Tekst źródłowy strony Obwód rezonansowy LC

[[Plik:Obwod rezonansowy.svg|thumb]]
'''Obwód rezonansowy LC''' – [[obwód elektryczny]] składający się z [[cewka|cewki]] (L) i [[kondensator]]a (C). Obwód może działać jako rezonator elektryczny, jest wówczas elektrycznym odpowiednikiem nietłumionego układu [[drgania|drgań mechanicznych]]. Układ taki wyprowadzony z równowagi wykonuje [[drgania swobodne]] przenosząc energię elektromagnetyczną z częstotliwością rezonansową między cewką a kondensatorem. Pobudzany drganiami okresowymi zachowuje się jak [[Drgania wymuszone|układ drgań wymuszonych]], w stanie równowagi wykonuje drgania z częstotliwością pobudzania i amplitudą silnie zależną od częstotliwości.

Obwody rezonansowe znajdują szerokie zastosowania w radiotechnice, dzięki ''faworyzowaniu'' wąskiego przedziału częstotliwości, są wykorzystywane do generowania sygnałów o określonej częstotliwości, albo do wybierania sygnału o określonej częstotliwości z bardziej złożonego sygnału; ta funkcja nazywa się [[Filtr środkowoprzepustowy|filtrem pasmowym]]. Są kluczowymi komponentami wielu urządzeń elektronicznych, w szczególności sprzętu radiowego, stosowanych w układach takich jak [[Generator drgań|oscylatory]], [[Filtr (elektronika)|filtry]] i [[mieszacz]]e.

W rozważaniach teoretycznych jest wyidealizowanym przypadkiem [[obwód RLC|obwodu elektrycznego RLC]], ale bez tłumienia wnoszonego przez [[rezystancja|rezystancję]] (R). Rzeczywiste obwody zawsze zawierają element tłumiący.

W obwodzie tym pobudzanym przez drgania okresowe w stanie równowagi z drganiami pobudzającymi zachodzi [[rezonans]] prądów (w [[Połączenie równoległe|równoległym]]) lub napięć (w [[Połączenie szeregowe|szeregowym]]).

W stanie rezonansu, prąd i napięcie na zacisku obwodu rezonansowego są zgodne w fazie, a wypadkowa [[moc bierna]] pobierana przez obwód jest równa zeru, dlatego reaktancje sinusoidalnie zmienne znoszą swoją wartość poprzez występujący prąd w obwodzie.
[[Plik:Tuned circuit animation 3.gif|thumb|Animowany schemat obwodu LC]]

== Drgania obwodu LC ==
=== Kondensator naładowany ===
[[Plik:LC circuit 4 times new version.svg|mały|Fazy oscylacji w obwodzie LC]]
W obwodzie elektrycznym składającym się z kondensatora i cewki indukcyjnej energia może być zgromadzona w kondensatorze i cewce<ref>{{Cytuj książkę |nazwisko = Halliday |imię = D. |tytuł = Fizyka |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |nazwisko2 = Resnick |imię2 = R. |tom = 2}}</ref>:
:: <math>U = \frac{1}{2} Li^2 + \frac{1}{2} \frac{q^2}{C}.</math>

Całkowita energia obwodu będąca sumą obu energii jest stała. Uwzględniając związek między ładunkiem na kondensatorze a natężeniem prądu oraz zakładając, że kondensator w chwili <math>t=0</math> jest naładowany, równanie na ładunek na kondensatorze można wyrazić:
:: <math>\frac{d^2 q}{d t^2} + \frac{1}{LC} q = 0.</math>

Równanie to jest matematycznym odpowiednikiem równania [[drgania|drgań]] np. masy na sprężynie. Obwód LC wykonuje drgania swobodne z częstotliwością. Wzór określający częstotliwość drgań nazywa się wzorem [[William Thomson|Thomsona]]. Rozwiązanie równania oraz natężenie prądu można przedstawić jako:
:: <math>q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi),</math>
:: <math>i(t) = -\omega q_m \sin(\omega t + \phi),</math>
:: <math>\omega = \sqrt\frac{1}{LC},</math>
:: <math>f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}.</math>

Obwód LC wykonuje drgania swobodne z częstotliwością rezonansową określoną przez wzór [[William Thomson|Thomsona]],

gdzie:
: <math>q</math> – ładunek na kondensatorze,
: <math>L</math> – [[indukcyjność]] cewki,
: <math>C</math> – pojemność kondensatora,
: <math>q_m=\varepsilon C</math> – maksymalny ładunek na kondensatorze,
: <math>\varepsilon</math> – różnica potencjałów między zaciskami źródła,
: <math>L</math> – indukcyjność cewki,
: <math>C</math> – pojemność kondensatora,
: <math>\omega</math> – [[pulsacja|częstość kołowa]] w [[radian]]ach/[[Sekunda|sekundę]],
: <math>f</math> – [[częstotliwość]] obwodu w [[herc]]ach.

=== Kondensator nienaładowany ===
W tym przypadku równanie opisujące stan obwodu wygląda następująco:
:: <math>\frac{d^2 q}{d t^2} + \frac{1}{LC} q = \frac{\varepsilon}{L}.</math>

Rozwiązanie równania oraz natężenie prądu można przedstawić jako:
:: <math>q(t) = q_m[1- \cos(\omega t + \phi)],</math>
:: <math>i(t) = \omega q_m \sin(\omega t + \phi),</math>
:: <math>\omega = \sqrt\frac{1}{LC},</math>
:: <math>f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}},</math>

gdzie:
: <math>q</math> – ładunek na kondensatorze,
: <math>L</math> – indukcyjność cewki,
: <math>C</math> – pojemność kondensatora,
: <math>q_m=\varepsilon C</math> – maksymalny ładunek na kondensatorze,
: <math>\varepsilon</math> – różnica potencjałów między zaciskami źródła,
: <math>L</math> – indukcyjność cewki,
: <math>C</math> – pojemność kondensatora,
: <math>\omega</math> – [[pulsacja|częstość kołowa]] w [[radian]]ach/[[Sekunda|sekundę]],
: <math>f</math> – [[częstotliwość]] obwodu w [[herc]]ach.

== Obwód LC w obwodach prądu przemiennego ==
Obwód elektryczny złożony z pojemności i indukcyjności może być elementem obwodu prądu przemiennego. Elementy te mogą być połączone szeregowo lub równolegle. W [[Stan ustalony|stanie ustalonym]] w obwodzie płynie prąd o częstotliwości równej częstotliwości pobudzania.

=== Rezonans napięć ===
[[Impedancja]] zastępcza Z obwodu szeregowego złożonego z cewki i kondensatora wynosi:
:: <math>Z = jX_L - jX_C = j \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right),</math>

gdzie:
: <math>j</math> – [[jednostka urojona]]<ref group=uwaga>W elektrotechnice używa się oznaczenia <math>j</math> dla jednostki urojonej, a nie <math>i</math> jak w matematyce, aby odróżnić ją od wartości chwilowej natężenia prądu, które również oznacza się jako <math>i.</math></ref>,
: <math>X_L</math> – reaktancja cewki ([[induktancja]]),
: <math>X_C</math> – reaktancja kondensatora ([[kapacytancja]]),
: <math>Z</math> – impedancja wypadkowa.

Impedancja szeregowego obwodu LC jest równa zero, gdy [[reaktancja (elektryczność)|reaktancje]] cewki <math>X_L</math> i kondensatora <math>X_C</math> są sobie równe co do [[wartość bezwzględna|wartości bezwzględnej]]<ref group="uwaga">Ujemny znak reaktancji kondensatora wynika z konwencji; w niektórych podręcznikach stosuje się inną konwencję, w której zarówno induktancja, jak i kapacytancja mają dodatnie znaki, zaś reaktancja ich połączenia szeregowego jest różnicą tych wartości.</ref>. Dla danej pojemności i indukcyjności warunek ten jest spełniony dla częstotliwości równej częstotliwości drgań swobodnych obwodu LC, częstotliwość ta nazywana jest częstotliwością rezonansową.

Gdy cewka i kondensator połączone są szeregowo i zasilane prądem przemiennym <math>I,</math> to w elementach tych występuje [[spadek napięcia]]: <math>U_C</math> na kondensatorze, a <math>U_L</math> na cewce. Ponieważ przesunięcia faz napięcia względem prądu są w cewce i kondensatorze przeciwne, to napięcie wypadkowe jest różnicą napięć na cewce i kondensatorze, a w stanie rezonansu teoretycznie napięcia te zniosą się zupełnie. W szeregowym obwodzie rezonansowym dla częstotliwości rezonansowej, pomimo tego, że na obwodzie napięcie jest równe 0, to napięcie na cewce i na kondensatorze są różne od zera i mogą osiągać bardzo duże wartości.

=== Rezonans prądów ===
Rezonans prądów następuje wtedy, gdy [[susceptancja]] układu jest równa zero. Susceptancje poszczególnych gałęzi obwodu (susceptancja pojemnościowa i susceptancja indukcyjna) są sobie równe: <math>B_L = B_C.</math>

Gdy układ taki zasilany jest napięciem zmiennym <math>U,</math> to popłyną przez elementy prądy: <math>I_C</math> przez kondensator, a <math>I_L</math> przez cewkę. Ponieważ prądy te mają przeciwne fazy, to znoszą się wzajemnie i sumaryczny prąd <math>I</math> jest mniejszy od sumy prądów <math>I_C</math> i <math>I_L.</math> Dla pewnej częstotliwości, gdy prąd cewki równa się prądowi kondensatora prądy te zniosą się zupełnie i prąd <math>I</math> będzie równy zeru – zachodzi rezonans prądów, a obwód rezonansowy przestaje pobierać prąd ze źródła – staje się przerwą w obwodzie, czyli ma nieskończenie dużą oporność (prądy w rzeczywistym kondensatorze i cewce nie są jednak równe zeru i mogą osiągać duże wartości).

== Zobacz też ==
* [[dobroć]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Bolkowski |imię = Stanisław |autor link = Stanisław Bolkowski |tytuł = Teoria obwodów Elektrycznych |wydanie = IV |wydawca = [[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne]] |miejsce = Warszawa |rok = 1995 |strony = 150–157 |isbn = 83-204-1841-0}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Obwody elektroniczne]]