Tekst źródłowy strony Płaszczyzna Z

'''Płaszczyzna Z,''' '''płaszczyzna z''' – płaszczyzna zmiennych [[liczby zespolone|zespolonych]] uzyskanych na drodze przekształcenia do dziedziny <math>z</math> za pomocą [[Transformacja Z|transformaty Z]] – w [[teoria sterowania|teorii sterowania]] jedno z fundamentalnych narzędzi analizy i syntezy [[układ dyskretny|układów dyskretnych]]. Jej odpowiednikiem dla [[układ regulacji ciągłej|układów czasu ciągłego]] jest [[płaszczyzna S]].

== Własności ==
Zmienna <math>z</math> jest zmienną [[liczby zespolone|zespoloną]] z częścią rzeczywistą i częścią urojoną. Innymi słowy <math>z</math> można zdefiniować w następujący sposób:
: <math>z = \operatorname{Re}(z) + j\operatorname{Im}(z).</math>

Jako że zmienna <math>z</math> może być rozbita na dwa niezależne komponenty, to często sensowne jest przedstawienie tej zmiennej na '''płaszczyźnie Z''', gdzie oś pozioma reprezentuje rzeczywistą część <math>z,</math> a pionowa oś – amplitudę urojonej części <math>z.</math>

Warto przy tym zauważyć, że jeśli zdefiniujemy <math>z,</math> korzystając z wyrażeń [[transformata z gwiazdką|transformaty z gwiazdką]]:
: <math>z = e^{sT},</math>

to można dokonać rozdzielenia <math>s</math> na część rzeczywistą i urojoną:
: <math>s = \sigma + j\omega.</math>

Po włączeniu powyższego do równania na <math>z</math> uzyskuje się:
: <math>z = e^{(\sigma + j\omega)T} = e^{\sigma T} e^{j\omega T}.</math>

Korzystając z [[Wzór Eulera|wzoru Eulera]], można rozdzielić eksponentę zespoloną jako:
: <math>z = e^{\sigma T} (\cos(\omega T) + j\sin(\omega T)).</math>

Jeśli ponadto zdefiniuje się nowe zmienne <math>M</math> i <math>\phi,</math> takie że:
: <math>M = e^{\sigma T},</math>
: <math>\phi = \omega T,</math>

można zapisać <math>z</math> korzystając z wyrażeń <math>M</math> i <math>\phi,</math> jako równanie Eulera:
: <math>z = M\cos(\phi) + jM\sin(\phi).</math>

Co stanowi reprezentację biegunową (polarną) zmiennej <math>z,</math> z amplitudą funkcji biegunowej <math>(M)</math> opartą na części rzeczywistej zmiennej <math>s,</math> a kąt funkcji biegunowej <math>(\phi)</math> oparty jest na urojonej części <math>s.</math>

== Notacja ==
Uwaga: Ściśle rzecz biorąc nazwy zmiennych zapisuje się małą literą (np. zmienna <math>s</math>) a płaszczyzn i transformat dużą: ''płaszczyzna Z'', ''transformata Z''. W praktyce jednak nie zawsze jest to przestrzegane i spotyka się zapisy w każdym przypadku, także z małą literą np. ''płaszczyzna z''.

== Zobacz też ==
* [[płaszczyzna S]]
* [[płaszczyzna w]]

[[Kategoria:Analiza zespolona]]
[[Kategoria:Teoria sterowania]]