Tekst źródłowy strony Odwzorowania otwarte i domknięte

'''Odwzorowanie otwarte''' i '''odwzorowanie domknięte''' – terminy w [[Topologia|topologii]] odnoszące się do specjalnych własności [[Funkcja|funkcji]] pomiędzy [[przestrzeń topologiczna|przestrzeniami topologicznymi]].

== Definicje ==
Niech <math>(X,\tau_X)</math> i <math>(Y,\tau_Y)</math> będą [[przestrzeń topologiczna|przestrzeniami topologicznymi]]. Powiemy, że funkcja <math>f\colon X\longrightarrow Y</math> jest '''otwarta''', jeśli [[Obraz (matematyka)|obraz]] każdego [[Zbiór otwarty|otwartego podzbioru]] <math>X</math> jest otwarty w <math>Y.</math> Tak więc <math>f</math> jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy
:: <math>\big(\forall A\in \tau_X\big)\big(f(A)\in\tau_Y\big).</math>

Pojęcie funkcji domkniętej jest wprowadzane podobnie, zastępując zbiory otwarte przez [[Zbiór domknięty|podzbiory domknięte]]. Czyli <math>f</math> jest '''odwzorowaniem domkniętym''' wtedy i tylko wtedy, gdy obraz każdego zbioru domkniętego jest domknięty, który to warunek można zapisać jako
:: <math>\big(\forall A\in \tau_X\big)\big(Y\setminus f(X\setminus A)\in\tau_Y\big).</math>

W powyższych definicjach nie zakładano żadnych dodatkowych własności funkcji <math>f,</math> w szczególności nie musi być ona [[Funkcja ciągła|ciągła]]. Jednak niektórzy autorzy wymagają dodatkowo, że funkcja <math>f</math> jest ciągła (wtedy więc odwzorowania otwarte i odwzorowania domknięte są funkcjami ciągłymi), por. [[Kazimierz Kuratowski|Kuratowski]]<ref>Kuratowski, Kazimierz; ''Topology''; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 115.</ref>, [[Ryszard Engelking|Engelking]]<ref>Engelking, Ryszard; ''General Topology''; Helderman, Berlin 1989, s. 31-32, {{ISBN|3-88538-006-4}}.</ref>

== Przykłady ==
* Każdy [[homeomorfizm]] przestrzeni topologicznych jest zarówno odwzorowaniem otwartym, jak i odwzorowaniem domkniętym.
* [[Rzut (geometria)|Rzut]] odwzorowujący trójwymiarową [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeń euklidesową]] na daną płaszczyznę jest ciągłym odwzorowaniem otwartym, które '''nie''' jest domknięte. Podobnie dla rzutów płaszczyzny na proste.
* Jeśli <math>X=\prod\limits_{i\in I}X_i</math> jest [[Topologia produktowa|produktem Tichonowa]] przestrzeni topologicznych, <math>j\in I</math> oraz
:: <math>\pi_j\colon X\longrightarrow X_j:\bar{x}=\langle x_i:i\in I\rangle\mapsto x_j</math>
: jest rzutem na <math>j</math>-tą współrzędną, to <math>\pi_j</math> jest ciągłym odwzorowaniem otwartym z przestrzeni <math>X</math> na przestrzeń <math>X_j.</math>
* Jeśli <math>Y</math> jest [[Przestrzeń dyskretna|przestrzenią dyskretną]], to każda funkcja <math>f\colon X\longrightarrow Y</math> jest odwzorowaniem domkniętym i otwartym (ale taka funkcja '''nie''' musi być ciągła).
* Funkcja <math>g\colon \mathbb R\longrightarrow\mathbb R:r\mapsto r^2</math> jest ciągłą funkcją domkniętą. Nie jest ona otwarta (np. obraz całej przestrzeni nie jest otwartym podzbiorem <math>\mathbb R</math>). Natomiast ta sama funkcja traktowana jako odwzorowanie <math>g\colon \mathbb R\longrightarrow [0,\infty)</math> jest otwarta. Przykład ten pokazuje, że pojęcia wprowadzone tutaj zależą od wyboru przeciwdziedziny funkcji.

== Charakteryzacje i własności ==
* Niech <math>f\colon X\longrightarrow Y.</math> Wówczas
:: (a) <math>f</math> jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru <math>B\subseteq Y</math> i każdego domkniętego zbioru <math>A\subseteq X,</math> takiego że <math>f^{-1}(B)\subseteq A,</math> istnieje zbiór domknięty <math>C\subseteq Y,</math> taki że <math>B\subseteq C</math> i <math>f^{-1}(C)\subseteq A;</math>
:: (b) <math>f</math> jest odwzorowaniem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru <math>B\subseteq Y</math> i każdego otwartego zbioru <math>A\subseteq X,</math> takiego że <math>f^{-1}(B)\subseteq A,</math> istnieje otwarty zbiór <math>C\subseteq Y,</math> taki że <math>B\subseteq C</math> i <math>f^{-1}(C)\subseteq A.</math>
* [[Złożenie funkcji]] otwartych jest funkcją otwartą, podobnie złożenie funkcji domkniętych jest odwzorowaniem domkniętym.
* Funkcja <math>f\colon X\longrightarrow Y</math> jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje [[Baza przestrzeni topologicznej|baza]] <math>\mathcal B</math> topologii na <math>X,</math> taka że <math>f(U)</math> jest otwarte w <math>Y</math> dla każdego <math>U\in \mathcal B.</math>
* Jeśli <math>X</math> jest [[Przestrzeń zwarta|przestrzenią zwartą]] i <math>Y</math> jest [[Przestrzeń Hausdorffa|przestrzenią Hausdorffa]], to każda funkcja ciągła <math>f\colon X\longrightarrow Y</math> jest odwzorowaniem domkniętym.
* Przypuśćmy, że odwzorowanie <math>f\colon X\longrightarrow Y</math> jest [[funkcja wzajemnie jednoznaczna|funkcją wzajemnie jednoznaczną]]. Wówczas następujące warunki są równoważne:
:: (i) Odwzorowanie <math>f</math> jest homeomorfizmem.
:: (ii) Odwzorowanie <math>f</math> jest domknięte i ciągłe.
:: (iii) Odwzorowanie <math>f</math> jest otwarte i ciągłe.
:: (iv) Dla każdego zbioru <math>A\subseteq X,</math>
::: <math>f(A)</math> jest domknięty w <math>Y</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>A</math> jest domknięty w <math>X.</math>
:: (v) Dla każdego zbioru <math>A\subseteq X,</math>
::: <math>f(A)</math> jest otwarty w <math>Y</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>A</math> jest otwarty w <math>X.</math>

== Zobacz też ==
* [[funkcja ciągła]]
* [[homeomorfizm]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Topologiczne własności funkcji]]