Tekst źródłowy strony Nierozwiązane problemy w matematyce

{{spis treści}}
'''Nierozwiązane problemy w matematyce''' często mają charakter hipotez, które są najprawdopodobniej prawdziwe, ale wymagają dowodów.

Trzy największe matematyczne problemy starożytności zostały rozstrzygnięte przez dziewiętnastowiecznych matematyków, którzy udowodnili, że [[linijka]] i [[cyrkiel]] nie są wystarczające do przeprowadzenia dokładnego:
* podziału kąta na trzy równe części ([[trysekcja kąta]]),
* konstrukcji boku sześcianu o dwa razy większej objętości ([[podwojenie sześcianu]]),
* konstrukcji kwadratu o powierzchni takiej, jak dane koło ([[kwadratura koła]]).

W świecie naukowym popularne są listy otwartych kwestii organizowane przez znanych naukowców i organizacje. W szczególności istnieją listy otwartych problemów matematycznych, np.:
* [[problemy Hilberta]]
* {{link-interwiki|Q=Q2293126|problemy Landaua}}
* [[problemy milenijne]]
* {{link-interwiki|Q=Q2664496|problemy Smale'a}}.

Z biegiem czasu wiele problemów umieszczonych na tych listach udaje się rozwiązać i przestają one być problemami otwartymi – z hipotez zmieniają się w twierdzenia. W szczególności większość (z 23) problemów postawionych przez Hilberta w roku 1900 została już rozwiązana.

Bardziej szczegółowe są zestawienia otwartych problemów tworzone przez matematyków w określonych specjalnościach. Do najbardziej znanych należą:
* '''zeszyt Kourowski''' (Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп) – zawiera kilkaset nierozwiązanych problemów z teorii [[Grupa (matematyka)|grup]]<ref>{{cytuj książkę |autor = В.Д. Мазуров |autor2 = Е.И. Хухро |tytuł = Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп |url = http://www.pseudology.org/science/16kt.pdf |wydanie = Издание 16-е, дополненное, включающее Архив решенных задач |wydawca = Российская академия наук. Сибирское отделение. Институт математики |miejsce = Новосибирск |rok = 2006 |język = ru |data dostępu = 2015-02-23}}</ref>
* '''zeszyt Dniestrowski''' (Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей) – zawiera kilkaset nierozwiązanych problemów z teorii [[Pierścień (matematyka)|pierścieni]] i [[Moduł (matematyka)|modułów]]<ref>{{cytuj książkę |autor = Филиппов В.Т. |autor2 = Харченко В.К. |autor3 = Шестаков И.П. |tytuł = Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей |url = http://reslib.com/book/Dnestrovskaya_tetradj__Nereshennie_problemi_teorii_kolec_i_modulej |wydanie = четвертое издание |rok = 1993 |język = ru |data dostępu = 2011-04-18}}</ref>,
* '''[[Księga szkocka|Księga Szkocka]]''' – zbiór problemów postawionych przez [[Lwowska szkoła matematyczna|matematyków lwowskich]].

== [[Aksjomaty Zermela-Fraenkla|Aksjomatyczna teoria mnogości]] ==
* '''Niesprzeczność [[Aksjomaty Zermela-Fraenkla|teorii ZF]]'''. Obecnie powszechnie przyjmowany jest system aksjomatów ZF z [[Aksjomat wyboru|aksjomatem wyboru]]. Kwestia [[niesprzeczność|niesprzeczności]] tej teorii (a tym bardziej istnienia [[Struktura matematyczna|modelu]] dla niej) pozostaje nierozstrzygnięta<ref>{{cytuj książkę |autor = Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski |tytuł = Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |rok = 2005 |strony = |isbn = 83-01-14415-7}}</ref><ref>{{cytuj książkę |autor = Agnieszka Wojciechowska |tytuł = Elementy logiki i teorii mnogości |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |rok = 1979 |strony = |isbn = 83-01-00756-7}}</ref>.

== [[Algebra]] ==
* '''Odwrotna hipoteza [[Teoria Galois|teorii Galois]].''' „Dla dowolnej skończonej grupy <math>H</math> istnieją ciała <math>\mathbf{F}</math> i <math>\mathbf{G},</math> takie, że <math>\mathbf{G}</math> zawiera <math>\mathbf{F}</math> i <math>\mathrm{Gal}(\mathbf{G}/\mathbf{F})</math> jest izomorficzne z <math>H</math>”.

== [[Analiza matematyczna]] ==
* Problem wymierności '''[[Stała Eulera|stałej Eulera-Mascheroniego]]'''. [[Stała (matematyka)|Stała matematyczna]] określona wzorem:
: <math>\gamma =\lim_{n \to \infty}\left(1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\ldots+ \frac{1}{n} - \ln(n)\right)=\lim_{n \to \infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} - \ln(n)\right).</math>
: Wartość stałej wynosi około 0,57721&nbsp;56649. Występuje we wielu wzorach (na przykład: w [[Transformacja Laplace’a|transformacjach Laplace’a]] [[logarytm naturalny|logarytmu naturalnego]]). Jeśli jest [[Liczby wymierne|liczbą wymierną]] to jej mianownik musi mieć ponad 10<sup>242080</sup> cyfr.
* '''[[Hipoteza Riemanna]]:''' Wszystkie tzw. nietrywialne zera ([[Liczby zespolone|nierzeczywiste]]) [[Funkcja dzeta Riemanna|funkcji dzeta]] mają część rzeczywistą równą <math>\frac{1}{2},</math> tj. <math>\Re(s) = \frac{1}{2}</math><ref>{{cytuj pismo |nazwisko = Hardy |imię = G.H. |nazwisko2 = Littlewood |imię2 = J.E. |tytuł = The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line |czasopismo = Math. Zeits. |strony = 283–317 |wydanie = 10 |rok = 1921}}</ref>.

== [[Analiza numeryczna]] ==
* Określenie granicznego [[Asymptotyczne tempo wzrostu|poziomu błędu]] aproksymacji rzędu <math>n</math> [[Algorytm Rungego-Kutty|algorytmem Rungego-Kutty]] Rząd 1: [[Metoda Eulera]] = <math>\mathbf{O}(h),</math> rząd 2: modyfikowana metoda Eulera (zwana metodą Heuna) = <math>\mathbf{O}(h^2),</math> rząd 4: klasyczna metoda Rungego-Kutty = <math>\mathbf{O}(h^4),</math> rząd 5: [[algorytm Rungego-Kutty-Felberga]] = także <math>\mathbf{O}(h^4)</math><ref>{{cytuj stronę |url = http://www.myphysicslab.com/runge_kutta.html |tytuł = Metody Rungego-Kutty |data dostępu = 2012-09-06}}</ref>.

== [[Geometria]] ==
* (rozwinięcie '''zadanie [[Paul Erdős|Erdősa]]''') Czy można umieścić 8 punktów na płaszczyźnie, tak aby żadne 3 z nich nie leżały na jednej linii, żadne 4 nie leżały na jednym okręgu, a odległość między dwoma dowolnymi punktami była [[Liczby całkowite|liczbą całkowitą]]? Paul Erdős postawił problem dla 5 punktów i został on błyskawicznie rozwiązany. Szybko znaleziono też rozwiązanie dla 6 punktów. Rozwiązanie dla 7 punktów zostało znalezione w 2007 roku<ref>{{cytuj stronę |url = http://www.stetson.edu/~efriedma/papers/planar.ppt |tytuł = Two Dozen Unsolved Problems in Plane Geometry |autor = Erich Friedman |data = 2004-03-27 |język = en |archiwum = https://web.archive.org/web/20100613170009/http://www2.stetson.edu/~efriedma/papers/planar.ppt |zarchiwizowano = 2010-06-13 |data dostępu = 2011-04-20}}</ref><ref>{{cytuj stronę |url = http://www.wm.uni-bayreuth.de/fileadmin/Sascha/Publikationen2/rare.pdf |tytuł = There are integral heptagons, no three points on a line, no four on a circle |autor = Tobias Kreisel |autor2 = Sascha Kurz |data = 7th November 2006 |praca = Department of Mathematics, University of Bayreuth, D-95440 Bayreuth, Germany |język = en |data dostępu = 2011-04-20}}</ref>.
* ('''[[problem przesunięcia sofy]]''') Problem dotyczy znalezienia kształtu sofy o jak największym polu A, tak aby można było ją przesunąć w korytarzu o kształcie litery L szerokości 1<ref>{{Cytuj pismo |nazwisko = Moser |imię = Leo |tytuł = Moving furniture through a hallway |czasopismo = SIAM |wolumin = 8 |strony = 381 |język = en |data = 1966}}</ref>. Otrzymane pole „A” jest określane jako „stała sofy”. Dokładna wartość stałej A nie jest znana. Matematyk Joseph L. Gerver znalazł sofę dającą obecnie najwyższą znaną wartość: 2,219531669...<ref>{{Cytuj stronę |url = http://mathcad.com/library/constants/sofa.htm |tytuł = Moving Sofa Constant |opublikowany = mathcad.com |archiwum = https://web.archive.org/web/20080107101427/http://mathcad.com/library/constants/sofa.htm |zarchiwizowano = 2008-01-07}} by Steven Finch at MathSoft, zawiera diagramy sofy Gervera.</ref> John Hammersley dowiódł, że stała sofy może wynieść najwyżej <math>2\sqrt{2}\,\approx\, 2{,}8284</math><ref>{{cytuj | autor = Neal R. Wagner | tytuł = The Sofa Problem | czasopismo = The American Mathematical Monthly | data = 1976-03 | data dostępu = 2024-08-16 | wolumin = 83 | numer = 3 | s = 188–189 | doi = 10.2307/2977022| język = en | dostęp = r}}</ref><ref>{{Cytuj książkę |nazwisko = Stewart |imię = Ian |autor link = Ian Stewart (matematyk) |tytuł = Another Fine Math You’ve Got Me Into... |url = http://store.doverpublications.com/0486431819.html |wydawca = Dover Publications |miejsce = Mineola, N.Y. |data = January 2004 |isbn = 0486431819 |język = en}}</ref>.

== [[Kombinatoryka]] ==
* '''Istnienie [[Macierz Hadamarda|macierzy Hadamarda]]''' rzędu <math>4\times k.</math> Macierz Hadamarda jest macierzą kwadratową zawierającą tylko +1 i −1. Sylvester<ref>[[James Joseph Sylvester|J.J. Sylvester]], ''Thoughts on Inverse Orthogonal Matrices, Simultaneous Sign-Successions, and Tesselated Pavements in Two or More Colours, with Applications to Newton’s Rule, Ornamental Tile-Work, and the Theory of Numbers'', London Edinburgh and Dublin, Philos. Mag. and J. Sci. 34, 461-475, (1867).</ref> podał sposób budowy macierzy Hadamarda rzędu <math>2^n.</math> Najmniejszą nieznaną macierzą Hadamarda rzędu <math>4\times k</math> jest rząd 668<ref>{{cytuj | autor = Dragomir Ž. Đoković | tytuł = Hadamard matrices of order 764 exist | czasopismo = Combinatorica | data = 2008-07 | data dostępu = 2024-08-16 | wolumin = 28 | numer = 4 | s = 487–489 | doi = 10.1007/s00493-008-2384-z | język = en | dostęp = z}}</ref>.

== [[Równanie różniczkowe|Równania różniczkowe]] ==
* Nieznane jest dokładne rozwiązanie równania ([[oscylator]]a) [[van der Pol]]a<ref>{{cytuj stronę |url = http://www.scholarpedia.org/wiki/index.php?title=Van_der_Pol_oscillator&oldid=73496 |tytuł = Van der Pol oscillator |autor = Takashi Kanamaru |rok = 2007 |opublikowany = Scholarpedia |język = en |data dostępu = 2011-04-19}}</ref>:
: <math>\ddot x - \lambda (1-x^2)\dot x + \omega^2 x = 0.</math>

== [[Teoria dowodu]] ==
* Jakie jest najkrótsze niedowodliwe zdanie w [[Aksjomaty i konstrukcje liczb|arytmetyce Peana]]? Niedowodliwe zdanie to takie, którego nie da się udowodnić lub obalić w ramach teorii. Dowody [[Twierdzenia Gödla|twierdzeń Gödla]] pokazują, jak budować takie zdania, ale wyniki mają bardzo znaczne rozmiary, ponieważ są napisane w języku formalnym arytmetyki<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Kaye |imię = Richard |tytuł = Models of Peano arithmetic |rok = 1991 |wydawca = Oxford University Press |isbn = 0-19-853213-X}}</ref>.

== [[Teoria grafów]] ==
* '''[[Hipoteza Hadwigera]]:''' Każdy [[Kolorowanie grafu|''k''-chromatyczny graf]] można skurczyć do [[Graf pełny|grafu pełnego]] o <math>k</math> wierzchołkach<ref>{{cytuj | autor = B. Bollobás, P.A. Catlin, P. Erdös | tytuł = Hadwiger's Conjecture is True for Almost Every Graph | czasopismo = European Journal of Combinatorics | data = 1980-09 | data dostępu = 2024-08-16 | wolumin = 1 | numer = 3 | s = 195–199 | doi = 10.1016/S0195-6698(80)80001-1 | język = en | dostęp = o}}</ref>.

== [[Teoria liczb]] ==
=== [[Teoria liczb|Analityczna teoria liczb]] ===
* '''[[Problem dzielników Dirichleta]]:''' Wiadomo, że liczba punktów posiadających całkowite dodatnie współrzędne w obszarze ograniczonym przez hiperbolę <math>x y=N</math> i dodatnimi półosiami może być przedstawiona asymptotycznym wzorem:
**: <math>\Phi(N) = \sum_{k=1}^N \tau(k) = N \ln N + (2\gamma-1)N+O(N^\theta),</math>
: gdzie <math>\tau(k)</math> – ilość dzielników liczby <math>k,</math> <math>\gamma</math> – [[stała Eulera]].
: Nie wiadomo jednakże przy jakiej najmniejszej wartości <math>\theta</math> wzór ten pozostanie prawidłowym<ref>{{MathWorld|adres=DirichletDivisorProblem |tytuł=Dirichlet Divisor Problem. |data dostępu=2011-04-23}}</ref>.
: Dolną granicą <math>\theta</math> jest <math>\frac{1}{4}</math> (G.H. Hardy, 1916<ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Montgomery |nazwisko2 = Hugh |tytuł = Multiplicative Number Theory |wydawca = C. Vaughan |miejsce = Cambridge |rok = 2007 |rozdział = I: Classical Theory. |seria = Cambridge University Press. |isbn = 9780521849036 |język = en}}</ref>). Górną granicą jest <math>\frac{131}{416}</math> (M.N. Huxley, 2003<ref>{{cytuj | autor = M. N. Huxley | tytuł = Exponential Sums and Lattice Points III | czasopismo = Proceedings of the London Mathematical Society | data = 2003-11 | data dostępu = 2024-08-16 | wolumin = 87 | numer = 3 | s = 591–609 | doi = 10.1112/S0024611503014485 | język = en | dostęp = z}}</ref>).

=== Hipotezy o liczbach doskonałych ===
* Nie istnieje nieparzysta [[Liczby doskonałe|liczba doskonała]]<ref>{{MathWorld|autor=[[Greathouse, Charles]]; [[Weisstein, Eric W.]] |adres=OddPerfectNumber |tytuł=Odd Perfect Number. |data dostępu=2011-04-15}}</ref>. [[Liczby naturalne]], w których suma wszystkich swych [[dzielnik]]ów właściwych jest równa samej liczbie. Parzyste to na przykład: 6&nbsp;=&nbsp;3&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;1 i (3,&nbsp;2,&nbsp;1) są dzielnikami właściwymi 6 oraz 28&nbsp;=&nbsp;14&nbsp;+&nbsp;7&nbsp;+&nbsp;4&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;1 i (14,&nbsp;7&nbsp;4&nbsp;2&nbsp;1) są dzielnikami właściwymi 28.

* Istnieje nieskończenie wiele liczb doskonałych<ref>{{MathWorld|adres=PerfectNumber |tytuł=Perfect Number. |data dostępu=2011-04-15}}</ref>. W praktyce sprowadza się do znajdywania [[Liczby Mersenne’a|liczb Mersenne’a]].

=== Hipotezy dotyczące [[Liczby pierwsze|liczb pierwszych]] ===
* '''[[Hipoteza Artina]]:''' Dla każdej liczby całkowitej <math>a</math> (różnej od <math>-1</math> oraz niebędącej kwadratem innej liczby), istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, które mają <math>a</math> jako [[pierwiastek pierwotny]]<ref>{{cytuj stronę |url = http://medlibrary.org/medwiki/Artin's_conjecture_on_primitive_roots |tytuł = Artin’s conjecture on primitive roots |język = en |data dostępu = 2011-04-12}}</ref>.
* '''[[Hipoteza Brocarda]]:''' Dla każdej liczby całkowitej dodatniej <math>n</math> pomiędzy <math>p_n^2</math> i <math>p_{n+1}^2</math> (gdzie <math>p_n</math> – <math>n</math>-ta liczba pierwsza) istnieją co najmniej cztery liczby pierwsze<ref>{{MathWorld|adres=BrocardsConjecture |tytuł=Brocard’s Conjecture. |data dostępu=2011-04-25}}</ref>.
* '''[[Hipoteza Gilbreatha]]:''' Dla każdej dodatniej liczby całkowitej <math>n</math> ciąg bezwzględnych różnic między liczbami pierwszymi rzędu <math>n</math> zaczyna się od 1. Hipoteza jest sprawdzona (2011) dla wszystkich <math>n < 3\times 10^{11}</math><ref>{{MathWorld|adres=GilbreathsConjecture |tytuł=Gilbreath’s Conjecture |data dostępu=2011-04-15}}</ref><ref>{{cytuj stronę |url = https://archive.is/20120526043021/http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=GilbreathsConjecture |tytuł = Gilbreath’s conjecture |autor = Chris K. Caldwell |rok = 1992 |język = en |data dostępu = 2011-04-14}}</ref>.
* '''[[Hipoteza Goldbacha|Silna hipoteza Goldbacha]]:''' Każda [[Parzystość liczb|liczba parzysta]] większa niż 2 może być przedstawiona jako suma dwóch liczb pierwszych<ref>{{cytuj stronę |url = http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf |tytuł = Lettre XLIII |autor = Christian Goldbach |data = 1742-06-07 |język = de |cytat = Przedruk listu Goldbacha do Eulera z dnia 7 czerwca 1742, w którym po raz pierwszy formułuje on hipotezę. |data dostępu = 2011-04-12}}</ref>.
* '''[[Hipoteza Legendre]]:''' Dla dowolnego <math>n</math> pomiędzy liczbami <math>n^2</math> i <math>(n+1)^2</math> istnieje liczba pierwsza<ref>{{MathWorld|adres=LegendresConjecture |tytuł=Legendre’s Conjecture |data dostępu=2011-04-14}}</ref><ref>{{cytuj książkę |nazwisko = Ribenboim |imię = P. |tytuł = The New Book of Prime Number Records |wydanie = 3 |wydawca = Springer-Verlag |miejsce = New York |rok = 1996 |strony = 132-134 oraz 206-208 |język = en}}</ref>.
* '''[[Hipoteza Polignac'a]]''': Dla każdej parzystej liczby <math>n</math> istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych, różnica między którymi wynosi <math>n</math><ref>Alphonse de Polignac, [http://books.google.com/books?id=O6EKAAAAYAAJ Recherches nouvelles sur les nombres premiers]. ''Comptes Rendus des Séances de l’Académie des Sciences'' (1849).</ref>.

* Otwarte są pytania o nieskończone ilości liczb pierwszych w każdej z następujących sekwencji<ref>{{MathWorld|adres=IntegerSequencePrimes |tytuł=Integer Sequence Primes |data dostępu=2011-04-15}}</ref><ref name="Najwiekszepierwsze">{{cytuj stronę |url = https://archive.is/20070626173551/http://primes.utm.edu/largest.html |tytuł = The Largest Known Primes |język = en |data dostępu = 2021-06-20}}</ref>:

{| class="wikitable"
|- align="center"
! Sekwencja
! Nazwa
! Uwagi
|- align="center"
| <math>2^n-1</math>
| [[liczby Mersenne’a]]
|style="text-align:left"| Największa (51) znana (od 2018 roku) to 2<sup>82589933</sup>&nbsp;–&nbsp;1. Posiada 24 862 048 cyfr. Jest to największa aktualnie znana liczba pierwsza<ref name="Najwiekszepierwsze" />.
|- align="center"
| <math>n^2+1</math>
| czwarty [[problem Landau]]
|style="text-align:left"|
|- align="center"
| <math>n\cdot 2^n+1</math>
| [[liczby Cullena]]
|style="text-align:left"| W kwietniu 2005 Mark Rodenkirch odkrył największą znaną liczbę pierwszą Cullena dla n&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;354&nbsp;828<ref>{{MathWorld|adres=CullenNumber |tytuł=Cullen Number. |data dostępu=2011-04-16}}</ref>.
|- align="center"
| <math>2^{2^n}+1</math>
| [[liczby Fermata]]
|style="text-align:left"| Największa obecnie znana liczba pierwsza Fermata to F<sub>4</sub>&nbsp;=&nbsp;2<sup>16</sup>&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;65&nbsp;537.
|- align="center"
| <math>F_n</math>
| [[Ciąg Fibonacciego|liczby pierwsze ciągu Fibonacciego]]
|style="text-align:left"| David Broadhurst i Bouk de Water w 2001 roku udowodnili, że największą obecnie znaną liczbą pierwszą ciągu Fibonacciego jest liczba F(81&nbsp;839). Zawiera ona 17&nbsp;103 cyfr. Aktualnie (od listopada 2011), przypuszcza się (Henri Lifchitz), że największą liczbą pierwszą ciągu Fibonacciego może być F(1&nbsp;968&nbsp;721)<ref>{{cytuj stronę |url = http://www.primenumbers.net/prptop/searchform.php?form=F%28n%29&action=Search |tytuł = PRP Top Records |język = en |data dostępu = 2011-04-16}}</ref>.
|- align="center"
| pary <math>(n,\;n+2)</math>
| [[Liczby bliźniacze|liczby pierwsze bliźniacze]]
|style="text-align:left"| Największa znana (od 2009 roku) pierwsza z pary liczb bliźniaczych to 65&nbsp;516&nbsp;468&nbsp;355&nbsp;×&nbsp;2&nbsp;<sup>333&nbsp;333</sup>&nbsp;+&nbsp;1. Liczba ta zawiera 100&nbsp;355 cyfr<ref name="Najwiekszepierwsze" />.
|- align="center"
| pary <math>(n,\;2n+1)</math>
| [[liczby pierwsze Sophie Germain]]
|style="text-align:left"| Aktualnie (od marca 2010) największą znaną liczbą pierwszą Sophie Germain jest 183&nbsp;027&nbsp;×&nbsp;2<sup>265&nbsp;440</sup>&nbsp;-&nbsp;1. Liczba ta zawiera 79&nbsp;911 cyfr<ref>{{cytuj stronę |url = https://archive.is/20120730070931/http://primes.utm.edu/top20/page.php?sort=SophieGermain |tytuł = Sophie Germain |język = en |data dostępu = 2011-04-16}}</ref>.
|}

=== Hipotezy dotyczące [[Liczby zaprzyjaźnione|liczb zaprzyjaźnionych]] ===
* Nie istnieją dwie [[liczby zaprzyjaźnione]] [[Liczby względnie pierwsze|względnie pierwsze]]<ref name="Amicable Pairs">{{Cytuj | autor = Mariano García; Jan Munch Pedersen; Herman te Riele | tytuł = Amicable Pairs, a Survey  | url = https://ir.cwi.nl/pub/10756/10756D.pdf | czasopismo = Fields lustitute Con11nu11icaLiu11~ | wolumin = 41 | data = 2004 | s = 179–196 | data dostępu = 2024-08-16 | język = en| dostęp = o}}</ref>. Liczby zaprzyjaźnione to takie pary [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]], w których suma wszystkich [[dzielnik]]ów właściwych każdej z liczb pary jest równa drugiej liczbie pary. Przykładem liczb zaprzyjaźnionych posiadających wspólne podzielniki jest para (220,&nbsp;284): 220&nbsp;=142&nbsp;+&nbsp;71&nbsp;+&nbsp;4&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;1 (dzielniki właściwe 284) i 284&nbsp;=&nbsp;110&nbsp;+&nbsp;55&nbsp;+&nbsp;44&nbsp;+&nbsp;22&nbsp;+&nbsp;20&nbsp;+&nbsp;11&nbsp;+&nbsp;11&nbsp;+&nbsp;10&nbsp;+&nbsp;5&nbsp;+&nbsp;4&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;1 (dzielniki właściwe 220).
* Dowolna para [[Liczby zaprzyjaźnione|liczb zaprzyjaźnionych]] ma tę samą parzystość<ref name="Amicable Pairs" />. Przykładem pary nieparzystych liczb zaprzyjaźnionych jest (12285,&nbsp;14595).

=== [[Równanie diofantyczne]] ===
* '''[[Hipoteza Erdősa-Strausa]]'''. Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej <math>n>4</math> istnieją liczby całkowite dodatnie <math>a, b</math> oraz <math>c</math> takie, że<ref>{{MathWorld|adres=Erdos-StrausConjecture |tytuł=Erdős-Straus Conjecture |data dostępu=2011-04-23}}</ref>:<br /><math>\frac4n = \frac1a + \frac1b + \frac1c.</math><br />Przykładowo dla <math>n=9</math> rozwiązaniem jest ([[Ułamek egipski|ułamki egipskie]]) (4,&nbsp;6,&nbsp;36):<br /><math>\frac49 = \frac14 + \frac16 + \frac1{36}.</math>

=== Inne problemy ===
* Rozstrzygnięcie '''[[Problem Collatza|problemu Collatza]]''' ('''problem 3x+1''', '''problem Ulama'''). Problem o wyjątkowo prostym sformułowaniu:
: <math>c_{n+1} = \begin{cases}
 \frac{1}{2}c_n & \mbox{gdy } c_n \mbox{ jest parzysta}\\
 3c_n + 1 & \mbox{gdy } c_n \mbox{ jest nieparzysta}
\end{cases}</math>
: [[Hipoteza]] [[Lothar Collatz|Collatza]] stwierdza, że „niezależnie od jakiej liczby <math>c_0</math> wystartujemy, w końcu dojdziemy do liczby 1”. (Przykład: <math>c_0=3.</math> I dalej 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.) Wykazano prawdziwość hipotezy Collatza dla liczb <math>c_0</math> aż do <math>2^{58}</math><ref>{{MathWorld|adres=CollatzProblem |tytuł=Collatz Problem. |data dostępu=2011-04-24}}</ref>.
* Istnienie '''doskonałej [[Cegiełka Eulera|cegiełki Eulera]]''': [[Prostopadłościan]], w którym wszystkie boki, [[Przekątna|przekątne]] ścian oraz przekątna prostopadłościanu są wyrażone liczbami całkowitymi<ref>{{MathWorld|adres=EulerBrick |tytuł=Euler Brick |data dostępu=2011-04-15}}</ref>.
* '''Wartości [[Twierdzenie Ramseya|liczb Ramseya]]:''' <math>R(r,\;s)</math> jest to najmniejsza liczba <math>n,</math> taka że dla dowolnego [[Kolorowanie krawędzi|2-pokolorowania krawędziowego]] <math>n</math>-wierzchołkowego [[Graf pełny|grafu pełnego]] istnieje co najmniej jedna [[Klika (teoria grafów)|klika]] rozmiaru <math>r,</math> w której wszystkie krawędzie mają pierwszy kolor lub co najmniej jedna klika rozmiaru <math>s</math> drugiego koloru. Obecnie (2009-08-04) znane są wartości liczb Ramseya tylko dla <math>R(3,\;3...9)</math> oraz <math>R(4,\;4...5)</math><ref>{{cytuj książkę |autor = pod redakcją Marka Kubale |tytuł = Optymalizacja dyskretna, modele i metody kolorowania grafów |wydawca = WNT |rok = 2002}}</ref><ref>{{cytuj stronę |url = http://www.combinatorics.org/Surveys/ds1/sur.pdf |tytuł = Small Ramsey Numbers |autor = [[Stanisław Radziszowski|Stanisław P. Radziszowski]] |data = 1994-06-11 |opublikowany = Department of Computer Science Rochester Institute of Technology |oznaczenie = NY 14623 |język = en |archiwum = https://web.archive.org/web/20120118061712/http://www.combinatorics.org/Surveys/ds1/sur.pdf |zarchiwizowano = 2012-01-18 |data dostępu = 2011-04-12}}</ref>.

== Problemy rozwiązane niedawno ==
{| class="wikitable"
|-
|style="valign=middle;"|
* [[Hipoteza Poincarégo|Hipoteza (twierdzenie) Poincarégo]]:
** „Każda trójwymiarowa [[przestrzeń zwarta|zwarta]] i [[przestrzeń jednospójna|jednospójna]] [[rozmaitość topologiczna]] bez [[Brzeg (matematyka)|brzegu]] jest [[homeomorfizm|homeomorficzna]] ze [[sfera#Uogólnienie na inne przestrzenie|sferą trójwymiarową]]”.
** ([[Grigorij Perelman]], 2002);
!width="350px"| <gallery mode="packed">
Plik:Henri Poincare.jpg|[[Henri Poincaré]]
Plik:Perelman, Grigori (1966).jpg|[[Grigorij Perelman]]
</gallery>
|-
|style="valign=middle;"|
* [[Postulat Keplera|Postulat (twierdzenie) Keplera]]:
** „Trójwymiarowe kule w trójwymiarowej [[Przestrzeń (matematyka)|przestrzeni]] najciaśniej da się umieścić, gdy ich środki tworzą na płaszczyznach przekroju [[sześciokąt]]y”.
** ([[Thomas Callister Hales|Thomas Hales]], 1998);
!width="350px"| <gallery mode="packed">Plik:Portrait Confused With Johannes Kepler 1610.jpg|Johannes Kepler w 1610 r.</gallery>
|-
|style="valign=middle;"|
* [[Twierdzenie o czterech barwach]]:
** „Dla każdego skończonego [[graf planarny|grafu planarnego]] <math>(V, E)</math> istnieje funkcja <math>k:\,V\to\{ k_1,k_2,k_3,k_4\},</math> taka że <math>\forall_{\{v_1,v_2\}\in E}(k(v_1)\neq k(v_2)),</math> czyli możliwe jest przypisanie każdemu z jego wierzchołków jednej z czterech liczb 1, 2, 3 i 4 w taki sposób, aby żadne sąsiednie wierzchołki nie miały przyporządkowanej tej samej liczby”.<br />W praktyce twierdzenie to określa, że każdą mapę „polityczną” można pokolorować, wykorzystując 4 kolory.
** ([[Kenneth Appel|Appel]] i [[Wolfgang Haken|Haken]], 1977);
!width="350px"| <gallery mode="packed">Plik:Four Colour Map Example.svg|Przykładowe pokolorowanie mapy czterema barwami</gallery>
|-
|style="valign=middle;"|
* [[Wielkie twierdzenie Fermata]]:
** „Dla liczby naturalnej <math>n>2,</math> nie istnieją takie liczby [[liczby naturalne|naturalne]] <math>x, y, z,</math> które spełniałyby równanie <math>x^n + y^n = z^n</math>”.
** ([[Andrew Wiles]] i [[Richard Taylor (matematyk)|Richard Taylor]], 1995);
!width="350px"| <gallery mode="packed">Plik:Pierre de Fermat.jpg|Pierre de Fermat
Plik:Andrew wiles1-3.jpg|Andrew Wiles
</gallery>
|-
|
* Liczba niezamkniętych [[Zadanie o ruchach skoczka|tras skoczka szachowego]]<ref>{{cytuj książkę |autor = Е. Гик |tytuł = Шахматы и математика |url = http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-kvant/chess.htm |wydanie = |wydawca = |miejsce = Москва |rok = 1983 |strony = 176 |rozdział = 2. Конь-хамелеон |adres rozdziału = http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-kvant/chess.djvu?djvuopts&page=21 |język = ru |data dostępu = 2011-04-23}}</ref>.
** Problem został rozwiązany 10 maja 2014 przez Alexa Chernova. Liczba otwartych tras dla szachownicy 8x8: 19 591 828 170 979 904<ref>{{Cytuj stronę |url = https://oeis.org/A165134 |tytuł = A165134 – OEIS |opublikowany = oeis.org |data dostępu = 2015-11-09}}</ref>.
!width="350px"|
|}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Smale |imię = Steve |tytuł = Mathematical Problems for the Next Century |url = http://www6.cityu.edu.hk/ma/people/smale/pap104.pdfhttp://www6.cityu.edu.hk/ma/people/smale/pap104.pdf |wydanie = 2 |wydawca = City University of Hong Kong |miejsce = Department of Mathematics |data = 1998-08-07 |język = en |data dostępu = 2011-04-16}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{cytuj stronę |url = http://www.claymath.org/millennium-problems |tytuł = Millennium Problems |autor = Clay Mathematics Institute |język = en |data dostępu = 2014-09-18}}
* {{cytuj stronę |url = http://unsolvedproblems.org/ |tytuł = Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography |autor = Tim S Roberts |autor link = |data = |rok = |opublikowany = |język = en |data dostępu = 2011-04-16}}
* {{MathWorld|adres=UnsolvedProblems |tytuł=Unsolved Problems. |data dostępu=2011-04-16}}
* {{cytuj stronę |url = http://www.openproblems.net/ |tytuł = Open questions |autor = Open Problems In Mathematics And Physics |rok = 2009 |język = en |data dostępu = 2011-04-16}}
* {{cytuj |autor = Michael Waldschmidt |tytuł = Open Diophantine Problems |url = https://citeseerx.ist.psu.edu/document?repid=rep1&type=pdf&doi=8b162f3035c40034e6a49c0156d1445e23d1bad5 |czasopismo = Moscow Mathematical Journal |wolumin = 4 |numer= 1 |s= 245–305 |data = 2004 |język = en |data dostępu = 2024-08-16 }}
* {{cytuj stronę |url = http://garden.irmacs.sfu.ca |tytuł = Open Problem Garden |język = en |cytat = Zbiór otwartych problemów matematycznych tworzony przez użytkowników internetu |data dostępu = 2011-04-16}}
* {{cytuj stronę |url = http://cage.ugent.be/~hvernaev/problems/archive.html |tytuł = Unsolved Problem of the Week Archive |autor = MathPro Press |język = en |data dostępu = 2011-04-16}}
* {{cytuj stronę |url = https://archive.is/20070626173551/http://primes.utm.edu/largest.html |tytuł = The Largest Known Primes |język = en |data dostępu = 2011-04-16}}

[[Kategoria:Historia matematyki]]
[[Kategoria:Otwarte problemy matematyki| ]]