Tekst źródłowy strony Okrąg

{{Inne znaczenia|2=[[Okrąg (ujednoznacznienie)|Okrąg w innych znaczeniach tego słowa]]}}
[[Plik:Cirklo.svg|mały|Okrąg]]

'''Okrąg''' – [[zbiór]] wszystkich [[punkt (geometria)|punktów]] [[przestrzeń euklidesowa|płaszczyzny euklidesowej]] odległych od danego punktu o daną [[odległość]]. Ten ustalony punkt nazywa się ''środkiem'', a zadaną odległość – ''promieniem''<ref>{{Encyklopedia PWN | id = 3950520 | tytuł = Okrąg | data dostępu = 2021-09-15 }}</ref>. Zwykle przyjmuje się dodatkowo że promień musi być dodatni<ref>{{cytuj książkę|imię=Fritz|nazwisko=Reinhardt|imię2=Heinrich|nazwisko2=Soeder|tytuł=Atlas matematyki|wydawca=Prószyński i S-ka|rok=2003|isbn=83-7469-189-1|strony=201}}</ref>

Okrąg jest szczególnym przypadkiem [[Elipsa|elipsy]] o równych półosiach, jest to także 1-wymiarowa [[hipersfera]].

Okrąg jest [[brzeg (matematyka)|brzegiem]] pewnego [[koło|koła]].

== Okrąg w układzie współrzędnych ==
Niech <math>O(x_0,\ y_0)</math> będzie ustalonym punktem, zaś <math>r</math> ustaloną liczbą dodatnią. Okręgiem jest zbiór punktów <math>(x,\ y)</math> płaszczyzny euklidesowej spełniających równanie
: <math>(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2= r^2.</math>

Jest to wzór [[geometria analityczna|geometrii analitycznej]] obowiązujący w [[Układ współrzędnych kartezjańskich|kartezjańskim układzie współrzędnych]].

W tym samym układzie współrzędnych okrąg może być opisany również za pomocą [[równanie parametryczne|równania parametrycznego]]
: <math>\begin{cases} x = x_0 + r \cos \alpha \\ y = y_0 + r \sin \alpha \end{cases},</math>

gdzie parametr <math>\alpha \in [0,\ 2\pi).</math>

W [[Układ współrzędnych biegunowych|układzie współrzędnych biegunowych]], równanie okręgu o promieniu <math>r</math> i środku znajdującym się w biegunie układu współrzędnych, przyjmuje postać <math>r(\varphi) = r = const</math> dla dowolnego kąta <math>\varphi \in [0, 2\pi).</math>

== Powiązane pojęcia ==
[[Plik:Okrąg 01.svg|thumb|300px|Okrąg z zaznaczonymi: styczną, cięciwą, średnicą i promieniem]]
Punkt <math>O</math> nazywany jest '''środkiem''' okręgu, zaś każdy z odcinków o początku <math>O</math> i końcu w jednym z punktów okręgu nazywany jest '''promieniem''', również długość <math>r</math> nazywana jest tym terminem.

'''[[Sieczna]]''' jest to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne. Prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywa się '''styczną''' do okręgu.

'''[[Cięciwa|Cięciwą]]''' nazywa się odcinek wyznaczony przez punkty wspólne dowolnej siecznej i okręgu, czyli łączący dwa dowolne punkty okręgu.

'''Średnica''' okręgu jest to cięciwa przechodząca przez środek okręgu. Podobnie jak w przypadku promienia, tym pojęciem określa się też długość tej cięciwy. Średnica zwyczajowo oznaczana jest przez <math>d.</math> Zachodzi równość <math>d=2r.</math>

[[stosunek (matematyka)|Stosunek]] długości okręgu do jego średnicy jest [[stała (matematyka)|stałą matematyczną]] oznaczaną literą <math>\pi.</math>

Stąd '''długość okręgu''' wyraża się wzorem:
: <math>L = 2\pi r.</math>

'''Pole powierzchni [[Koło|koła]] ograniczonego okręgiem''' (sam okrąg ma puste wnętrze, a więc i zerową powierzchnię) wyraża się wzorem:
: <math>S = \pi r^2.</math>

== Wzajemne położenie dwóch okręgów ==
Rozpatrywane są dwa okręgi o środkach <math>O_1</math> i <math>O_2</math> oraz promieniach odpowiednio <math>r_1</math> i <math>r_2.</math> Przez <math>d(O_1, O_2)</math> rozumieć należy [[odległość]] między środkami okręgów.

=== Na płaszczyźnie ===
Jeżeli leżą one na jednej płaszczyźnie, to mogą być one:
* '''identyczne''' – posiadają wspólny środek i mają równe promienie, należą do nich te same punkty: <math>O_1 = O_2 \land r_1 = r_2,</math>
* '''współśrodkowe''' – mają ten sam środek: <math>O_1 = O_2,</math>
* '''styczne wewnętrznie''' – mają dokładnie jeden punkt wspólny, jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: <math>d(O_1, O_2) = |r_1 - r_2|,</math>
* '''styczne zewnętrznie''' – mają dokładnie jeden punkt wspólny, żaden z nich nie leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: <math>d(O_1, O_2) = r_1 + r_2,</math>
* '''rozłączne''' – nie mają punktów wspólnych, przy czym albo jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi: <math>d(O_1, O_2) < |r_1 - r_2|,</math> albo leżą na zewnątrz swoich kół: <math>d(O_1, O_2) > r_1 + r_2,</math>
* '''przecinające się''' – posiadają dwa punkty wspólne: <math>|r_1 - r_2| < d(O_1, O_2) < r_1 + r_2.</math>

=== W przestrzeni trójwymiarowej ===
Jeżeli dwa okręgi leżą w przestrzeni o co najmniej trzech wymiarach, to mogą być m.in.:
* '''współpłaszczyznowe''' – leżą na tej samej płaszczyźnie,
* '''identyczne''' – są współpłaszczyznowe, posiadają wspólny środek i mają równe promienie,
* '''styczne''' – mają dokładnie jeden punkt wspólny,
* '''rozłączne i splecione''' – każdy z nich ma jeden punkt wspólny z wnętrzem koła drugiego okręgu,
* '''rozłączne i nie splecione''' – żaden z nich nie ma punktu wspólnego z kołem drugiego okręgu.

== Uogólnienie na przestrzenie metryczne ==
Pojęcie okręgu może być uogólnione na dowolną [[przestrzeń metryczna|przestrzeń metryczną]] w naturalny sposób. Odległością wg której definiuje się okrąg jest ustalona [[przestrzeń metryczna|metryka]]. Tak więc, w dowolnej przestrzeni metrycznej <math>(X, \varrho)</math> okrąg ze środkiem <math>x_0</math> i promieniem <math>r</math> to zbiór punktów
: <math>\{x\colon \varrho(x_0, x) = r\}.</math>

W tym rozumieniu często zamiast słowa „okrąg” stosuje się słowo „sfera”.

Okręgiem w tym rozumieniu na płaszczyźnie z metryką euklidesową jest zwykły okrąg, istnieją jednak metryki na płaszczyźnie, w których okręgami są inne zbiory euklidesowe, np. [[kwadrat]] (o bokach równoległych do osi prostokątnego układu o równych jednostkach albo obrócony o 45°). Na prostej z metryką euklidesową okręgiem jest zbiór dwóch punktów równo oddalonych od środka. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej odpowiednikiem okręgu jest dwuwymiarowa [[sfera]].

[[Plik:OkregiL12Inf.png|thumb|left|750px|Okręgi jednostkowe w metrykach <math>L_1</math> (miasto), <math>L_2</math> (euklidesowej) oraz ''L''<sub>∞</sub> (maksimum)]]
{{Clear}}

== Zobacz też ==
{{wikisłownik|okrąg}}
* [[Konstrukcje klasyczne]]
* [[Lista krzywych]]
* [[Sfera]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Pismo Delta | url = 2024/12/pek-wiadomosci-o-pekach-okregow/ | autor = Łukasz Rajkowski | tytuł = Pęk wiadomości o pękach okręgów | data = grudzień 2024 | data dostępu = 2024-12-05 }}
* {{MathWorld | adres = Circle | tytuł = Circle }} [dostęp 2024-03-07].

{{Okręgi}}
{{Krzywe stożkowe}}
{{Funkcje elementarne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Geometria euklidesowa]]
[[Kategoria:Okręgi (geometria)| ]]