Tekst źródłowy strony Operatory kreacji i anihilacji

'''Operatory kreacji i anihilacji''' – [[Przekształcenie liniowe|operatory liniowe]] wprowadzone przez [[Paul Dirac|Diraca]] do znalezienia rozwiązań [[Równanie Schrödingera|równania Schrödingera]] dla [[Kwantowy oscylator harmoniczny|oscylatora harmonicznego]]. Operatory te działają na stany własne [[Operator Hamiltona|operatora Hamiltona]] oscylatora w ten sposób, że operator kreacji dodaje jeden kwant energii do układu drgającego, a operator anihilacji odejmuje jeden kwant; jeżeli zaś operator anihilacji działa na najniższy stan, w jakim może być oscylator, to w wyniku daje 0.

Proste uogólnienie tych operatorów pozwoliło na przedstawienie pól [[Bozony|bozonowych]] i [[Fermiony|fermionowych]] jako stanów kwantowych (w tzw. procesie [[druga kwantyzacja|drugiej kwantyzacji]]), gdzie operatory kreacji i anihilacji działają w [[przestrzeń Foka|przestrzeni Foka (Focka)]] na stany wielocząstkowe, zwiększając lub zmniejszając liczby cząstek pola. Dzięki temu udało się opisać procesy kreacji i anihilacji cząstek (np. proces emisji promieniowania przez atomy, proces anihilacji pary elektron – pozyton), co było nie do opisu w tzw. mechanice kwantowej pierwszej kwantyzacji (opartej na równaniach Schrödingera, [[równanie Pauliego|Pauliego]] czy [[równanie Diraca|Diraca]]), gdzie liczby cząstek były stałe.

Przykładem jest kwantyzacja [[Pole elektromagnetyczne|pola elektromagnetycznego]] – kwantami tego pola są [[foton]]y, które są bozonami.

== Operatory kreacji i anihilacji oscylatora harmonicznego ==
Operatory kreacji i anihilacji pojawiły się w fizyce z chwilą prób rozwiązania metodą algebraiczną zagadnienia ruchu oscylatora kwantowego.

=== Definicja operatorów kreacji i anihilacji ===
Operatory kreacji i anihilacji pojedynczego kwantu (pola kwantowego lub układu drgającego, obracającego się itp.) definiujemy następująco:
: <math>\hat{a}^\dagger |n \rangle = \sqrt{n+1} |n+1 \rangle,</math>
: <math>\hat a|0\rangle=0,</math>
: <math>\hat{a} |n \rangle = \sqrt{n}|n-1 \rangle</math> dla <math>n\geqslant1,</math>

gdzie:
: <math>\hat{a}^\dagger</math> – operator kreacji,
: <math>\hat{a}</math> – operator anihilacji.

=== Przykład ===
# Operator kreacji <math>\hat{a}^\dagger</math> transformuje
#: stan <math>|n\rangle</math> oscylatora o energii <math>E_n=\hbar\omega(1/2+n)</math>
#: do stanu <math>|n+1\rangle</math> o energii <math>E_{n+1}=\hbar\omega(3/2+n)=E_n+\hbar\omega,</math>
#: czyli '''dodaje 1 kwant''' energii.
# Operator anihilacji <math>\hat{a}</math> transformuje
#: stan <math>|n\rangle</math> o energii <math>E_n</math>
#: do stanu <math>|n-1\rangle</math> o energii <math>E_{n-1}=E_n-\hbar\omega,</math>
#: czyli
#:* '''odejmuje 1 kwant''' energii
#:* lub zeruje funkcję falową, gdy działa na najniższy możliwy stan – stan <math>|0\rangle.</math>

=== Wyrażenie dowolnego stanu przez operator kreacji ===
Dowolny stan <math>|n\rangle</math> pola kwantowego, zawierający n kwantów (lub stan układu oscylującego, obracającego się itp., zawierający n kwantów) można wyrazić za pomocą <math>n</math>-krotnego działania operatora kreacji na najniższy stan oscylatora <math>|0\rangle{:}</math>
: <math>|n\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}(a^\dagger)^n|0\rangle.</math>

W przypadku pól kwantowych stan <math>|0\rangle</math> nazywa się stanem próżni. Operatory kreacji i anihilacji wykorzystuje się w przedstawieniu stanów pół kwantowych (patrz drugi rozdział).

=== Działanie operatorów na stany sprzężone ===
: <math>\langle n| \hat{a} = \langle n+1| \sqrt{n+1},</math>
: <math>\langle n| \hat{a}^\dagger = \langle n-1| \sqrt{n}.</math>

=== Reguły komutacji ===
: <math>[\hat{a}, \hat{a}] = [\hat{a}^\dagger, \hat{a}^\dagger] =0,</math>
: <math>[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1,</math>

gdzie:
: <math>[A,B] = AB - BA</math> – [[Komutator (matematyka)|komutator]].

=== Reprezentacja macierzowa ===
Stany <math>|n\rangle</math> są wzajemnie ortogonalne – można wybrać je na bazę przestrzeni Hilberta. Bazę tą nazywa się bazą liczby cząstek.

Operatory kreacji i anihilacji w tej bazie mają następujące reprezentacje:
: <math>a^\dagger =\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & \dots & 0 &\dots \\
\sqrt{1} & 0 & 0 & \dots & 0 & \dots\\
0 & \sqrt{2} & 0 & \dots & 0 & \dots\\
0 & 0 & \sqrt{3} & \dots & 0 & \dots\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \dots\\
0 & 0 & 0 & \dots & \sqrt{n} &\dots & \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\ddots
\end{pmatrix}</math>

oraz
: <math>a =\begin{pmatrix}
0 & \sqrt{1} & 0 & 0 & \dots & 0 & \dots \\
0 & 0 & \sqrt{2} & 0 & \dots & 0 & \dots \\
0 & 0 & 0 & \sqrt{3} & \dots & 0 & \dots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & \vdots & \dots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \sqrt{n} & \dots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & \ddots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{pmatrix}</math>

Elementy <math>a^\dagger_{mn}</math> macierzy operatora <math>a^\dagger</math> wyznacza się obliczając działania operatora na stany bazowe, tj.
: <math>a^\dagger_{n m} = \langle n \mid a^\dagger \mid m\rangle</math>

i podobnie dla operatora <math>a</math>
: <math>a_{n m} = \langle n \mid a \mid m\rangle.</math>

Dowód.

1) Dla operatora kreacji mamy obliczamy:
: <math>a^\dagger_{n m} = \langle n \mid a^\dagger \mid m\rangle
= \sqrt{m+1}\langle n  |m+1\rangle
= \sqrt{m+1}\, \delta_{n,m+1}</math>

Wyrazy niezerowe otrzymamy tylko gdy <math>m=n-1,</math> czyli niezerowe są wyrazy
: <math>a^\dagger_{n\, n-1} = \sqrt{n}</math>

Czyli różne od zera są wyrazy: <math>a^\dagger_{1\, 0}= \sqrt{1},
a^\dagger_{2\, 1}= \sqrt{2},
a^\dagger_{3\, 2}= \sqrt{3}, \dots,</math> cnd.

2) Analogicznie dowodzi się dla operatora anihilacji.

== Operatory kreacji i anihilacji w kwantowaniu pól ==
W klasycznej fizyce odróżnia się ciała materialne i pola fizyczne. Typowym przykładem pola jest pole elektromagnetyczne (lub pole grawitacyjne, jądrowe itp.). W kwantowej teorii pola wszystkie cząstki traktuje się jako pewne pola fizyczne, podobnie jak pole elektromagnetyczne czy grawitacyjne. Różnica jest taka, że w klasycznej fizyce uznawano, że pola mogą przyjmować dowolne energie. Eksperymenty pokazały jednak, że każda monochromatyczna fala elektromagnetyczna jest skwantowane, tzn. może mieć tylko skokowe wartości energii (np. [[Efekt fotoelektryczny|zjawisko fotoelektryczne]]). Co do pola grawitacyjnego nie ma jasności na temat jego kwantowania. Podobnie, układ fizyczny złożony z tego samego rodzaju cząstek (np. elektronów, protonów) może występować wyłącznie w postaci zbioru zawierającego całkowitą nieujemną liczbę cząstek.

W opisie teoretycznym uwzględnia się tę własność, dokonując tzw. drugiej kwantyzacji. Operatory kreacji i anihilacji pozwalają przedstawić pola fizyczne w postaci superpozycji stanów o różnych liczbach cząstek, działając w [[przestrzeń Foka|przestrzeni Foka (Focka)]] na stany wielocząstkowe:
* <math>\hat{a}^\dagger</math> – operator kreacji transformuje stany z przestrzeni <math>n</math> cząstkowej do <math>n+1</math> cząstkowej,
* <math>\hat{a}</math> – operator anihilacji transformuje stany z przestrzeni <math>n</math> cząstkowej do <math>n-1</math> cząstkowej lub zeruje funkcję falową – jeśli operator ten działał na stan próżni,

przy czym odróżnia się operatory '''bozonowe''' – działają na bozony oraz operatory '''fermionowe''' – działają na fermiony.

=== Reguły komutacyjne ===
Istnieją dwie reguły definiujące operatory kreacji i anihilacji.

Reguła '''antykomutacyjna''' Jordana-Wignera definiująca operatory dla [[Fermiony|fermionów]]:
: <math>\{\hat{a}_i, \hat{a}_j\} =\{\hat{a}^\dagger_i, \hat{a}^\dagger_j\}= 0,</math>
: <math>\{\hat{a}_i, \hat{a}_j^\dagger\} = \delta_{ij},</math>

gdzie:
: <math>\{A,B\} = AB + BA</math> – tzw. antykomutator.

Reguła [[Komutator (matematyka)|'''komutacyjna''']] Bosego definiująca operatory dla [[Bozony|bozonów]]:
: <math>[\hat{a}_i, \hat{a}_j]= [\hat{a}^\dagger_i, \hat{a}^\dagger_j]=0,</math>
: <math>[\hat{a}_i, \hat{a}_j^\dagger]= \delta_{ij}.</math>

=== Wyrażenie dowolnego stanu pola przez operator kreacji ===
Definiując zbiór operatorów kreacji i anihilacji, wraz z odpowiednimi relacjami komutacji (antykomutacji) i stanem próżni, otrzymujemy zbiór stanów wielocząstkowych. Stan o określonej liczbie cząstek <math>|n_1,n_2,\dots,\rangle</math> otrzymuje się jako wynik działania operatorów kreacji <math>(a^\dagger_1)^{n_1}\cdot(a^\dagger_2)^{n_2}
\dots</math> na stan próżni <math>|0_1,0_2,\dots\rangle</math> w ten sposób że np.
: <math>|n_1\rangle =\frac{1}{\sqrt{n_1!}}(a^\dagger)^{n_1}|0\rangle</math> itd.,

przy czym jeżeli <math>|n_1\rangle</math> oznacza stan bozonowy, to w powyższym wzorze występuje operator kreujący bozony, gdy zaś jest to stan fermionowy – to mamy tam operator kreujący fermiony. Pełny obraz, jaki daje [[kwantowa teoria pola]], uwzględnia dodatkowo, że operatory pola są scharakteryzowane przez inne liczby kwantowe, np. przez [[Spin (fizyka)|spin]], z jakim kreują cząstki.

Np. dla opisu stanu elektronu w atomie wodoru mamy zespół 4 liczb kwantowych, czyli
: <math>i\equiv (n, l, m_l, m_s),</math>

gdzie: <math>n</math> – główna liczba kwantowa, <math>l</math> – liczba kwantowa orbitalnego momentu pędu, <math>m_l</math> – liczba kwantowa rzutu orbitalnego momentu pędu na wybrany kierunek, <math>m_s</math> – liczba kwantowa rzutu spinowego momentu pędu na wybrany kierunek (liczba spinowa dla elektronów wynosi zawsze <math>s=1/2</math>). Dlatego np. operator kreacji elektronu w danym stanie w atomie wodoru ma postać
: <math>a^\dagger_i \equiv a^\dagger_{n,l,m_l, m_s}</math>

Elektron może być w superpozycji stanów – wtedy operator kreujący taki stan jest kombinacją liniową operatorów <math>a^\dagger_i , a^\dagger_j, \dots</math>

=== Operator liczby cząstek układu kwantowego ===
Operatory kreacji i anihilacji zmieniają liczbę cząstek układu kwantowego. Operator całkowitej liczby cząstek ma postać
: <math>N = \sum_i n_i = \sum_i a^\dagger_i a_i,</math>

gdzie indeksy <math>i</math> reprezentują [[liczby kwantowe]]. Indeksy te odróżniają różne możliwe stany układu, zgodnie z tym, co opisano wyżej.

=== Inne operatory ===
<br />
== Zobacz też ==
* [[kwantowa teoria pola]]
* [[kwantowy oscylator harmoniczny]]

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę|nazwisko = Liboff |imię = R.L.|tytuł = Wstęp do mechaniki kwantowej|rok = 1987|wydawca = PWN|miejsce = Warszawa|strony = 164–180}}
* Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, and Frank Laloë, ''Quantum Mechanics'', Vol. I, 1991. Wiley, New York, {{ISBN|0-471-16433-X}}, s. 489–499.

{{Mechanika kwantowa}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Przestrzenie Hilberta]]