Tekst źródłowy strony Parabola (matematyka)

{{Inne znaczenia|krzywej matematycznej|[[Parabola|inne znaczenia]]}}
[[Plik:Parabola.svg|thumb|250px|Przykład paraboli]]
'''Parabola''' (z [[gr.]] παραβολή od παρα ''obok, przy'' i βολή ''rzut''<ref>{{cytuj | url = https://www.lexico.com/definition/Parabola | język = en | data dostępu = 2021-04-25 | tytuł = parabola | opublikowany = Lexico}}</ref>) – [[krzywa]] będąca zbiorem [[punkt (geometria)|punktów]] równoodległych od prostej zwanej ''kierownicą paraboli'' i punktu zwanego ''ogniskiem paraboli''<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Parabola | id = 3954169 | data dostępu = 2021-07-30 }}</ref>.

Parabola jest jedną z [[krzywa stożkowa|krzywych stożkowych]].

== Własności ==
Parabola ma jedną [[symetria osiowa|oś symetrii]] – jest nią prosta prostopadła do kierownicy i przechodząca przez ognisko. Parabola nie ma środka symetrii. Punkt przecięcia paraboli z osią nazywa się ''wierzchołkiem paraboli''. Odcinek łączący ognisko paraboli z danym punktem nazywa się ''promieniem wodzącym''.

Prosta ma z parabolą najwyżej dwa punkty wspólne. Każda prosta równoległa do osi przecina parabole w jednym punkcie. Jeżeli ma jeden punkt wspólny i nie jest równoległa do osi, to jest styczna do tej paraboli.

Każde dwie parabole są figurami [[Podobieństwo|podobnymi]].

Prosta równoległa do osi i przechodząca przez środek dowolnej cięciwy paraboli przecina parabolę w punkcie, w którym styczna do paraboli jest równoległa do tej cięciwy.

Tor lotu ciała poruszającego się bez [[Opór aero(hydro)dynamiczny|oporu powietrza]], ukośnie do linii sił jednorodnego [[grawitacja|pola grawitacyjnego]] jest parabolą. Po uwzględnieniu oporu powietrza otrzymuje się balistyczny [[krzywa balistyczna|tor lotu pocisku]].

Styczna do paraboli w danym punkcie jest dwusieczną między promieniem wodzącym tego punktu i prostą przechodzącą przez ten punkt równoległą do osi.
Własność ta jest podstawą konstrukcji [[zwierciadło optyczne|zwierciadła parabolicznego]].
Lustra o przekroju paraboli (i symetrii obrotowej) nie posiadają wady [[aberracja sferyczna|aberracji sferycznej]] przy odbijaniu dostatecznie dalekich obiektów – promienie światła równoległe do osi symetrii lustra po odbiciu od lustra skupiają się w ognisku paraboli.

== Równania ==
=== Współrzędne kartezjańskie ===
[[Plik:Parabola focus directrix.svg|thumb|500px|Właściwości odbijania promieni oraz ognisko (niebieskie) i kierownica (zielona)]]
W [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjańskim układzie współrzędnych]] parabola z osią symetrii równoległą do osi <math>y,</math> wierzchołkiem o współrzędnych <math>(h, k),</math> ogniskiem <math>(h,k+p)</math> i kierownicą <math>y=k-p</math> opisana jest [[równanie]]m:
: {{wzór|<math>(x - h)^2 = 4p(y - k).</math>|1}}

Analogicznie, parabola z poziomą osią symetrii:
: {{wzór|<math>(y - h)^2 = 4p(x - k).</math>|2}}

[[Wykres funkcji|Wykresem]] dowolnej [[Funkcja kwadratowa|funkcji kwadratowej]]
: {{wzór|<math>y = ax^2 + bx + c</math>|3}}

jest parabola z pionową osią symetrii, jest to przykład [[wielomian]]u stopnia drugiego. Analogiczna postać równania paraboli z poziomą osią symetrii:
: {{wzór|<math>x = ay^2 + by + c.</math>|4}}

Związek pomiędzy równaniami {{LinkWzór|1}} i {{LinkWzór|3}} oraz {{LinkWzór|2}} i {{LinkWzór|4}} jest dany przez:
: <math>a = \frac{1}{4p},</math>
: <math>b = -\frac{h}{2p},</math>
: <math>c = \frac{h^2}{4p} + k.</math>

Parabola o równaniu <math>y = ax^2 + bx + c</math> ma ognisko w punkcie <math>(\tfrac{-b}{2a}, \tfrac{-\Delta+1}{4a} ).</math>

Równanie parametryczne paraboli:
: <math>\begin{cases}x = 2pt + h \\ y = pt^2 + k \end{cases}.</math>

=== Współrzędne biegunowe ===
We [[Układ współrzędnych biegunowych|współrzędnych biegunowych]] parabola z ogniskiem w punkcie <math>(0,0)</math> i wierzchołkiem leżącym na ujemnej części osi <math>x</math> (będącej osią symetrii paraboli) opisana jest równaniem:
: <math>r (1 - \cos \theta) = \ell.</math>

== Zobacz też ==
{{Commonscat|Parabolas}}
{{wikisłownik|parabola}}
* [[paraboloida]]
* [[walec paraboliczny]]
* [[Zwierciadło optyczne|zwierciadło paraboliczne]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Pismo Delta | url = 2018/06/odbicia-w-paraboli/ | autor = Joanna Jaszuńska | tytuł = Odbicia w paraboli | data = czerwiec 2018 | data dostępu = 2024-10-30 }}
* {{MathWorld | adres = Parabola | tytuł = Parabola | data dostępu = 12 grudnia 2020 }}
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Parabola Parabola]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

{{Krzywe stożkowe}}
{{Bryły obrotowe}}
{{Wielomiany}}
{{Funkcje elementarne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Krzywe stożkowe]]