Tekst źródłowy strony Model manipulatora robotycznego

'''Model manipulatora robotycznego''' uzyskuje się na bazie jego [[Kinematyka (robotyka)|kinematyki]] oraz przy użyciu kilku dodatkowych wzorów. Wymagany on jest, aby zastosować [[algorytmy sterowania]].

Przedstawione poniżej macierze zostały wyznaczone na bazie podwójnego wahadła. Dla bardziej skomplikowanego [[manipulator]]a będą występować różnice w liczbie zmiennych.

== Macierz pseudoinercji ==
[[Macierz]] ta opisuje rozłożenie ciężaru na ramieniu robota.
:: <math>J_i=\begin{bmatrix}
\int x^2 dm & \int xy dm & \int xz dm & \int x dm \\
\int xy dm & \int y^2 dm & \int yz dm & \int y dm \\
\int xz dm & \int yz dm & \int z^2 dm & \int z dm \\
\int x dm & \int y dm & \int z dm & \int dm
\end{bmatrix}</math>

Przyjmując, że masa będzie rozłożona równomiernie wzdłuż ramion wahadła, otrzymuje się macierze <math>J_i</math> w postaci:
:: <math>J_i=\begin{bmatrix}
\frac{l_i^2 m_i}{3} & 0 & 0 & -\frac{l_im_i}{2} \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
-\frac{l_im_i}{2} & 0 & 0 & m_i
\end{bmatrix}</math>

== Macierz bezwładności M ==
Składowe tej macierzy uzyskuje się ze wzoru:
:: <math>M_{ik}=\sum_{p=max(i,k)}^nTr(\frac{\partial T_p}{\partial q_i} J_p \frac{\partial T_p^T}{\partial q_k})+I_i\delta_{ik},</math>

gdzie:
: <math>\delta_{ik}=1,</math> gdy <math>i=k,</math>
: <math>I_i</math> to element (1,1) macierzy <math>J_i,</math>
: <math>T_p</math> to kolejne macierze składowe kinematyki ([[notacja Denavita-Hartenberga]]).

== Macierz Coriolisa ==
Wyznacza się jej części składowe osobno. Najpierw <math>c_{11}</math> i <math>c_{12},</math> później <math>c_{21}</math> i <math>c_{22}</math>
:: <math>\begin{bmatrix}c_{11} & c_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q^'_1 & q^'_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c^1_{11} & c^1_{12} \\ c^1_{21} & c^1_{22} \end{bmatrix}.</math>

Poszczególne składowe przyjmą postać:
:: <math>C^i_{kr}=\sum_{s=max(k,r,i)}^nTr\left(\frac{\partial^2 T_s}{\partial q_k\partial q_r}J_s\frac{\partial T_s^T}{\partial q_i}\right).</math>

== Macierz grawitacji ==
Wymagane jest wyznaczenie [[wektor]]a g, który pokazuje kierunek działania grawitacji ziemskiej. Poszczególne składowe macierzy D zapisujemy jako:
:: <math>D_i=-\sum_{k=i}^nm_k<g,\frac{\partial T_k}{\partial q_i}R_k>,</math> przy czym:
:: <math><a,b>=a^Tb=\sum_{i=1}^na_ib_i,</math>
:: <math>R_i=\frac{1}{J_{i44}}J_{i4}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}l_i & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^T.</math>

== Sprawdzenie ==
Po uzyskaniu modelu matematycznego należy upewnić się, że policzony został on prawidłowo. Wymagane są dwa warunki:
# <math>M=M^T>0</math> macierz M musi być odwracalna, symetryczna, dodatnio określona,
# <math>M'=C+C^T</math> musi zachodzić skośna symetria.

Jeżeli obydwa warunki są spełnione, to model będzie prawidłowy (o ile nie popełniono błędu przy liczeniu macierzy grawitacji).

[[Kategoria:Robotyka]]