Tekst źródłowy strony Obwód RLC

'''RLC''' – skrótowe oznaczenie dla [[obwód elektryczny|obwodów elektrycznych]] (w tym [[układ elektroniczny|elektronicznych]]) składających się tylko z trzech podstawowych [[Element elektroniczny bierny|elementów pasywnych]]:
* [[Opornik|rezystora]], oznaczanego przez '''R''' ([[rezystancja]]),
* [[cewka|cewki]], oznaczanej przez '''L''' ([[indukcyjność]]),
* [[kondensator]]ów, oznaczanych przez '''C''' ([[pojemność elektryczna|pojemność]]).

== Obwód RLC w układach prądu przemiennego ==
=== Szeregowy obwód RLC ===
[[Natężenie prądu elektrycznego|Natężenie prądu]] w szeregowym obwodzie RLC z doprowadzonym napięciem sinusoidalnie zmiennym wynosi:
: <math>I=I_0 \sin (\omega t).</math>

[[napięcie elektryczne|Napięcie]] na zaciskach źródła:
: <math>U=U_0 \sin (\omega t + \varphi),</math>

gdzie <math>\varphi</math> jest [[Faza fali|różnicą faz]] między natężeniem prądu i napięciem.

Dodatkowo tangens przesunięcia fazowego równa się ilorazowi różnicy [[Reaktancja (elektryczność)|reaktancji cewki]] i [[Kapacytancja|kapacytancji kondensatora]] przez [[rezystancja|opór omowy]]:
: <math>\operatorname{tg} \varphi = \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R}.</math>

Moduł [[Impedancja|impedancji]] (nazywany również zawadą lub potocznie impedancją) szeregowego obwodu RLC jest równy modułowi wektora wypadkowego całkowitego oporu takiego obwodu:
: <math>|Z| = \sqrt{R^2 + \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)^2}.</math>

Mogą zajść następujące przypadki:
* <math>\omega L > \frac{1}{\omega C}</math> – obwód ma charakter [[indukcja elektromagnetyczna|indukcyjny]], kąt [[Faza fali|przesunięcia fazowego]] jest większy od zera, więc natężenie prądu spóźnia się w fazie w stosunku do napięcia na zaciskach źródła,
* <math>\omega L < \frac{1}{\omega C}</math> – obwód ma charakter [[pojemność elektryczna|pojemnościowy]], kąt przesunięcia fazowego jest mniejszy od zera, napięcie na zaciskach źródła spóźnia się w fazie w stosunku do natężenia prądu,
* <math>\omega L = \frac{1}{\omega C}</math> – zachodzi [[Obwód rezonansowy LC#Rezonans napięć|rezonans napięć]], kąt przesunięcia fazowego jest równy zero, napięcie na zaciskach źródła jest zgodne w fazie z natężeniem prądu. W tym przypadku zawada obwodu jest najmniejsza, więc natężenie prądu osiąga największą wartość. Analogicznie dla [[Połączenie równoległe|równoległego]] obwodu RLC wystąpić może [[Obwód rezonansowy LC#Rezonans prądów|rezonans prądów]]. Obydwa te zjawiska mogą być bardzo groźne dla całości układu (może wystąpić uszkodzenie elementów). W [[połączenie szeregowo-równoległe|mieszanych układach]] występować może wielokrotny [[rezonans częściowy]].

Częstotliwość rezonansowa (czyli taka, przy której zachodzi rezonans napięć) wynosi:
: <math>f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}.</math>

== Drgania własne układu RLC ==
[[Plik:HarmOscLCR.png|mały|Schemat zamkniętego układu RLC.]]
W szeregowym obwodzie RLC, w którym w chwili początkowej kondensator jest naładowany, a natężenie prądu jest równe 0, w dowolnej chwili <math>t</math> suma energii [[kondensator]]a, energii [[cewka|cewki]] oraz praca prądu w ciągu czasu <math>t</math> zamieniona na ciepło w oporze <math>R</math> (tzn. na [[Prawo Joule’a (prąd elektryczny)|ciepło Joule’a-Lenza]]) jest równa energii początkowej kondensatora i jest stała.
: <math>\frac{Q^2}{2C}+\frac{LI^2}{2}+\int_0^t I^2R \ dt = \frac{Q_m^2}{2C}=const.</math>

gdzie:
: <math>Q_m</math> jest początkowym ładunkiem kondensatora.

Po zróżniczkowaniu obydwu stron powyższego równania względem czasu <math>t{:}</math>
: <math>2\dot{Q} \frac{Q}{2C}+2I \frac{L \dot{I}}{2}+I^2 R=0.</math>

Z definicji natężenia prądu:
: <math>I=\frac{dQ}{dt}=\dot{Q},</math>
: <math>\dot{I}=\frac{dI}{dt}=\frac{d(\dot{Q})}{dt}=\ddot{Q}</math>

można wyrazić w postaci:
: <math>I \left( \frac{Q}{C}+L\ddot{Q}+\dot{Q}R \right)=0.</math>

Aby to równanie było spełnione w dowolnej chwili <math>t,</math> wyrażenie w nawiasie powinno być równe 0. Po podzieleniu stronami przez <math>L</math> otrzymujemy:
: <math>\ddot{Q}+\frac{R}{L} \dot{Q} +\frac{1}{LC}Q=0.</math>

Współczynnik przy <math>Q</math> jest kwadratem [[pulsacja|pulsacji]] [[Drgania swobodne|drgań własnych]] swobodnych obwodu <math>LC{:}</math>
: <math>\frac{1}{LC} = {\omega_0}^2.</math>

Współczynnik przy pierwszej pochodnej <math>\dot{Q}</math> oznaczamy przez <math>2\beta{:}</math>
: <math>\frac{R}{L} = 2\beta \Rightarrow \frac{R}{2L} = \beta.</math>

Równanie różniczkowe drgań elektrycznych gasnących:
: <math>\ddot{Q} + 2\beta \dot{Q} + {\omega_0}^2 Q = 0.</math>

Rozwiązaniem tego równania jest wzór:
: <math>Q = Q_m \ e^{- \beta t} \cos(\omega t + \varphi).</math>

Częstość drgań gasnących:
: <math>\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}=\sqrt{\frac{1}{LC} - {\frac{R^2}{4L^2}}},</math>

: <math>\beta^2 < \omega_0^2 \Rightarrow \frac{R^2}{4L^2} < \frac{1}{LC},</math>

co oznacza, iż rozwiązanie równania różniczkowego drgań elektrycznych gasnących ma miejsce przy niezbyt dużym tłumieniu.

Zmiana napięcia na kondensatorze:
: <math>U = \frac{Q_m}{C}\ e^{-\beta t} \cos(\omega t +\varphi)=U_m e^{-\beta t} \cos(\omega t +\varphi).</math>

Natężenie prądu jest przesunięte w fazie w stosunku do ładunku i napięcia na kondensatorze:
: <math>I = \dot{Q} = Q_m \ \omega_0 \ e^{- \beta t} \left[ - \frac {\beta}{\omega_0} \cos(\omega t + \varphi) - \frac{\omega}{\omega_0} \sin(\omega t + \varphi) \right] = Q_m \ \omega_0 \ e^{-\beta t} \cos(\omega t + \varphi + \alpha).</math>

Dodatkowo:
: <math>\frac{\omega}{\omega_0} = \sin\alpha</math> oraz <math>\frac{\beta}{\omega_0} = -\cos\alpha.</math>

Natężenie prądu zmienia się harmonicznie z amplitudą gasnącą wykładniczo, przy czym tangens przesunięcia fazowego natężenia prądu do napięcia wynosi:
: <math>\operatorname{tg} \alpha = -\frac{\omega}{\beta} = -\frac{\sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}}{\beta} = -\frac{\sqrt{\frac{1}{LC} - {\frac{R^2}{4L^2}}}}{\frac{R}{2L}}.</math>

[[Dobroć]] obwodu, czyli wielkość proporcjonalna do liczby drgań N<sub>e</sub> wykonywanych przez obwód w czasie, którego amplituda maleje <math>e</math> razy
: <math>D=\frac{\pi}{\delta} = \frac{\pi}{\beta T} = \frac{\omega}{2 \beta}.</math>

Przy małym tłumieniu:
: <math>\omega \approx \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}.</math>

Wobec czego:
: <math>D \approx \frac{\omega_0}{2 \beta}=\frac{1}{R} \sqrt\frac{L}{C}.</math>

== Przykłady urządzeń zawierających obwód RLC ==
* [[filtr (elektronika)]]
* klasyczny [[układ zapłonowy]] z przerywaczem
* [[Radioodbiornik|odbiornik radiowy]]
* [[telewizor]]
* [[transformator Tesli]]
* [[wykrywacz metalu]]
* [[zwrotnica głośnikowa]]

== Linki zewnętrzne ==
* [http://ngsir.netfirms.com/englishhtm/RLC.htm animacja szeregowego obwodu RLC (ang.)]

[[Kategoria:Teoria obwodów]]