC''').
* Przypuśćmy, że
:: (a) grupa <math>G</math> działa na zbiorze <math>X</math> w taki sposób że żadne z odwzorowań <math>X\ni x\mapsto g(x)\in X</math> nie ma [[Punkt stały|punktów stałych]] (dla <math>g\in G</math>),
:: (b) <math>G</math> jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy <math>G</math> (przez mnożenie z lewej strony).
: Wówczas zbiór <math>X</math> jest paradoksalny ze względu na działanie grupy <math>G.</math>
* Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli grupa wolna <math>F_2</math> działa na zbiorze <math>X</math> w taki sposób, że żadne z odwzorowań <math>X\ni x\mapsto g(x)\in X</math> nie ma punktów stałych (dla <math>g\in F_2</math>), to zbiór <math>X</math> jest paradoksalny ze względu na działanie grupy <math>F_2.</math>
* Istnieje przeliczalny podzbiór <math>D</math> sfery jednostkowej <math>S_2</math> taki, że zbiór <math>S_2\setminus D</math> jest paradoksalny ze względu na działanie grupy obrotów <math>SO_3.</math>
* Jeśli <math>D\subseteq S_2</math> jest przeliczalny, to zbiory <math>S_2</math> i <math>S_2\setminus D</math> kawałkami <math>SO_3</math>-równoważne.

Bezpośrednio z dwóch powyższych twierdzeń możemy wywnioskować twierdzenie Banacha-Tarskiego:
* Sfera jednostkowa <math>S_2</math> jest paradoksalna ze względu na działanie grupy obrotów <math>SO_3.</math>

Kolejne wyniki są wnioskami z powyższego twierdzenia. Niech <math>I_3</math> będzie grupą izometrii przestrzeni <math>\mathbb{R}^3.</math>
* Każda [[kula]] w <math>\mathbb{R}^3</math> jest paradoksalna ze względu na działanie grupy <math>I_3.</math> Również sama przestrzeń <math>\mathbb{R}^3</math> jest paradoksalna ze względu na działanie tej grupy.
* Jeśli <math>A,B\subseteq \mathbb{R}^3</math> są [[Zbiór ograniczony|zbiorami ograniczonymi]] o niepustych [[Wnętrze (matematyka)|wnętrzach]], to zbiory <math>A,</math> <math>B</math> są kawałkami <math>I_3</math>-równoważne.

== Zobacz też ==
{{Commonscat|Banach-Tarski paradox}}
* [[kwadratura koła Tarskiego]]
* [[miara (matematyka)|miara]]
* [[zbiór Bernsteina]]
* [[zbiór Vitalego]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Pismo Delta | url = temat/matematyka/analiza/teoria_miary/2017/03/25/O_kul_rozmnazaniu/ | autor = Joanna Jaszuńska | tytuł = O kul rozmnażaniu | data = kwiecień 2017 | data dostępu = 2022-07-19}}
* {{MathWorld|adres=Banach-TarskiParadox |tytuł=Banach-Tarski Paradox |data dostępu=12 grudnia 2020}}
* {{Cytuj stronę |url = http://planetmath.org/encyclopedia/BanachTarskiParadox.html |tytuł = Artykuł o paradoksie na PlanetMath |opublikowany = planetmath.org |archiwum = https://web.archive.org/web/20060511161509/http://planetmath.org/encyclopedia/BanachTarskiParadox.html |zarchiwizowano = 2006-05-11 |język = en}}
* {{otwarty dostęp}} [[Michael Stevens]], ''[https://www.youtube.com/watch?v=s86-Z-CbaHA The Banach–Tarski Paradox]'', kanał Vsauce na [[YouTube]], 1 sierpnia 2015 [dostęp 2021-03-15]. {{lang|en}}
* {{otwarty dostęp}} Jacqueline Doan i Alex Kazachek, ''[https://www.youtube.com/watch?v=seugK4PrW48 Does math have a major flaw?]'', kanał TED-Ed na [[YouTube]], 23 kwietnia 2024 [dostęp 2024-08-23].

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Paradoksy w matematyce]]
[[Kategoria:Teoria miary]]
[[Kategoria:Polskie odkrycia matematyczne]]
[[Kategoria:Hasła kanonu polskiej Wikipedii]]
[[Kategoria:Stefan Banach]]