Tekst źródłowy strony Obrazy w mechanice kwantowej

'''Obrazy w [[mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]]'''. Rozwiązując [[równanie Schrödingera]] niezależne od czasu, otrzymuje się [[wektor stanu]] <math>|\psi(0)\rangle,</math> przedstawiający stan [[układ kwantowy|układu kwantowego]] w pewnej chwili początkowej <math>t=0.</math> Pełny wektor stanu <math>|\Psi(t)\rangle,</math> otrzymuje się, rozwiązując [[Równanie Schrödingera|równanie Schrödingera zależne od czasu]]. Jeżeli [[hamiltonian]] <math>\hat{H}</math> układu nie zależy od czasu, to istnieje prosta zależność
: <math>|\psi(t)\rangle = e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}|\psi(0)\rangle.</math>

Gdy jednak hamiltonian zależy od czasu, to rozwiązanie równania Schrödingera staje się trudniejsze.

Aby rozwiązać zagadnienie opisu [[układ mechaniczny|układu mechanicznego]] nie jest jednak konieczne rozwiązywanie równania Schrödingera z pełnym operatorem Hamiltona. Niekiedy problem można uprościć, przyjmując inny tzw. '''obraz''', czyli założyć, że w równaniu Schrödingera na wektory stanu działa niekoniecznie cały operator Hamiltona – wtedy pozostała jego część działa na [[obserwabla|obserwable]], w tym na operator całkowitej energii układu, czyli pełny Hamiltonian. Wyróżnia się obrazy:

'''(1)''' '''obraz [[Erwin Schrödinger|Schrödingera]]''' – zakłada pełny operator Hamiltona w równaniu ewolucji stanów kwantowych; jeżeli operator Hamiltona nie zależy od czasu, to jedynie wektory stanu zmieniają się w czasie, zaś obserwable są stałe w czasie,

'''(2)''' '''obraz [[Werner Heisenberg|Heisenberga]]''' – jedynie operatory zmieniają się w czasie,

'''(3)''' '''obraz [[Paul Dirac|Diraca]] (obraz oddziaływania)''' – zarówno wektory stanu, jak i operatory zmieniają się w czasie.

Możliwość przyjęcia różnych obrazów wynika stąd, że wielkościami mierzonymi w eksperymentach nie są ani operatory ani wektory stanu, a jedynie wielkości, które wynikają z połączenia tych dwóch elementów równań kwantowomechanicznych – wartości średnie i prawdopodobieństwa. Stąd wynika możliwość przyjęcia różnych obrazów.

== Zależność obserwabli od czasu ==
'''(1)''' Pochodna zupełna po czasie z elementu macierzowego operatora, tj. wielkości <math>\langle \phi| \hat{O} |\psi \rangle,</math> wyraża się wzorem:
: <math>\frac{d}{dt} \langle \phi| \,\hat{O} \,|\psi \rangle = \frac{d \langle \phi|}{dt}\, \hat{O}\, |\psi \rangle + \langle \phi| \,\frac{d \hat{O}}{dt} \,|\psi \rangle + \langle \phi|\, \hat{O}\, \frac{d |\psi \rangle}{dt}.</math>

Powyższe równanie dopuszcza pewną dowolność w wyrażeniu na zależność czasową wektorów stanu i obserwabli: jedynie ich suma musi spełniać powyższe równania. Aby znaleźć zależność od czasu tych dwóch elementów, należy więc nałożyć dodatkowy warunek na to równanie. W mechanice kwantowej warunek ten postuluje się jako:
: <math>\frac{d}{dt} \langle \phi| \hat{O} |\psi \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle \phi|[\hat{H}, \hat{O}]|\psi \rangle + \langle \phi| \frac{\partial \hat{O} }{\partial t} |\psi \rangle.</math>

Powyższe równanie ma charakter postulatu – nie wynika ono z żadnej teorii w mechanice kwantowej.

'''(2)''' Przyjmijmy, że pochodne stanów <math>|\phi\rangle</math> i <math>|\psi\rangle</math> opisywane są przez następujące równania:
: <math>\frac{d}{dt}|\psi\rangle = -\frac{i}{\hbar} \hat{A}|\psi\rangle,</math>
: <math>\frac{d}{dt}|\phi\rangle = -\frac{i}{\hbar} \hat{A}|\phi\rangle,</math>

gdzie <math>\hat{A}</math> jest pewnym ustalonym [[Sprzężenie hermitowskie macierzy|operatorem hermitowskim]]. Stąd pochodne wektorów dualnych wyrażają się wzorami:
: <math>\frac{d}{dt} \langle \psi| = \frac{i}{\hbar} \langle \psi| \hat{A},</math>
: <math>\frac{d}{dt} \langle \phi| = \frac{i}{\hbar} \langle \phi| \hat{A}.</math>

'''(3)''' Wstawiając otrzymane pochodne do pierwszego wzoru, otrzyma się:
: <math>\frac{d}{dt} \langle \phi| \hat{O} |\psi \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle \phi| \hat{A} \hat{O} |\psi \rangle + \langle \phi| \frac{d \hat{O}}{dt} |\psi \rangle - \frac{i}{\hbar} \langle \phi| \hat{O} \hat{A} |\psi \rangle.</math>

Porównując powyższy wzór z postulowaną postacią pochodnej elementu macierzowego, otrzymuje się:
: <math>\langle \phi| (\frac{i}{\hbar} [\hat{A}, \hat{O}] - \frac{i}{\hbar} [\hat{H}, \hat{O}] + \frac{d \hat{O}}{dt} - \frac{\partial \hat{O}}{\partial t}) |\psi \rangle = 0.</math>

Ponieważ wszystkie elementy macierzowe powyższego operatora zerują się, więc całkowity operator zeruje się. Stąd mamy:
: <math>\frac{d \hat{O}}{dt} = \frac{i}{\hbar} [\hat{H} - \hat{A}, \hat{O}] + \frac{\partial \hat{O}}{\partial t}.</math>

Równanie powyższe opisuje zależność obserwabli od czasu. Ustalając konkretną postać operatora <math>\hat A,</math> otrzymuje się różne obrazy mechaniki kwantowej.

== Obraz Schrödingera ==
W obrazie Schrödingera przyjmuje się <math>\hat{A} = \hat{H}.</math> Wynika stąd, że:

(a) stany kwantowe są rozwiązaniami równania Schrödingera (bo operator <math>\hat{A}</math> jest pełnym operatorem Hamiltona)
: <math>\frac{d}{dt}|\psi\rangle = -\frac{i}{\hbar} \hat{H}|\psi\rangle,</math>

(b) obserwable są zależne od czasu wg równania:
: <math>\frac{d \hat{O}}{dt} = \frac{\partial \hat{O}}{\partial t}.</math>

Dana obserwabla nie zależy więc od czasu, jeżeli nie zależy jawnie od czasu.

(c) Wartość średnia obserwabli może zmieniać się w czasie, ponieważ wektory stanu zależą tu od czasu:
: <math>\frac{d}{dt} \langle \phi| \hat{O} |\psi \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle \phi| [\hat{H}, \hat{O}] |\psi \rangle + \Big\langle \phi\Big| \frac{\partial \hat{O}}{\partial t} \Big|\psi \Big\rangle.</math>

Jeżeli jednak obserwabla nie zależy jawnie od czasu i komutuje z operatorem Hamiltona, to jej wartość średnia jest stała w czasie.

== Obraz Heisenberga ==
W obrazie Heisenberga przyjmuje się <math>\hat{A} = 0.</math> Wynika stąd, że:

(a) stany kwantowe nie zależą od czasu, gdyż są opisywane przez równanie:
: <math>\frac{d}{dt}|\psi\rangle = 0,</math>

(b) obserwable ewoluują w czasie zgodnie z równaniem:
: <math>\frac{d \hat{O}}{dt} = \frac{i}{\hbar} [\hat{H}, \hat{O}] + \frac{\partial \hat{O}}{\partial t}.</math>

== Obraz Diraca (obraz oddziaływania) ==
W obrazie oddziaływania zarówno operatory, jak i stany kwantowe zależą od czasu, jednak ich ewolucje są opisywane przez różne hamiltoniany. Jest to związane z tym, że hamiltonian dla układu jest postaci:
: <math>\hat{H}(t) = \hat{H}_0 + \hat{H}_{int}(t).</math>

gdzie <math>\hat{H}_{int}(t)</math> jest częścią operatora Hamiltona; zależnie od wyboru i opisywanej sytuacji fizycznej część ta może być związana z:
* oddziaływaniem między elementami układu (np. dla dwóch elektronów będzie to energia ich wzajemnego oddziaływania elektrycznego) lub też pochodzić z oddziaływania elektronu z zewnętrznym polem elektromagnetyczne; wtedy <math>\hat{H}_0</math> będzie tzw. hamiltonianem swobodnym, związanym z elektronami nie oddziałującymi ze sobą,
* może odpowiadać za oddziaływanie elektronu z zewnętrznym polem elektromagnetyczne (wtedy często nazywa się tę część hamiltonianu zaburzeniem); wtedy <math>\hat{H}_0</math> będzie tzw. hamiltonianem swobodnym, związanym z elektronem nie oddziałującymi z zewnętrznym polem.

(a) Stany kwantowe są opisywane tu przez równanie zawierające hamiltonian swobodny:
: <math>\frac{d}{dt}|\psi\rangle = -\frac{i}{\hbar} \hat{H_0}|\psi\rangle.</math>

(b) Obserwable ewoluują zgodnie z równaniem
: <math>\frac{d \hat{O}}{dt} = \frac{i}{\hbar} [\hat{H}_{int}, \hat{O}] + \frac{\partial \hat{O}}{\partial t}.</math>

zależnym od hamiltonianu oddziaływania.

== Bibliografia ==
* [[Bronisław Średniawa]], ''Mechanika kwantowa'', [[Wydawnictwo Naukowe PWN|PWN]], Warszawa 1978, s. 154–159.
* Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, ''Quantum Mechanics 1'', Wiley J., 2006, {{ISBN|978-0471569527}}, s. 312–314.

{{Mechanika kwantowa}}

[[Kategoria:Mechanika kwantowa]]