Tekst źródłowy strony Nieskończoność

{{Dopracować|więcej przypisów=2011-12|styl}}

'''Nieskończoność''' (symbol: '''<big>[[Lemniskata|∞]]</big>''') – [[byt]] nieograniczony<ref>{{Encyklopedia PWN | tytuł = Nieskończoność | id = 3947508 | data dostępu = 2021-07-23 }}</ref> (w sensie wielkości bądź ilości), który przyjęło się oznaczać za pomocą znaku <math>\infty,</math> podobnego do „przewróconej ósemki” ([[lemniskata]]).

== Historia ==
[[Arystoteles]] był pierwszym, który ujął naukowo problem nieskończoności<ref group="uwaga">Natomiast ''arche'' Anaksymandra, ''apeiron'', nie było pierwowzorem tego, co rozumiemy przez nieskończoność; to była nieograniczona nieokreśloność, bezkształtność bez racjonalności.</ref><ref>Arystoteles, ''Fizyka'' (Księga III, rozdział 6) i ''Metafizyka'' (Księga IX, rozdział 6), przedrukowane w Murawski, R.: 1986, ''Filozofia matematyki. Antologia tekstów klasycznych'', Wydawnictwo UAM Poznań, s. 36–40. Przegląd zagadnień związanych z nieskończonościami daje [[Roman Murawski]], ''Nieskończoność w matematyce. Zmagania z potrzebnym, acz kłopotliwym pojęciem'', „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce” 2014, LV, s. 8–9 [https://zfn.edu.pl/index.php/zfn/article/download/34/34/].</ref>. Wymienił różne rodzaje nieskończoności. Są to:
* '''nieskończoność potencjalna''' – to nieskończoność niedokonana, w której dla podanej jakiejkolwiek skończonej liczby (lub wielkości geometrycznej), zawsze znajdzie się liczba (wielkość) od niej jeszcze większa.
* '''nieskończoność aktualna''' – to nieskończoność dokonana, w której możność nieskończenie wielu kroków zostaje spełniona, urzeczywistniona w postaci jednego aktu. Typowym dziś jej przykładem jest zbiór wszystkich liczb naturalnych, traktowany jako jeden obiekt będący końcowym efektem nieskończonego procesu zwiększania liczebności, obiekt wyraźnie określony, mogący być elementem innego zbioru.

Ponadto Arystoteles wyróżnił dwa rodzaje nieskończoności potencjalnej:
* nieskończoność ze względu na dodawanie, zwiększanie (np. liczb, odcinków),
* nieskończoność ze względu na podział (odcinka itp.).

Nieskończoność potencjalna była akceptowana przez wszystkich uczonych. Nieskończoności aktualnej [[starożytność|starożytni]] Arystoteles i inni filozofowie i matematycy nie uznawali. To nastawienie określono mianem ''horror infiniti'' – strach przed nieskończonością<ref group="uwaga">Wyjątkiem był Lukrecjusz (I wiek p.n.e.), który w poemacie ''De rerum natura'' bronił koncepcji mnogości nieskończonej i twierdził, że w takim przypadku część może być równa całości.</ref>. Kryła się za tym świadomość, że nieskończoność aktualna prowadzi do [[paradoks]]ów (z których najbardziej znane to [[paradoksy Zenona z Elei]]). Zauważano także takie „absurdy”, jak np. fakt, że [[liczby naturalne|liczb naturalnych]] i kwadratów liczb naturalnych jest [[Teoria mnogości|tyle samo]], co przeczyło intuicji, która mówiła, że ''część musi być mniejsza od całości''.

Z nieskończonością potencjalną mamy do czynienia w [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]], gdy mówimy o [[granica (matematyka)|granicy]]. Mówiąc, że ciąg (a<sub>n</sub>) dąży do granicy g, gdy n dąży do nieskończoności, mamy na myśli fakt, że ''wyrazy (a<sub>n</sub>) są dowolnie bliskie g dla odpowiednio dużych n''. Nie zakładamy tu wcale istnienia żadnego nieskończonego bytu, a jedynie ''nieustającą możliwość powiększania'' (i analogicznie: ''nieustającą możliwość pomniejszania''). Nieskończonością potencjalną w kontekście [[przestrzeń (filozofia)|przestrzeni]] posługują się ''[[Elementy Euklidesa|Elementy]]'' [[Euklides]]a.

[[Proklos]] Diadochus w [[V wiek]]u naszej ery wyrażał to w taki sposób:
: ''wielkości są wprawdzie dzielone w nieskończoność, ale nie na nieskończenie wiele części. To ostatnie powodowałoby, że '''aktualnie''' byłoby nieskończenie wiele części, tamto pierwsze, że tylko '''potencjalnie'''; to ostatnie daje nieskończoności '''istnienie substancjalne''', tamto przyznaje jej tylko '''stawanie się'''''.

Jednak nie tylko starożytni czuli się niepewnie, obcując z pojęciem nieskończoności. [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] w [[XVII wiek]]u pisał:
: ''nie ma nic bardziej namacalnego niż absurdalność idei liczby '''właściwie nieskończonej'''''.

== Symbol ==
<div style="float: right; padding: 5px 20px 5px 20px">[[Plik:Infinity symbol.svg|thumb|center|170px|Symbol nieskończoności '''∞''' w różnych krojach pisma.]]
</div>
Symbol nieskończoności <math>\infty</math> (UTF-8. ∞) został zaproponowany przez [[John Wallis|Johna Wallisa]] w traktacie ''De sectionibus conicis'' (1655) i był konsekwentnie przez niego używany w późniejszych pracach, m.in. w ''Arithmetica infinitorum'' (1656).

W książce „Zero to Lazy Eight” [[Alexander Humez]], [[Nicholas Humez]] i [[Joseph F. Maguire|Joseph Maguire]] twierdzą, że Wallis był typowym uczonym{{styl}} i jest całkiem prawdopodobne, że wywiódł on symbol <math>\infty</math> z [[Rzymski system zapisywania liczb|rzymskiego]] znaku oznaczającego <math>1000</math> – [[Plik:Roman numeral 1000 C D.svg|16px]] (oznaczanego również przez <math>M</math>), chociaż jest też prawdopodobne, że zainspirował go znak <math>\omega,</math> symbol małej litery greckiej [[omega]], która będąc ostatnią literą [[alfabet grecki|greckiego alfabetu]], była [[metafora|metaforą]] końca i ostateczności.

Symbol nieskończoności w systemach komputerowych:
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! Nazwa !! Znak !! [[Unikod|Unicode]] !! Kod [[HTML]]
|-
| style="text-align:left"| ''Nieskończoność'' ||style="font-size: 3em; line-height: 1.0; font-family: serif"| {{unicode|&#x221E;}} || U+221E || <code>&amp;infin;</code> lub <code>&amp;#x221E;</code> lub <code>&amp;#8734;</code>
|}

== Matematyka ==
=== Analiza matematyczna i geometria ===
W rachunku różniczkowym i całkowym stosuje się różne pojęcia nieskończoności: <math>+\infty</math> (pisane też bez znaku + jako <math>\infty</math>) oraz <math>-\infty.</math> W topologii rozważa się zbiór <math>\{ -\infty \} \cup \mathbb R \cup \{ \infty \},</math> tzn. prostą liczbową uzupełnioną oboma punktami w nieskończoności.

W pewnych teoriach (np. w teorii [[Całka Lebesgue’a|całki Lebesgue’a]]) dopuszcza się niektóre działania na takich symbolach, np. <math>\infty + a = \infty</math> dla dowolnej liczby rzeczywistej <math>a,</math> ale symbol <math>\infty - \infty</math> uważa się za niezdefiniowany.

Czym innym zaś jest ''punkt w nieskończoności'' dla [[Płaszczyzna zespolona|płaszczyzny zespolonej]], określony za pomocą rzutu stereograficznego.

W [[Geometria rzutowa|geometrii rzutowej]] mówi się o ''przecinaniu się prostych równoległych w nieskończoności'', przy czym tym razem jest tylko jeden punkt niezależnie od tego, w którą stronę podążamy; w efekcie obie te nieskończoności „sklejają się” razem i prosta topologicznie staje się okręgiem.

=== Teoria mnogości ===
{{osobny artykuł|zbiór nieskończony|skala alefów|skala betów}}
W [[XIX wiek]]u zbiory nieskończone rozważał [[Bernard Bolzano]], ale prawdziwego przełomu dokonał niemiecki matematyk [[Georg Cantor]], który odkrył różne rodzaje aktualnej nieskończoności, istniejących jako samodzielne byty, na których możemy dokonywać działań typu arytmetycznego. Cantor zdefiniował pojęcie [[moc zbioru|''równej liczby elementów'']] zbioru i pojęcie '''liczby kardynalnej''' oraz udowodnił m.in., że [[Zbiór skończony|zbiór nieskończony]] <math>\mathbb R</math> [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] jest liczniejszy niż zbiór <math>\mathbb N</math> liczb naturalnych (patrz [[Metoda przekątniowa|rozumowanie przekątniowe]]){{odn|Ciesielski|Pogoda|2005|s=232}}. Mimo iż Cantor badał nieskończone wielkości, nie uznawał [[Różniczka|różniczek]], czyli [[Nieskończenie małe|nieskończenie małych]] wartości{{odn|Jahnke|2003|s=35}}.

Oprócz tego Cantor rozwinął teorię '''[[liczby porządkowe|pozaskończonych liczb porządkowych]]'''.

Rozważa się nieskończoną hierarchię mocy zbiorów nieskończonych, tak zwaną hierarchię [[Moc zbioru|liczb kardynalnych]]. Kolejne moce zbiorów nieskończonych (liczby kardynalne) oznacza się symbolem pierwszej litery [[alfabet hebrajski|alfabetu hebrajskiego]] [[alef]] indeksowanym kolejnymi liczbami porządkowymi:
: <math>\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \dots < \aleph_k < \dots \aleph_\omega < \dots</math>

Liczby kardynalne można nie tylko porównywać, ale także przeprowadzać na nich operacje: dodawania, mnożenia oraz potęgowania<ref group="uwaga">Zaawansowana teoria potęgowania liczb kardynalnych ([[teoria PCF]] – ''possible cofinalities'') została stworzona przez izraelskiego [[matematyka]] [[Saharon Szelach|Saharona Szelacha]].</ref>.

Z początku wielu matematyków bardzo nieufnie podchodziło do rozważań Cantora i jego stosunku do nieskończoności aktualnej, uważając, że są one zbyt oddalone od [[intuicja|intuicji]]. [[Henri Poincaré]] twierdził: ''"Następne pokolenia potraktują [[Teoria mnogości|teorię zbiorów]] jako chorobę, z której udało im się wyleczyć"''{{odn|Ciesielski|Pogoda|2005|s=233}}. Okazało się jednak, że dzięki użyciu metod [[teoria mnogości|teorii mnogości]] nastąpił gwałtowny rozwój z jednej strony [[podstawy matematyki|podstaw matematyki]], a z drugiej strony całej matematyki. Cantor uporządkował chaos definicyjny, zastępując nieścisłe pojęcia ''wielkości'' i ''liczby'' pojęciami ''zbioru'' i ''liczby kardynalnej''. Z drugiej strony, systematyczne i ścisłe badanie nieskończoności aktualnych szybko doprowadziło do problemów takich jak [[hipoteza continuum]], które wymagały zrewidowania całego aparatu [[logika|logiki matematycznej]]. Z kolei opozycjoniści zgłaszali zastrzeżenia do teorii mnogości, wskazując na rozmaite paradoksy, związane zwłaszcza z koncepcją nieskończoności rozwijaną na jej gruncie. Doprowadziło to do rozwinięcia takich prądów jak [[konstruktywizm (matematyka)|konstruktywizm]] czy [[finityzm]], których celem była przebudowa podstaw matematyki w sposób usuwający pojęcie nieskończoności aktualnej i przeformułowanie wszystkich twierdzeń w celu likwidacji [[paradoks]]ów.

== Zobacz też ==
{{Wikisłownik|nieskończoność|∞}}
{{Wikicytaty|dopełniacz=o nieskończoności}}
{{Układ wielokolumnowy |szerokość=20em <!-- od 8 do 20 --> |liczba=2 |
* [[arytmetyka liczb kardynalnych]],
* [[duże liczby kardynalne]],
* [[liczba epsilonowa]]
* [[paradoks Hilberta]],
* [[regularna liczba kardynalna]],
* [[twierdzenie o nieskończonej liczbie małp]]
* [[wieczność]].
}}

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj | autor = I.G. Baszmakowa | rozdział = Grecja starożytna. Kraje hellenistyczne i imperium rzymskie | redaktor = A.P. Juszkiewicz | tytuł = Historia matematyki | wolumin = I | miejsce = Warszawa | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] | data = 1975 | s = 96–102 }}
* {{Cytuj | autor = [[Kazimierz Kuratowski]] | tytuł = Wstęp do teorii mnogości i topologii | data = 1955 | miejsce = Warszawa | wydawca = PWN }}
* {{Cytuj | autor = [[Roman Murawski]] | tytuł = Nieskończoność w matematyce. Zmagania z potrzebnym, acz kłopotliwym pojęciem | czasopismo = [[Zagadnienia Filozoficzne w Nauce]] | data = 2014 | numer = LV | s = 8–9 | url = https://zfn.edu.pl/index.php/zfn/article/download/34/34/ }}
* Amir D. Aczel, ''Tajemnica alefów. Matematyka, kabała i poszukiwanie nieskończoności'', [[Dom Wydawniczy Rebis|Rebis]], Poznań 2002.
* {{Cytuj książkę |imię=Hans Niels |nazwisko=Jahnke |tytuł = A history of analysis |data = 2003 |data dostępu = 2021-07-19 |isbn = 0-8218-2623-9 |miejsce = Providence, RI |wydawca = American Mathematical Society |oclc = 51607350 |odn=tak}}
* {{cytuj książkę|tytuł=Bezmiar Matematycznej Wyobraźni|autor link=Krzysztof_Ciesielski_(matematyk)|nazwisko=Ciesielski|imię=Krzysztof|imię2=Zdzisław|nazwisko2=Pogoda|autor link2=Zdzisław Pogoda|miejsce=Warszawa|wydawca=[[Prószyński i S-ka]]|rok=2005|isbn=83-7337-932-0|odn=tak}}

== Linki zewnętrzne ==
; Polskojęzyczne
{{otwarty dostęp}} Nagrania na [[YouTube]] [dostęp 2024-04-13]:
* ''[https://www.youtube.com/playlist?list=PL2MTMN-Pt0oMwCfMeqRZztB1s5PDR9knz Drogi do nieskończoności]'', kanał [[Centrum Nauki Kopernik w Warszawie|Centrum Nauki Kopernik]], 14 grudnia 2018.
* Marek Kuś, ''[https://www.youtube.com/watch?v=m_PX3Bv1gis Nieskończoność]'', [[Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych]] – [[Uniwersytet Jagielloński]], kanał „Copernicus”, 16 lutego 2019.
* Tomasz Miller, ''[https://www.youtube.com/watch?v=5qAhkDS6P6M Bliżej Nauki: Nieskończoność – i co dalej?]'', kanał [[Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego|FAIS UJ]], 11 kwietnia 2024.
* Tomasz Miller, ''[https://www.youtube.com/watch?v=vcUFRH3wF6U Jak duża (lub mała) jest nieskończoność?]'', kanał „Amfiteatr. Miejski Ośrodek Kultury”, 17 września 2024.

; Anglojęzyczne
* {{SEP | url = infinity/ | autor = Graham Oppy, Alan Hájek, Kenny Easwara, Paolo Mancosu | tytuł = Infinity | data = 29 kwietnia 2021 | data dostępu = 2021-04-30}}
* {{IEP | url = infinite/ | autor = Bradley Dowden | tytuł = The Infinite | data dostępu = 2018-06-27}}
* {{paywall}} ''[https://www.rep.routledge.com/articles/thematic/infinity/v-2 Infinity]'' {{lang|en}}, [[Routledge Encyclopedia of Philosophy]], rep.routledge.com [dostęp 2023-05-10].

{{otwarty dostęp}} Nagrania na [[YouTube]] [dostęp 2024-04-13]:
* [[Michael Stevens]], ''[https://www.youtube.com/watch?v=SrU9YDoXE88 How To Count Past Infinity]'', kanał Vsauce, 9 kwietnia 2016.
* ''[https://www.youtube.com/watch?v=VCksQ6g2yh0 Defining Infinity]'', kanał PBS Infinite Series, 13 kwietnia 2018.
* [[Sabine Hossenfelder]], ''[https://www.youtube.com/watch?v=Bq9xR5PUs6s Is Infinity Real?]'', kanał autorski, 5 grudnia 2020.

{{Znaki diakrytyczne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Analiza matematyczna]]
[[Kategoria:Teoria mnogości]]
[[Kategoria:Oznaczenia matematyczne]]
[[Kategoria:Symbole]]