Tekst źródłowy strony Model MA

'''Model MA''', '''model ze średnią ruchomą''' ({{ang.|moving average model, MA model}}) – [[model parametryczny|parametryczny model]] [[szereg czasowy|szeregu czasowego]] (pewna realizacja [[Proces stochastyczny|procesu losowego]]), często stosowany w analizie [[szereg czasowy|szeregów czasowych]] z jedną zmienną. Notacja <math>MA(q)</math> odnosi się do modelu <math>MA</math> rzędu <math>q{:}</math>
:: <math>X_t = \mu + \varepsilon_t + \theta_1 \varepsilon_{t-1} + \ldots + \theta_q \varepsilon_{t-q}</math>

co można zapisać też:
:: <math>X_t = \mu + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i},</math>

gdzie:
: <math>\mu</math> – średnia [[szereg czasowy|szeregu czasowego]], czyli [[wartość oczekiwana]] <math>X_t</math> (często przyjmuje się, że równa jest zero),
: <math>\theta_1, \dots, \theta_q</math> – parametry modelu,
: <math>\varepsilon_t,\varepsilon_{t-1}, \dots</math> – wyrażenia odpowiadające błędowi [[szum biały|szumu białego]].
: <math>q</math> – rząd modelu MA.

Pojęciowo model MA jest [[Regresja liniowa|regresją liniową]] bieżącej wartości [[szereg czasowy|szeregów]] w odniesieniu do poprzednich (niezaobserwowanych) czynników błędu, związanych z [[Szum biały|białym szumem]], lub przypadkowych zaburzeń. Zakłada się, że takie przypadkowe zaburzenia w każdym z punktów, pochodzą z tego samego [[Rozkład prawdopodobieństwa|rozkładu]], zwykle [[rozkład normalny|rozkładu normalnego]] z umiejscowieniem w zerze i stałą skalą. Charakterystyczna dla tego modelu jest propagacja losowych zaburzeń do przyszłych wartości szeregów czasowych. Dopasowywanie [[estymata|estymat]] w tym modelu zachodzi w znacznie bardziej skomplikowany sposób niż w [[model AR|modelach AR]], czyli modelach [[autoregresja|autoregresyjnych]], ponieważ wyrażenia związane z błędem są [[obserwowalność|nieobserwowalne]]. Oznacza to, że muszą być stosowane nieliniowe, iteracyjne procedury dopasowania zamiast liniowych procedur [[Metoda najmniejszych kwadratów|najmniejszych kwadratów]]. Interpretacja modeli MA jest mniej oczywista niż w przypadku modeli AR.

Niekiedy funkcja [[autokorelacja|autokorelacji]] i funkcja częściowej autokorelacji sugeruje, że model MA byłby bardziej odpowiedni, a czasami zarówno wyrażenie odpowiadające modelowi AR, jak i modelowi MA powinno być użyte w tym samym modelu. Jednak wyrażenia związane z błędem po dopasowaniu modelu powinny być niezależne i powinny spełniać standardowe założenia dla procesów z jedną zmienną: losowe wykresy z ustalonego rozkładu z rozkładem posiadającym ustaloną lokalizację i z dystrybucją posiadającą stałą zmienność.

Model MA jest zasadniczo [[Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej|filtrem o skończonej odpowiedzi impulsowej]], na który nałożono pewną dodatkową interpretację. Ponadto model ten i [[model AR]] są dualne (względem siebie) – każdy proces opisany modelem AR o skończonym rzędzie można opisać modelem MA o nieskończonym rzędzie (i odwrotnie).

Inne rodzaje modeli wykorzystywanych w [[Identyfikacja systemu|identyfikacji]]:
* [[model AR]], [[model ARX]], [[model ARMAX]], model ARMA, model ARIMA,
* model MAX.

== Zobacz też ==
* [[Model parametryczny|modele parametryczne]]

[[Kategoria:Teoria sterowania]]
[[Kategoria:Cyfrowe przetwarzanie sygnałów]]