Tekst źródłowy strony Monadyczna algebra Boole’a

'''Monadyczna algebra Boole’a''' – [[algebra Boole’a]] z dodatkowym [[działanie]]m jednoargumentowym <math>\exists,</math> które spełnia pewne warunki naśladujące własności [[kwantyfikator egzystencjalny|kwantyfikatora egzystencjalnego]].

== Definicja ==
'''Monadyczna algebra Boole’a''' to [[Algebra ogólna|struktura algebraiczna]] <math>\mathbb B = (B, \lor, \land, 0, 1, ', \exists)</math> taka, że:
* <math>(B, \lor, \land, 0, 1, ')</math> jest algebrą Boole’a,
* funkcja <math>\exists\colon B \to B</math> spełnia następujące warunki dla wszystkich <math>p, q\in B{:}</math>
*# <math>\exists 0 = 0</math>
*# <math>p \leqslant \exists p</math>
*# <math>\exists(p \land \exists q) = (\exists p) \land (\exists q)</math>

Pojęcie monadycznych algebr Boole’a pierwszy wprowadził [[Paul Halmos]]. Według niego motywacją do badań tych algebr było pragnienie lepszego rozumienia pewnych aspektów [[Logika|logiki]] matematycznej.
<!-- ˙Tak pisze Halmos, "The representation of Boolean algebras": One motivation for studying monadic algebras is the desire to understand certain aspects of mathematical logic -->

== Elementy domknięte ==
Operacja <math>\exists</math> jest [[idempotentność|idempotentna]]: dla każdego <math>p \in B</math> zachodzi <math>\exists\exists p = \exists p,</math> ponieważ <math>\exists\exists p = \exists(\exists p \land \exists p) = \exists\exists p \land \exists p = \exists p.</math>

Elementy <math>p</math> spełniające <math>\exists p = p</math> (innymi słowy wartości funkcji <math>\exists</math>) nazywa się '''elementami domkniętymi'''. Zbiór elementów domkniętych jest [[Podalgebra|podalgebrą]] Boole’a algebry <math>\mathbb B.</math>

Zbiór elementów domkniętych zawiera pełną informację o funkcji <math>\exists,</math> dlatego możliwe jest jej odtworzenie na podstawie tego zbioru: niech <math>Z = \left\{ \exists q\colon q \in B\right\},</math> wtedy <math>\exists p = \min \left\{ q \in Z\colon p \leqslant q\right\}.</math>

== Przykłady ==
=== ∃''p = 1'' ===
Niech <math>\mathbb B</math> będzie algebrą Boole’a. Funkcja <math>\exists\colon B \to B</math> zdefiniowana wzorem
: <math>\exists p = 1</math> dla każdego <math>p \in B\setminus \{ 0\}</math>

umożliwia określenie monadycznej algebry Boole’a <math>(\mathbb B, \exists).</math>

=== ∃''p = p'' ===
Niech <math>\mathbb B</math> będzie algebrą Boole’a. Funkcja <math>\exists\colon B \to B</math> zdana wzorem
: <math>\exists p = p</math> dla każdego <math>p\in B</math>

tworzy wraz z <math>\mathbb B</math> monadyczną algebrę Boole’a <math>(\mathbb B, \exists).</math>

=== Funkcyjne monadyczne algebry Boole’a ===
Niech <math>C</math> będzie [[algebra Boole’a#Zupełne algebry Boole’a|zupełną algebrą Boole’a]] i niech <math>I</math> będzie dowolnym [[zbiór pusty|zbiorem niepustym]]. Rodzina <math>C^I</math> wszystkich funkcji <math>p\colon I \to C</math> z działaniami określonymi punktowo jest również zupełną algebrą Boole’a.

Dla każdego <math>p\in C^I</math> istnieje <math>p^* = \sup \left\{ p(i)\colon i \in I\right\}.</math> Niech <math>\exists p</math> oznacza funkcję stałą o wartości <math>p^*.</math> Wtedy <math>C^I</math> z powyższym działaniem <math>\exists</math> jest zupełną monadyczną algebrą Boole’a.

; Uogólnienie: Niech <math>C</math> będzie dowolną algebrą Boole’a, a <math>I</math> dowolnym zbiorem niepustym. Niech <math>B</math> będzie podzbiorem zbioru <math>C^I</math> wszystkich funkcji <math>p</math> takim, że spełnione są następujące warunki:
** <math>B</math> (z działaniami określonymi punktowo) jest algebrą Boole’a (w szczególności [[funkcja stała|funkcje stałe]] <math>0</math> i <math>1</math> należą do <math>B</math>);
** dla każdej funkcji <math>p \in B</math> istnieje [[Kresy dolny i górny|kres górny]] zbioru <math>\left\{ p(i)\colon i \in I \right\};</math>
** jeśli <math>p \in C</math> i <math>p^* = \sup \left\{ p(i)\colon i\in I \right\},</math> to również funkcja stała o wartości <math>p^*</math> należy do zbioru <math>C.</math> Funkcję tę oznacza się <math>\exists p.</math>
: Wówczas <math>(C, \exists)</math> jest monadyczną algebrą Boole’a. Takie monadyczne algebry Boole’a nazywa się '''funkcyjnymi monadycznymi algebrami Boole’a''' (określonymi na I o wartościach w zbiorze <math>C</math>). <!-- functional algebra; functional C-valued algebra with domain I -->

== Twierdzenie Halmosa o reprezentacji monadycznych algebr Boole’a ==
[[Paul Halmos]] udowodnił, że każda monadyczna algebra Boole’a jest [[izomorfizm|izomorficzna]] z funkcyjną monadyczną algebrą Boole’a.

== Bibliografia ==
* [[Paul Halmos]], ''Algebraic Logic''. Chelsea Publishing Co., New York 1962.

[[Kategoria:Logika matematyczna]]
[[Kategoria:Teoria krat]]