Tekst źródłowy strony Odwzorowanie regularne

'''Odwzorowanie regularne''' – rodzaj [[Funkcja|odwzorowania]] [[różniczka|różniczkowalnego]] w [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]].

== Definicja ==
Niech <math>X, Y</math> będą [[przestrzeń unormowana|przestrzeniami unormowanymi]] oraz <math>D</math> [[zbiór pusty|niepustym]] [[podzbiór|podzbiorem]] <math>X.</math> Odwzorowanie <math>F\colon D \to Y</math> nazywamy '''regularnym''', jeśli
# <math>D</math> jest [[zbiór otwarty|zbiorem otwartym]],
# <math>F</math> jest [[Funkcja różniczkowalna|klasy]] <math>C^1</math>(tzn. jest ciągła i ma ciągłą pochodną),
# <math>\forall_{x \in D}</math><math>dF(x)</math> jest [[Funkcja ciągła|ciągłym]] [[izomorfizm]]em [[przekształcenie liniowe|liniowym]] <math>X</math> do <math>Y.</math>

== Twierdzenia ==
* Jeśli <math>X, Y</math> są [[przestrzeń Banacha|przestrzeniami Banacha]], <math>D \subseteq X,</math> a odwzorowanie <math>F\colon D \to Y</math> jest regularne, to dla każdego otwartego <math>U \subseteq D</math> zbiór <math>F(U)</math> jest otwarty.
* [[Złożenie funkcji|Złożenie]] odwzorowań regularnych jest regularne.
* Każdy [[dyfeomorfizm]] jest odwzorowaniem regularnym, lecz nie na odwrót.
'''Przykład:'''

Odwzorowanie <math>F: (0, \infty) \times \mathbb R \to \mathbb R^2</math> określone wzorem <math>F(x_1, x_2)=(x_1\cos x_2, x_1\sin x_2)</math> jest regularne, ale nie jest dyfeomorfizmem, gdyż nie jest odwracalne (ze względu na okresowość [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]]).

== Zobacz też ==
* [[dyfeomorfizm]]
* [[homeomorfizm]]
* [[rozmaitość różniczkowa]]

== Bibliografia ==
* Kołodziej Witold: ''Analiza matematyczna'', PWN, Warszawa 2009.
* T. Trajdos, ''Matematyka dla inżynierów'', Warszawa: PWN, 1974.

[[Kategoria:Analiza matematyczna]]