Tekst źródłowy strony Moduł (matematyka)

{{Inne znaczenia|''struktury algebraicznej''|[[wartość bezwzględna|moduł]] liczby, [[klasa elementarna|moduł]] w teorii modeli}}
{{Integruj|teoria modułów|osobny artykuł o teorii modułów wydaje się marginalny}}

'''Moduł''' – [[struktura matematyczna|struktura algebraiczna]] będąca uogólnieniem [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowej]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3942600 | tytuł = moduł | data dostępu = 2021-10-01}}</ref>. Ponieważ [[grupa przemienna|grupy abelowe]] można postrzegać jako moduły nad [[pierścień (matematyka)|pierścieniem]] [[liczby całkowite|liczb całkowitych]], to [[teoria modułów]] znajduje zastosowanie w wielu działach [[algebra|algebry]] i innych dziedzinach [[matematyka|matematyki]].

== Motywacja ==
{{zobacz też|grupa przemienna|o1=grupa abelowa|pierścień przemienny}}
[[Leopold Kronecker|Kronecker]] „modułami” nazywał [[podgrupa|podgrupy]] grup abelowych; wynikało to z następujących dwóch obserwacji, które doprowadziły ostatecznie do przyjęcia współcześnie stosowanej definicji:
* Dowolną grupę abelową <math>G</math> można przekształcić w pierścień przemienny przyjmując <math>ab = 0</math> dla wszystkich <math>a, b \in G;</math> ten [[pierścień zerowy]] (jak każdy pierścień tego rodzaju) nie ma [[pierścień z jedynką|jedynki]]. W ten sposób każda podgrupa grupy <math>G</math> jest ideałem pierścienia <math>G.</math>
* Niech <math>S</math> będzie pierścieniem przemiennym, <math>R</math> jego [[podpierścień|podpierścieniem]]. [[Zbiór pusty|Niepusty]] podzbiór <math>A</math> zbioru <math>S</math> o własnościach: (a) jeśli <math>a, b \in A,</math> to <math>a - b \in A;</math> (b) jeśli <math>a \in A</math> oraz <math>r \in R,</math> to <math>ra \in A;</math> nazywa się <math>R</math>-''modułem'' w <math>S.</math> Dowolny ideał w <math>S</math> jest <math>R</math>-modułem; w szczególności ideały <math>R</math> są dokładnie tymi podzbiorami <math>R,</math> które są <math>R</math>-modułami (zob. ''[[#Przykłady|Przykłady]]'').

O ile chodzi tylko o elementy <math>S,</math> w tak zdefiniowanym pojęciu modułu wykorzystywane jest jedynie dodawanie; mnożenie ma miejsce tylko między elementami <math>R</math> oraz <math>S.</math>

== Definicja ==
Niech <math>R</math> będzie [[pierścień z jedynką|pierścieniem z jedynką]]. '''Modułem''' ('''lewostronnym''') nad <math>R</math> nazywa się taką strukturę algebraiczną <math>(M,+,0,\mu),</math> że
* <math>(M,+,0)</math> jest [[Grupa przemienna|grupą abelową]],
* [[funkcja]] <math>\cdot\colon R \times M\ni (r, \mathsf x) \mapsto r\mathsf x\in M</math> spełnia dla wszystkich <math>r, s \in R</math> oraz <math>\mathsf x, \mathsf y \in M</math> następujące warunki:
{{wzór|<math>r(\mathsf x + \mathsf y) = r\mathsf x + r\mathsf y,</math>|1}}
{{wzór|<math>(r + s)\mathsf x = r\mathsf x + s\mathsf x,</math>|2}}
{{wzór|<math>r(s\mathsf x) = (rs)\mathsf x,</math>|3}}
{{wzór|<math>1\mathsf x = \mathsf x,</math>|4}} przy czym <math>1</math> oznacza jedynkę pierścienia <math>R.</math>

=== Działanie pierścienia na grupie ===
Jeżeli przyjąć <math>\mu_r(\mathsf x) = r\mathsf x</math> oraz rozpatrywać funkcję <math>\hat\mu\colon r \mapsto \mu_r,</math> to pierwszy [[aksjomat]] mówi w istocie, że odwzorowania <math>\mu_r</math> są [[Homomorfizm grup|homomorfizmami grupowymi]] <math>M,</math> zaś trzy pozostałe zapewniają, że <math>\hat\mu</math> jest [[homomorfizm pierścieni|homomorfizmem pierścienia]] <math>R</math> w [[pierścień endomorfizmów]] <math>\mbox{End}(M).</math> Stąd moduł może być traktowany jako działanie pierścienia na grupie abelowej (por. [[Działanie grupy na zbiorze|działanie grupy]]). W tym sensie teoria modułów uogólnia [[teoria reprezentacji|teorię reprezentacji]], która zajmuje się badaniem działań grupy na przestrzeniach liniowych lub, równoważnie, [[pierścień grupowy|pierścieniami grupowymi]].

=== Rodzaje ===
Zwykle pisze się po prostu ''lewostronny R-moduł M'' lub <math>{}_RM.</math> Prawostronny <math>R</math>-moduł <math>M</math> lub <math>M_R</math> definiuje się podobnie z tą różnicą, że pierścień działa prawostronnie, tzn. [[mnożenie przez skalar]] jest odwzorowaniem <math>M \times R \to M</math> z powyższymi aksjomatami zapisanymi ze skalarami <math>r, s \in R</math> po prawej stronie elementów <math>\mathsf x, \mathsf y \in M.</math> Tę samą strukturę można otrzymać, zapisując mnożenie przez skalar po lewej stronie, ale zastępując warunek {{LinkWzór|3}} przez
: {{wzór|<math>r(s\mathsf x) = (sr)\mathsf x</math>|3'}}

W ogólnym przypadku nie ma potrzeby tworzenia oddzielnych teorii modułów lewo- i prawostronnych – jeśli <math>M</math> jest modułem lewostronnym (prawostronnym) nad <math>R,</math> to można go utożsamiać z modułem prawostronnym (lewostronnym) nad <math>R^0,</math> gdzie symbol <math>R^0</math> oznacza [[pierścień przeciwny]] do <math>R,</math> tzn. zbiory <math>R</math> i <math>R^0</math> są równe, działania dodawania i elementy wyróżnione w obu pierścieniach pokrywają się, natomiast jeśli <math>(a, b) \mapsto ab</math> jest działaniem mnożenia dla <math>a, b \in R,</math> to <math>(a, b) \mapsto ba</math> określa mnożenie w <math>R^0.</math> W dalszej części artykułu moduły lewostronne będą nazywane krótko modułami.

Autorzy, którzy nie wymagają, aby pierścienie miały jedynkę (były ''unitarne''), pomijają czwarty aksjomat powyższej definicji, a struktury powyższego rodzaju nazywają „'''unitarnymi''' modułami lewostronnymi” (bądź ''modułami lewostronnymi z jedynką''). W tym artykule jednak przyjmuje się, że wszystkie pierścienie i moduły mają jedynkę (są unitarne).

Gdy <math>R</math> jest [[pierścień przemienny|pierścieniem przemiennym]], to warunki {{LinkWzór|3}} i {{LinkWzór|3'}} są równoważne – wówczas mówi się po prostu o module nad <math>R.</math> Moduł zarazem lewostronny i prawostronny, w którym oba mnożenia są ze sobą zgodne nazywa się '''[[bimoduł]]em'''.

== Podmoduły i homomorfizmy ==
{{zobacz też|modularność|o1=Prawo modularności}}
Niech <math>M</math> będzie lewostronnym <math>R</math>-modułem, a <math>N</math> [[podgrupa|podgrupą]] w <math>M.</math> Wtedy <math>N</math> jest '''podmodułem''' (lub dokładniej: <math>R</math>-podmodułem), jeżeli
: <math>r\mathsf n \in N</math>

dla wszystkich <math>\mathsf n \in N</math> oraz <math>r \in R.</math>

Zbiór podmodułów danego modułu <math>M,</math> wraz z dwoma [[działanie dwuargumentowe|działaniami dwuargumentowymi]]: [[Iloczyn kompleksowy|dodawaniem kompleksowym]] <math>+</math> oraz [[Część wspólna|przekrojem zbiorów]] <math>\cap,</math> jest [[Krata (matematyka)|kratą]] spełniające następujące '''prawo modularności''':
: dla danych podmodułów <math>U, N_1, N_2</math> modułu <math>M</math> takich, że <math>N_1 \subset N_2,</math> zachodzi równość podmodułów: <math>(N_1 + U) \cap N_2 = N_1 + (U \cap N_2).</math>

Niech <math>M</math> i <math>N</math> będą lewostronnymi <math>R</math>-modułami. Przekształcenie <math>f\colon M \to N</math> jest '''homomorfizmem <math>R</math>-modułów''', jeżeli dla dowolnych <math>\mathsf m, \mathsf n \in M</math> oraz <math>r, s \in R</math> zachodzi
: <math>f(r\mathsf m + s\mathsf n) = rf(\mathsf m) + sf(\mathsf n)</math>

Tak jak jakikolwiek inny [[homomorfizm]] struktury algebraicznej, przekształcenie to zachowuje strukturę obiektów. [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|Bijektywny]] homomorfizm modułów jest ich [[izomorfizm]]em, które nazywane są przy tym przekształceniu ''izomorficznymi''. Dwa izomorficzne moduły są uważane za identyczne we wszystkich zastosowaniach różniąc się jedynie sposobem zapisu elementów.

[[Jądro (algebra)|Jądro]] homomorfizmu modułów <math>f\colon M \to N</math> jest podmodułem <math>M</math> składającym się ze wszystkich elementów przekształcanych przez <math>f</math> na zero. [[Twierdzenie o izomorfizmie]] znane z [[Teoria grup|teorii grup]] i przestrzeni liniowych zachodzi również dla <math>R</math>-modułów.

Lewostronne <math>R</math>-moduły z ich homomorfizmami tworzą [[Kategoria (matematyka)|kategorię]] oznaczaną <math>R\mbox{-}\mathrm{Mod}.</math> Jest to [[kategoria abelowa]].

== Przykłady ==
; Grupa abelowa: Jeśli <math>(G, +)</math> jest [[grupa przemienna|grupą abelową]] (w zapisie addytywnym), to <math>G</math> jest modułem nad pierścieniem [[liczby całkowite|liczb całkowitych]] <math>\mathbb Z.</math> Iloczyn (lewostronny) elementu <math>g \in G</math> przez skalar <math>n \in \mathbb Z</math> zdefiniowany jest jako
: <math>ng = \underbrace{g + g + \ldots + g}_{n \text{ razy}}.</math>
: Podmoduły modułów tego rodzaju są [[podgrupa]]mi grupy <math>G.</math>

; Przestrzeń liniowa: Jeśli <math>V</math> jest [[przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]] nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] <math>K,</math> to <math>V</math> jest modułem nad <math>K</math> z odwzorowaniem strukturalnym <math>(k, \mathbf v) \mapsto k\mathbf v,</math> gdzie <math>\mathbf v \in V, k \in K.</math> Odwrotnie, każdy moduł nad ciałem <math>K</math> jest przestrzenią liniową nad <math>K.</math> Podmodułami przestrzeni liniowych są [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzenie liniowe]].

; Ideał: Jeśli <math>I</math> jest (lewostronnym) [[ideał (teoria pierścieni)|ideałem]] pierścienia <math>R,</math> to <math>I</math> jest także modułem (lewostronnym) nad <math>R</math> (gdzie mnożenie przez skalary jest mnożeniem w pierścieniu <math>R</math>).

; Moduł nad pierścieniem wielomianów: Niech <math>V</math> oznacza przestrzeń liniową nad ciałem <math>K,</math> zaś <math>\mathrm A\colon V \to V</math> będzie [[Przekształcenie liniowe|przekształceniem liniowym]]. Wtedy <math>V</math> jest modułem nad [[pierścień wielomianów|pierścieniem wielomianów]] <math>K[x]</math> z działaniem <math>\left(\sum_{k=0}^n x^k\right) \cdot \mathbf v = \left(\sum_{k=0}^n \mathrm A^k(\mathbf v)\right);</math> moduł ten oznacza się czasem symbolem <math>V_\mathrm A.</math> Podmoduły w <math>V_\mathrm A</math> to [[podprzestrzeń niezmiennicza|podprzestrzenie niezmiennicze]] względem <math>\mathrm A.</math>

; Moduł nad pierścieniem endomorfizmów: Przestrzeń liniowa <math>V</math> nad ciałem <math>K</math> jest modułem nad swoim [[pierścień endomorfizmów|pierścieniem endomorfizmów]] <math>\mathrm{End}_K(V)</math> z działaniem mnożenia danym jako ewaluacja endomorfizmu <math>\mathrm E \in \mathrm{End}_K(V)</math> na wektorze <math>\mathbf v \in V,</math> tzn. zdefiniowanym wzorem <math>\mathrm E \cdot \mathbf v = \mathrm E(\mathbf v).</math>

== Moduł półprosty ==
Sumę minimalnych nietrywialnych [[Moduł (matematyka)#Podmoduły i homomorfizmy|podmodułów]] modułu <math>M</math> nad [[pierścień (matematyka)|pierścieniem]] <math>R</math> oznacza się <math>\operatorname{Soc}(M)</math> (od ang. ''socle'', dosł. cokół), bądź krócej <math>\operatorname{S}(M).</math>

W szczególności moduł jest półprosty (całkowicie przywiedlny) wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\operatorname{Soc}(M) = M.</math> Składa się on dokładnie z tych elementów, które są [[anihilator (teoria pierścieni)|anihiliowane]] przez [[Radykał pierścienia|radykał]] <math>R.</math>

== Zobacz też ==
* [[moduł dualny]]
* [[moduł ilorazowy]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Browkin |imię = Jerzy |autor link = Jerzy Browkin |tytuł = Teoria ciał |seria = [[Biblioteka Matematyczna]] |tom = 49 |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1978 |strony = 88n}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Lang |imię = Serge |autor link = Serge Lang |tytuł = Algebra |inni = Ryszard Bittner (tłum.) |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |miejsce = Warszawa |rok = 1973 |strony = 92}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Więsław |imię = Witold |autor link = Witold Więsław |tytuł = Grupy, pierścienie, ciała |wydawca = [[Wydawnictwo Uniwersytetu Wrocławskiego]] |miejsce = Wrocław |rok = 1977 |strony = 284}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Komorowski |imię = Jacek |tytuł = Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |miejsce = Warszawa |rok = 1978 |strony = 19}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = Module | tytuł = Module }} [dostęp 2024-03-25].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Module Module]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].

{{Struktury algebraiczne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Teoria modułów]]
[[Kategoria:Przestrzenie liniowe]]