Tekst źródłowy strony Operator zwarty

'''Operator zwarty''' ('''operator pełnociągły''') – [[Przekształcenie liniowe|operator liniowy]] między [[przestrzeń Banacha|przestrzeniami Banacha]] przeprowadzający [[zbiór ograniczony|ograniczone]] podzbiory dziedziny na [[Podprzestrzeń warunkowo zwarta|warunkowo zwarte]] podzbiory przeciwdziedziny. Innymi słowy, operator zwarty to operator mający tę własność, że [[domknięcie (topologia)|domknięcie]] [[Obraz (matematyka)|obrazu]] zbioru ograniczonego jest [[Przestrzeń zwarta|zwarte]]<ref name="conway_fa41">{{Cytuj książkę |autor = John B. Conway |tytuł = A Course in Functional Analysis |seria = Graduate Texts in Mathematics 96 |wydawca = Springer |data = 2007 |isbn = 1441930922 |strony = 41}}</ref>. Każdy operator zwarty jest automatycznie [[Operator liniowy ograniczony|ograniczony]].

Dla operatora liniowego <math>T\colon E \to F</math> przekształcającego przestrzeń Banacha <math>E</math> w <math>F</math> następujące warunki równoważne i bywają obierane za definicję operatora zwartego przez różnych autorów<ref name="conway_fa41" />.
# [[domknięcie (topologia)|domknięcie]] obrazu <math>T(B)</math> jest [[Przestrzeń zwarta|zwarte]] w <math>F</math> dla każdego zbioru ograniczonego <math>B</math> w <math>E</math> (tj. <math>T</math> jest zwarty według wprowadzonej wyżej definicji),
# domknięcie obrazu <math>T(B)</math> jest zwarte w <math>F,</math> gdzie <math>B</math> oznacza kulę jednostkową w <math>E,</math>
# obraz <math>T(B)</math> jest [[zbiór całkowicie ograniczony|całkowicie ograniczony]] w <math>F</math> dla każdego [[zbiór ograniczony|zbioru ograniczonego]] <math>B</math> w <math>E,</math>
# dla każdego [[zbiór ograniczony|ograniczonego ciągu]] <math>(x_n)</math> punktów przestrzeni <math>E</math> ciąg <math>(Tx_n)</math> zawiera [[podciąg (matematyka)|podciąg]] zbieżny{{odn|Megginson|1998|s=320}}.

== Podstawowe fakty ==
Dalej, <math>E,</math> <math>F</math> oznaczają ustalone przestrzenie Banacha.
* Każdy operator zwarty <math>T\colon E \to F</math> jest ograniczony (z uwagi na całkowitą ograniczoność obrazu kuli jednostkowej dziedziny operatora), a więc ciągły.
* Z [[lemat Riesza#Zastosowanie: niezwartość kuli jednostkowej nieskończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej|lematu Riesza]] wynika, że operator identycznościowy na <math>E</math> jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń <math>E</math> jest skończenie wymiarowa.
* Operator zwarty ma domknięty obraz wtedy i tylko wtedy gdy obraz ten jest skończenie wymiarowy{{odn|Megginson|1998|s=321}}. Rzeczywiście, każda skończenie wymiarowa podprzestrzeń [[Przestrzeń unormowana|przestrzeni unormowanej]] jest domknięta, więc jeżeli operator ma skończenie wymiarowy obraz, to obraz ten jest domknięty. W przeciwną stronę, jeżeli <math>T\colon E \to F</math> jest operatorem zwartym i obraz <math>T(E)</math> jest domknięty, to jest on skończenie wymiarowy. Istotnie, domkniętość obrazu implikuje, że on sam jest przestrzenią Banacha. Z [[twierdzenie o odwzorowaniu otwartym|twierdzenia o odwzorowaniu otwartym]], operator <math>T\colon E \to T(E)</math> jest [[Odwzorowania otwarte i domknięte|otwarty]]. Zakładając, że obraz <math>T(E)</math> jest ponadto nieskończenie wymiarowy, otwartość <math>T</math> prowadzi to do sprzeczności ze zwartością, ponieważ obraz kuli jednostkowej <math>B</math> w <math>E</math> poprzez <math>T</math> nie może być wówczas warunkowo zwarty w <math>T(E)</math> (a więc i także w <math>F</math>).
* Obraz każdego operatora zwartego <math>T\colon E \to F</math> jest [[przestrzeń ośrodkowa|ośrodkowy]]{{odn|Megginson|1998|s=321}}{{odn|Conway|2010|s=181}}.
* [[Twierdzenie Schaudera o operatorze sprzężonym]]: operator liniowy <math>T\colon E \to F</math> jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego [[Operator sprzężony (przestrzenie Banacha)|operator sprzężony]] <math>T^*\colon F^* \to E^*</math> jest zwarty.
* [[Widmo (matematyka)|Widmo]] operatora zwartego na zespolonej przestrzeni Banacha jest co najwyżej przeliczalne i jego jedynym [[Punkt skupienia zbioru|punktem skupienia]] może być 0{{odn|Kreyszig|1989|s=421}}{{odn|Kreyszig|1989|s=432}}. Ponadto dla operatorów zwartych zachodzi [[alternatywa Fredholma]]{{odn|Kreyszig|1989|s=453–454}}.

== Opis operatorów zwartych poprzez ciągi zbieżne do zera ==
Dla danego operatora liniowego <math>T\colon E \to F</math> między przestrzeniami Banacha następujące warunki są równoważne
: 1. operator <math>T</math> jest zwarty,
: 2. istnieje taki ciąg <math>(f_n)</math> zbieżny do 0 w <math>E^*,</math> że dla wszelkich <math>x \in E</math> zachodzi nierówność
:: <math>\|Tx\| \leqslant |f_n(x)|,</math>
: 3. istnieje zbieżny do zera ciąg liczb rzeczywistych <math>(c_n)</math> oraz taki ograniczony ciąg <math>(f_n)</math> w <math>E^*,</math> że dla wszelkich <math>x \in E</math> zachodzi nierówność
:: <math>\|Tx\| \leqslant |c_n \cdot f_n(x)|,</math>
: 4. istnieje taka domknięta [[podprzestrzeń liniowa]] <math>H</math> [[przestrzeń c0|przestrzeni ''c''<sub>0</sub>]], zwarty operator liniowy <math>S\colon E \to H</math> oraz ograniczony operator liniowy <math>R\colon H \to F,</math> że <math>T = RS</math>{{odn|Wong|1992|s=250–252}}.
Równoważność warunków 1. i 2. została udowodniona w 1971 przez Terzioğlu<ref>T. Terzioğlu, A characterization of compact linear mappings, ''Arch. Math''. '''22'''
(1971), 76–78.</ref>. Randke wykazał, że warunki 1. i 3. są równoważne<ref>D. Randtke, Characterizations of precompact maps, Schwanz spaces and nuclear spaces, ''[[Transactions of the American Mathematical Society|Trans. Amer. Math.]]'' '''165''' (1972), 87–101.</ref>.

== Własności ideałowe ==
Dla każdej przestrzeni Banacha <math>E</math> rodzina <math>K(E)</math> złożona ze wszystkich operatorów zwartych na <math>E</math> tworzy domknięty [[ideał (teoria pierścieni)|ideał dwustronny]] algebry Banacha <math>B(E)</math> wszystkich operatorów ograniczonych na <math>E</math>{{odn|Conway|2010|s=178}}{{odn|Megginson|1998|s=322}}.
* Algebra ilorazowa <math>B(E)/K(E)</math> nazywana jest ''algebrą Calkina'' przestrzeni <math>E.</math> Twierdzenie Calkina mówi, że jeżeli <math>H</math> jest [[przestrzeń ośrodkowa|ośrodkową]] [[przestrzeń Hilberta|przestrzenią Hilberta]], to <math>K(H)</math> jest jedynym domkniętym nietrywialnym ideałem <math>B(H)</math><ref>{{Cytuj pismo |nazwisko = Calkin |imię = J.W. |autor link = |tytuł = Two-sided ideals and congruences in the ring of bounded operators in Hilbert space |czasopismo = Annals of Mathematics |wolumin = 42 |wydanie = 4 |strony = 839–873 |miesiąc = Oct. |rok = 1941 |issn = |doi = 10.2307/1968771 |jstor=1968771}}</ref>.
* Ideał operatorów zwartych jest jedynym [[Ideał maksymalny|ideałem maksymalnym]] w <math>B(E)</math> w przypadku, gdy <math>E</math> jest [[przestrzeń c0|przestrzenią ''c''<sub>0</sub>]] bądź <math>E</math> jest [[przestrzeń Lp|przestrzenią ℓ<sub>''p''</sub>]] dla <math>1 \leqslant p < \infty.</math> [[Spiros A. Arjiros]] i Richard Haydon<ref>{{Cytuj pismo |imię = S.A. |nazwisko = Argyros |imię2 = R.G. |nazwisko2 = Haydon |tytuł = A hereditarily indecomposable <math>\mathcal{L}_\infty</math>-space that solves the scalar-plus-compact problem |czasopismo = Acta Mathematica |wolumin = 206 |wydanie = 1 |strony = 1–54 |data = 2011 |issn = |doi = 10.1007/s11511-011-0058-y}}</ref> podali przykład przestrzeni Banacha <math>E</math> z [[baza Schaudera|bazą Schaudera]] o tej własności, że [[przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|przestrzeń sprzężona]] <math>E^*</math> jest izomorficzna z <math>\ell_1</math> oraz każdy operator ograniczony <math>T</math> na <math>E</math> jest postaci <math>T = cI + S,</math> gdzie <math>c</math> jest pewnym skalarem, a <math>S</math> jest operatorem zwartym na <math>E.</math> Innymi słowy, ideał operatorów zwartych jest kowymiaru 1 w <math>B(E).</math>

== Zobacz też ==
* [[operator słabo zwarty]]
* [[operator ściśle singularny]]
* [[operator ściśle kosingularny]]
* [[twierdzenie spektralne]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Conway |imię = John B. |tytuł = A Course in Functional Analysis |seria = Graduate Texts in Mathematics 96 |wydanie = Second Edition |isbn = 1441930922 |wydawca = Springer-Verlag |miejsce = New York |rok = 2010 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kreyszig |imię = Erwin |tytuł = Introductory functional analysis with applications |wydawca = John Wiley & Sons Inc. |miejsce = New York |rok = 1989 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Megginson |imię = Robert E. |tytuł = An Introduction to Banach Space Theory |seria = Graduate Texts in Mathematics 183 |wydawca = Springer-Verlag |miejsce = New York |rok = 1998 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Wong |imię = Yau-Chuen |tytuł = Introductory Theory of Topological Vector Spaces |wydawca = CRC Press |miejsce = New York, Basel, Hong-Kong |rok = 1992 |isbn = 9780824787790 |seria = Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics |odn = tak}}

[[Kategoria:Przestrzenie Hilberta]]
[[Kategoria:Teoria operatorów na przestrzeniach Banacha]]