Tekst źródłowy strony Modular

'''Modular''' – rodzaj [[funkcjonał]]u na [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]]. Pojęcie modularu służy do zdefiniowania tzw. ''przestrzeni modularnych'', których szczególnym przypadkiem są [[przestrzeń Orlicza|przestrzenie Orlicza]].

== Definicja ==
Jeśli <math>X</math> jest rzeczywistą przestrzenią liniową, to odwzorowanie <math>\varrho\colon X\to [0,\infty]</math> nazywamy '''modularem''' (w przestrzeni <math>X</math>) gdy dla wszystkich <math>x,y\in X</math> oraz wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych <math>\alpha, \beta</math> takich, że <math>\alpha+\beta=1</math> spełnione są warunki
# <math>\varrho(x)=0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>x=0,</math>
# <math>\varrho(x)=\varrho(-x),</math>
# <math>\varrho(\alpha x+\beta y)\leqslant \varrho(x)+\varrho(y).</math>

Jeśli zamiast warunku 3 spełniony jest warunek
: 3' <math>\varrho(\alpha x+\beta y)\leqslant \alpha\varrho(x)+\beta\varrho(y),</math>

to odwzorowanie <math>\varrho</math> nazywamy '''modularem wypukłym'''.

Jeśli <math>\varrho</math> jest modularem w przestrzeni <math>X,</math> to zbiór <math>X_\varrho</math> tych elementów <math>x\in X,</math> dla których
: <math>\lim_{\lambda \to 0}\varrho(\lambda x)=0</math>

nazywamy '''przestrzenią modularną'''.

== Własności ==
* Przestrzeń modularna <math>X_\varrho</math> jest [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzenią liniową]] przestrzeni <math>X.</math>
* Jeśli <math>\varrho</math> jest modularem wypukłym w przestrzeni <math>X,</math> to odwzorowanie dane wzorem
: <math>\|x\|_\varrho=\inf\{u>0\colon\, \varrho(\tfrac{x}{u})\leqslant 1\}</math> jest [[przestrzeń unormowana|normą]] w przestrzeni <math>X_\varrho.</math>
* Jeśli <math>X</math> jest przestrzenią unormowaną, to norma jest modularem wypukłym w tej przestrzeni.

== Ciągi Cauchy’ego w przestrzeniach modularnych ==
Dla przestrzeni modularnych definiuje się pojęcie analogiczne do [[Ciąg Cauchy’ego|ciągu Cauchy’ego]] w [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]]:

* Niech <math>X_\varrho</math> będzie przestrzenią modularną. Ciąg <math>(x_k)_{k\in\mathbb{N}}</math> punktów tej przestrzeni nazywamy '''ciągiem Cauchy’ego''' (w przestrzeni modularnej <math>X_\varrho</math>), gdy dla każdej liczby <math>a>0</math> oraz każdego <math>\varepsilon>0</math> istnieje taka liczba <math>N,</math> że dla wszystkich <math>m,n>N</math>
: <math>\varrho(a(x_n-x_m))<\varepsilon.</math>
* Przestrzeń <math>X_\varrho</math> nazywamy '''<math>\varrho</math>-zupełną''', gdy dla każdego ciągu Cauchy’ego <math>(x_k)_{k\in\mathbb{N}}</math> punktów tej przestrzeni istnieje <math>x\in X_\varrho,</math> że
: <math>\lim_{k\to\infty}\varrho(a(x_k-x))=0</math>

dla każdego <math>a>0.</math>

Okazuje się, że jeśli <math>\varrho</math> jest modularem wypułym to ciąg punktów przestrzeni modularnej jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni modularnej wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni unormowanej <math>(X_\varrho, \|\cdot\|_\varrho).</math>

== Bibliografia ==
* [[Julian Musielak|Musielak, Julian]]: ''Wstęp do analizy funkcjonalnej'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1976, s. 97–99.

[[Kategoria:Analiza funkcjonalna]]