Tekst źródłowy strony Nadpromienista przemiana fazowa

'''Nadpromienista przemiania fazowa''' ([[Język angielski|ang.]] ''Superradiant phase transition'') – w [[Mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]] podobna do [[Nadprzewodnictwo|nadprzewodnictwa]] i [[ferromagnetyzm]]u [[przemiana fazowa]] w układzie składającym się z materii i [[Elektrodynamika kwantowa|kwantowego pola elektromagnetycznego]], polegająca na tym, że układ przechodzi do uporządkowanego stanu nadpromienistego, w którym w [[Stan podstawowy|stanie podstawowym]] w odróżnieniu od normalnej [[Elektrodynamiczna próżnia kwantowa|próżni elektromagnetycznej]] istnieje znaczna gęstość uwięzionych wśród materii [[foton]]ów, a atomy pozostają na stałe w stanach silnie wzbudzonych. Oryginalnie została przewidziana w tzw. modelu Dicke, w którym zakłada się, że atomy posiadają jedynie dwa poziomy energetyczne i oddziałują one z jednym modem kwantowego pola elektromagnetycznego<ref>{{cytuj pismo |autor=Hepp, Klaus |autor2=Lieb, Elliott H |tytuł=On the superradiant phase transition for Molecules in a Quantized Radiation Field: Dicke Maser Model |url=|czasopismo=Annals of Physics |doi= 10.1016/0003-4916(73)90039-0 |wolumin=76 |strony=360–404 |wydanie= |rok = 1973}}</ref><ref>{{cytuj pismo |autor=Wang, Y.K. |autor2=Hioe, F.T |tytuł=Phase Transition in the Dicke Model of Superradiance |url=|czasopismo=Physical Review A |doi= 10.1103/PhysRevA.7.831 |wolumin=7 |strony=831–836 |wydanie= |rok = 1973}}</ref>.

Przemiana ta zachodzi, kiedy siła oddziaływania atomów z polem elektromagnetycznym jest większa niż energia części nieoddziałującej układu, co podobnie jak w przypadku nadprzewodnictwa i ferromagnetyzmu prowadzi do efektywnych oddziaływań dynamicznych pomiędzy atomami typu ferromagnetycznego i spontanicznego pojawienia się uporządkowania wzbudzeń poniżej [[Temperatura krytyczna|temperatury krytycznej]]. Znaczy to, że kolektywne [[przesunięcie Lamba]] w układzie oddziałujących z fluktuacjami próżni atomów staje się porównywalne z energiami samych atomów, a fluktuacje próżni powodują spontaniczne samowzbudzenie materii. Przemiana ta może być łatwo zrozumiana, stosując [[Transformacja Holsteina-Primakoffa|transformacje Holsteina-Primakoffa]]<ref>{{cytuj pismo|autor=Baksic, Alexandre |autor2=Nataf, Pierre |autor3=Ciuti, Cristiano |tytuł=Superradiant phase transitions with three-level systems |url=|czasopismo=Physical Review A |doi=10.1103/PhysRevA.87.023813 |arxiv= 1206.3213 |wolumin=87 |strony=023813–023813–5 |rok = 2013}}</ref> do [[Kubit|atomów dwupoziomowych]]. W wyniku tej transformacji atomy stają się [[Oscylator harmoniczny|oscylatorami harmonicznymi]] o częstości równej różnicy poziomów, a cały układ układem oddziałujących oscylatorów harmonicznych atomów i pola, czyli [[Dielektryk Hopfielda|dielektrykiem Hopfielda]] przewidującym w stanie normalnym [[polaron]]y dla fotonów, czyli polarytony. Jeśli teraz oddziaływanie z polem elektromagnetycznym jest tak silne, że układ zapada się i pojawiają się [[Fonon|częstości urojone]] wtedy [[układ fizyczny]] ze stabilizującymi członami wyższych rzędów będzie podlegał podobnej do [[Ferroelektryk|ferroelektrycznej]] przemianie fazowej<ref>{{cytuj pismo|autor=Emaljanov, V.I. |autor2=Klimontovicz, Yu.L|tytuł=Appearance of Collective Polarisation as a Result of Phase Transition in an Ensemble of Two-level Atoms Interacting Through Electromagnetic Field |url=|czasopismo=Physics Letters A |doi=10.1016/0375-9601(76)90411-4 |wolumin=59 |strony=366–368 |wydanie=5 |rok = 1976}}</ref>.

W modelu tym układ matematycznie równoważny jest dla jednego [[Mod (falowód)|modu]] wzbudzeń [[Paczka trojańska|paczce trojańskiej]], kiedy to natężenie pola elektromagnetycznego spolaryzowanego kołowo odpowiada [[Jądrowa stała sprzężenia spinowo-spinowego|stałej sprzężenia]] elektromagnetycznego i powyżej jej wartości krytycznej przechodzi do ruchu niestabilnego ([[Jonizacja|jonizacji]]).

Przemiana ta była przedmiotem szerokiej dyskusji czy jest wynikiem jedynie uproszczonego modelu matematycznego oddziaływania materii z polem i czy może zachodzić dla prawdziwych parametrów fizycznych układów<ref>{{cytuj pismo|autor=Rzążewski, K.|autor2=Wódkiewicz, K.T|tytuł=Phase Transitions, Two Level Atoms, and the <math>A^2</math> Term|url=|czasopismo=Physical Review Letters |doi=10.1103/PhysRevLett.35.432 |wolumin=35 |strony=432–434 |wydanie=7 |rok = 1975}}</ref><ref>{{cytuj pismo|autor=Bialynicki-Birula, Iwo|autor2=Rzążewski, Kazimierz|tytuł=No-go theorem concerning the superradiant phase transition in atomic systems |url= |czasopismo=Physical Review A|doi=10.1103/PhysRevA.19.301 |wolumin=19|strony=301–303|bibcode = 1979PhRvA..19..301B |wydanie=1 |rok = 1979}}</ref>.

Jednak zarówno oryginalne wyprowadzenie, jak też późniejsze poprawki prowadzące do nieistnienia przemiany z powodu [[Reguła sum Thomasa-Reiche’a-Kuhna|reguły sum Thomasa-Reiche’a-Kuhna]], które dla oscylatora harmonicznego skracają wymaganą nierówność do niemożliwej ujemności stałej oddziaływania, były oparte na założeniu, że operatory pola elektromagnetycznego są [[Komutator (matematyka)|komutującymi]] liczbami oraz że atomy nie oddziałują między sobą statycznymi np. [[dipol]]owymi [[Oddziaływanie elektrostatyczne|siłami kulombowskimi]], co w ogólności nie jest prawdą, tak samo jak w przypadku twierdzenia van Leeuwen, i jedynie klasycznego nieistnienia [[diamagnetyzm]]u [[Lew Landau|Landaua]]. Powrót przemiany zachodzi, ponieważ elektrostatyczne oddziaływania dipolowe atom-atom nigdy nie są pomijalne w zakresie nadpromienistym gęstości materii, a transformacja unitarna Powera-Zienau<ref>{{cytuj pismo|autor=Bialynicka-Birula, Z.|autor2=Bialynicki-Birula, I.|autor3=Salamone, G.M|tytuł=Spatial antibunching of photons |url=|czasopismo=Physical Review A|doi=10.1103/PhysRevA.43.3696 |wolumin=43|strony=3696–3703|wydanie=7 |rok = 1991 |pmid=9905459}}</ref> eliminująca kwantowy [[potencjał wektorowy]] w Hamiltonianie najmniejszego sprzężenia przekształca Hamiltonian dokładnie do postaci użytej kiedy nadpromienistość została odkryta, lecz ściśle, a nie w przybliżeniu pomijającym kwadrat potencjału wektorowego, którego dodanie jak później twierdzono powoduje zapobieżenie przemianie. Patrząc inaczej, w ramach pełnej mechaniki kwantowej włączając pole elektromagnetyczne uogólnione twierdzenie van Leeuwen nie działa i oddziaływania elektromagnetyczne nie mogą być całkowicie wyeliminowane, podczas gdy w wyniku transformacji zmieniają się one się jedynie ze sprzężenia poprzez potencjał wektorowy <math>\mathbf{p} \cdot \mathbf{A}</math> na sprzężenie poprzez pole elektryczne <math>\mathbf{x} \cdot \mathbf{E}</math> i inne efektywne oddziaływanie elektrostatyczne. Obecnie może być obserwowana w układach modelowych, jak [[Kondensat Bosego-Einsteina|kondensaty Bosego-Einsteina]] i sztuczne atomy<ref>{{cytuj pismo|autor=Zhang, Yuanwei|autor2=Lian, Jinling|autor3=Liang, J.-Q. |autor4=Chen, Gang|autor5=Zhang, Chuanwei; Suotang, Jia |tytuł=Finite-temperature Dicke phase transition of a Bose-Einstein condensate in an optical cavity|url=|czasopismo=Physical Review A |doi=10.1103/PhysRevA.87.013616 |arxiv=1202.4125 |wolumin=87 |strony=013616–013616–6 |wydanie= |rok = 2013}}</ref><ref>{{cytuj pismo|autor=Viehmann, Oliver |autor2=von Delft, Jan |autor3=Marquard, Florian |tytuł=Superradiant Phase Transitions and the Standard Description of Circuit QED |url=|czasopismo=Physical Review Letters |doi=10.1103/PhysRevLett.107.113602 |wolumin=107 |strony=113602–113602–5|wydanie=7 |rok = 2011 |arxiv=1103.4639}}</ref>.

== Teoria ==
=== Krytyczność w zlinearyzowanym modelu Jaynesa-Cummingsa ===
Nadpromienista przemiana fazowa jest formalnie przewidziana już przez zachowanie krytyczne rezonansowego modelu Jaynesa-Cummingsa opisującego oddziaływanie nie <math>N,</math> lecz tylko jednego atomu z jednym modem pola elektromagnetycznego. Zaczynając od dokładnego Hamiltonianu w modelu Jaynesa-Cummingsa w stanie rezonansu
: <math>\hat{H}_{\text{JC}} = \hbar \omega \hat{a}^\dagger\hat{a}
+\hbar \omega \frac{\hat{\sigma}_z}{2}
+\frac{\hbar \Omega}{2} \left(\hat{a}\hat{\sigma}_+
+\hat{a}^\dagger\hat{\sigma}_-
+\hat{a}\hat{\sigma}_-
+\hat{a}^\dagger\hat{\sigma}_+\right),</math>

stosując transformacje Holsteina-Primakoffa dla dwóch poziomów spinu oraz zastępując operatory podwyższające i obniżające spinu odpowiednimi operatorami kreacji i anihilacji dla oscylatora harmonicznego
: <math>\hat{\sigma}_- \approx \hat{b},</math>
: <math>\hat{\sigma}_+\approx \hat{b}^\dagger,</math>
: <math>\hat{\sigma}_z\approx 2 \hat{b}^\dagger\hat{b},</math>

otrzymuje się Hamiltonian dwóch sprzężonych oscylatorów harmonicznych:
: <math>\hat{H}_{\text{JC}} = \hbar \omega \hat{a}^\dagger\hat{a}
+ \hbar \omega \hat{b}^\dagger\hat{b}
+ \frac{\hbar \Omega}{2} \left(\hat{a}\hat{b}^\dagger
+ \hat{a}^\dagger\hat{b}
+ \hat{a}\hat{a}
+ \hat{a}^\dagger\hat{b}^\dagger \right),</math>

który łatwo może zostać zdiagonalizowany.

Zakładając jego formę normalną
: <math>\hat{H}_{\text{JC}}=\Omega_+ \hat{A_+}^\dagger\hat{A_+}+\Omega_- \hat{A_-}^\dagger\hat{A_-}+C,</math>

gdzie:
: <math>\hat{A_\pm}=c_{\pm1} \hat{a} + c_{\pm2} \hat{a}^\dagger + c_{\pm3} \hat{b} + c_{\pm4} \hat{b}^\dagger,</math>

otrzymuje się równanie na wartości własne
: <math>[\hat{A_\pm},\hat{H}_{\text{JC}}]=\Omega_\pm A</math>

z rozwiązaniami
: <math>\Omega_\pm=\omega \sqrt{1 \pm \frac{\Omega}{\omega}}.</math>

System zapada się, kiedy jedna z częstości staje się urojona, tzn. kiedy
: <math>\Omega>\omega</math>

lub kiedy sprzężenie atom-pole jest silniejsze niż częstość oscylatorów modu pola i atomu.

Ponieważ w prawdziwym układzie fizycznym są człony wyższych rzędów, w tym regionie parametrów w układzie będzie zachodziła w zależności od temperatury przemiana fazowa.

=== Krytyczność w modelu Jaynesa-Cummingsa ===
Uproszczony Hamiltonian modelu Jaynesa-Cummingsa z pominięciem członów przeciwnie rotujących (naruszających [[Zasada zachowania energii|zasadę zachowania energii]]) jest dany przez
: <math>\hat{H}_{\text{JC}} = \hbar \omega \hat{a}^\dagger\hat{a}
+ \hbar \omega \frac{\hat{\sigma}_z}{2}
+ \frac{\hbar \Omega}{2} \left(\hat{a}\hat{\sigma}_+
+ \hat{a}^\dagger\hat{\sigma}_-\right)</math>

oraz energie dla przypadku rezonansu poziomów z modem pola są
: <math>E_\pm(n) = \hbar\omega \left(n+\frac{1}{2}\right) \pm \frac{1}{2} \hbar\Omega(n),</math>

: <math>\Omega(n) = \Omega \sqrt{n+1},</math>

gdzie <math>\Omega_n</math> jest częstością Rabiego.

Można wtedy w przybliżeniu policzyć sumę statystyczną rozkładu kanonicznego
: <math>Z = \sum_{ \pm , n} \mathrm{e}^{- \beta E_\pm(n)} \approx \sum_{ \pm} \int \mathrm{e}^{- \beta E_\pm(n)} dn=\int \mathrm{e}^{\Phi (n)} dn,</math>

gdzie dyskretna suma została zastąpiona całką.

Standardowe podejście w tym przypadku polega na tym, że ostatnia całka jest liczona poprzez przybliżenie funkcji podcałkowej funkcją Gaussa wokoło maksimum wykładnika:
: <math>\frac{\partial \Phi(n)}{\partial n}=0</math>

: <math>\Phi(n)=-\beta \hbar\omega \left(n+\frac{1}{2}\right)+\log 2 \cosh \frac{\hbar \Omega(n) \beta} {2}.</math>

Prowadzi to do równania krytycznego:
: <math>\operatorname{tgh} \frac{\hbar \Omega(n) \beta} {2}= 4 \frac{\omega}{\Omega}\sqrt{n+1}.</math>

Równanie to z własności funkcji hiperbolicznej <math>\operatorname{tgh}</math> ma rozwiązania tylko jeśli
: <math>\Omega>4 \omega,</math>

co znaczy, że faza normalna i nadpromienista istnieją jedynie, kiedy energia oddziaływania atom-pole jest znacznie większa, niż różnica poziomów energetycznych samego atomu.

Kiedy ten warunek jest spełniony, równanie to daje rozwiązanie na parametr porządku <math>n</math> w zależności od odwrotności temperatury <math>1/\beta</math> poniżej temperatury krytycznej, co znaczy istnienie uporządkowanego modu pola.

Podobne rozważania można przeprowadzić w prawdziwej granicy termodynamicznej nieskończonej liczby atomów.

=== Niestabilność klasycznego modelu elektrostatycznego ===
Lepszy wgląd w naturę nadpromienistej przemiany fazowej, jak też w znaczenie wartości parametru krytycznego, który musi być przekroczony, aby przemiana zaszła, może być uzyskany poprzez badanie stabilności klasycznej układu naładowanych oscylatorów harmonicznych w przestrzeni trójwymiarowej oddziałujących jedynie elektrostatycznymi siłami odpychającymi, np. pomiędzy elektronami lokalnie będącymi w potencjale oscylatora harmonicznego. Pomimo oryginalnego modelu nadpromienistości kwantowe pole elektromagnetyczne jest tutaj całkowicie pominięte.

Zakłada się ponadto, że oscylatory mogą być położone np. na [[Sieć krystaliczna|sieci sześciennej]] ze stałą sieci <math>a</math> w analogii do [[Układ krystalograficzny|układu krystalicznego]] materii skondensowanej. Zakłada się najgorszy scenariusz [[Defekty sieci krystalicznej|defektu]] ([[Jądro kondensacji|jądra kondensacji]] niestabilności całego układu) w postaci nieobecności dwóch elektronów z sześciu najbliższych sąsiadów wybranego elektronu spoza płaszczyzny stabilizujących ruch, podczas kiedy 4 najbliższe elektrony uważa się za nieruchome w przestrzeni i produkujące zewnętrzny potencjał anty-harmoniczny w kierunku prostopadłym do płaszczyzny wszystkich pięciu elektronów. Warunkiem [[Stabilność układu automatycznej regulacji|niestabilności ruchu]] wybranego elektronu prowadzącej do kaskady niestabilności jest aby całkowity potencjał będący złożeniem (sumą) potencjału oscylatora harmonicznego i rozwiniętego do kwadratu potencjału kulombowskiego od czterech elektronów był ujemny, tzn.
: <math>\frac{m \omega^2}{2}- \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{a^3}<0</math>

lub
: <math>\frac{e^2}{\pi \epsilon_0 m \omega^2}\frac{1}{a^3}>1.</math>

Robiąc ten warunek sztucznie kwantowym poprzez pomnożenie licznika i mianownika ułamka przez <math>\hbar,</math> otrzymuje się
: <math>\frac{2}{\pi} \frac{|D_{12}|^2}{E_{12} \epsilon_0} \left( \frac{N}{V} \right)>1,</math>

gdzie:
: <math>|D_{12}|^2 = \frac{e^2 \hbar}{2 m \omega}</math>

jest kwadratem [[Reguła sum Thomasa-Reiche’a-Kuhna|siły przejścia dipolowego]] pomiędzy stanem podstawowym i pierwszym wzbudzonym [[Kwantowy oscylator harmoniczny|kwantowego oscylatora harmonicznego]],
: <math>E_{12}=\hbar \omega</math>

jest przerwą energetyczną pomiędzy kolejnymi poziomami oraz jak można zauważyć
: <math>\frac{1}{a^3}=\frac{N}{V}</math>

jest przestrzenną gęstością oscylatorów (liczbą oscylatorów na jednostkę objętości).

Warunek ten jest prawie identyczny, jak ten uzyskany przy oryginalnym odkryciu nadpromienistej przemiany fazowej w modelu Dicke, zastępując oscylatory harmoniczne atomami dwupoziomowymi o tym samym co w oscylatorach harmonicznym odstępie pomiędzy poziomami energetycznymi, sile przejścia dipolowego i gęstości przestrzennej, co oznacza, że przemiana zachodzi, kiedy oddziaływania kulombowskie pomiędzy elektronami dominują nad lokalnie harmonicznym oscylatorowym wpływem atomów.

W tym sensie wolny [[Gaz Fermiego|gaz elektronowy]] z <math>\omega=0</math> jest czysto nadpromienisty.

Nierówność krytyczna przepisana jeszcze inaczej
: <math>\omega<\sqrt{\frac{e^2}{m \pi \epsilon_0} \frac{N}{V}}\approx\sqrt{\frac{e^2}{m \epsilon_0} \frac{N}{V}}</math>

wyraża fakt, że nadpromienista przemiana fazowa zachodzi, kiedy częstość wiążących oscylatorów elektronowych jest niższa niż tzw. [[częstość plazmowa]] gazu elektronowego.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{Cytuj stronę |url = https://www.youtube.com/watch?v=1DxI-0GJ6fw |tytuł = Dawna "Szkola Warszawska" nie zachodzenia Nadpromienistej Przemiany Fazowej poprzez analog twierdzenia van Leeuwen}} dla pola elektromagnetycznego, wykład ucznia laureata 2022 [[Medal Wignera|Medalu Wignera]] [[Iwo_Białynicki-Birula|Iwa Białynickiego-Biruli]], [[Kazimierz Rzążewski|Kazimierza Rzążewskiego]]

[[Kategoria:Zjawiska kwantowe]]