Tekst źródłowy strony Model Debye’a ciała stałego

'''Model Debye’a''' – [[model fizyczny]] [[ciało stałe|ciała stałego]] używany w [[termodynamika|termodynamice]] i [[fizyka ciała stałego|fizyce ciała stałego]], wprowadzony przez [[Peter Debye|Petera Debye’a]] w [[1912]] r., pozwalający wyznaczyć teoretycznie zależność [[ciepło właściwe|ciepła właściwego]] ciał stałych od [[temperatura|temperatury]]. Model ten zakłada, że w ciele stałym powstają fale, będące wynikiem drgań sieci krystalicznej ciała stałego (ogólnie fizyka tłumaczy powstawanie fal w ośrodkach materialnych jako wynik drgań [[Cząsteczka|cząsteczek]] tego ośrodka). Przy tym model zakłada, że istnieje minimalna długość propagujących się fal <math>\lambda_D</math> równa [[Stała sieci krystalicznej|stałej sieci krystalicznej]] (i odpowiadająca jej maksymalna [[Fala|częstości]] <math>\omega_D</math>), gdyż  fale o długościach mniejszych niż długość stałej sieci nie mogą się propagować w ciele stałym. 

Był to historycznie drugi model (pierwszym był model Einsteina), który opisuje spadek ciepła właściwego z temperaturą, oraz pierwszy, który tłumaczy charakterystykę.

Do dziś jest to jeden z najlepszych modeli ciała stałego.

== Założenia modelu ==
Model rozpatruje ciało stałe jako [[Izotropowość|izotropowy]] ośrodek sprężysty, punktowych ciał połączonych sprężynami wykonujących [[drgania swobodne]]. Oznacza to, że w ciele stałym o <math>N</math> atomach liczba drgań własnych sieci jest równa <math>3N,</math> a drgania sieci nie mogą mieć częstości większej od częstości maksymalnej<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3891197 | tytuł = Debye’a model | data dostępu = 2023-04-04 }}</ref> (częstości Debye’a), która wynika z minimalnej [[Długość fali|długości fali]] jaka może propagować się w ciele<ref>{{Cytuj książkę |autor = praca zbiorowa |tytuł = Encyklopedia Fizyki |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |miejsce = Warszawa |data = 1974 |strony = 317 |tom = I}}</ref>.

W modelu tym przyjmuje się, że drgania atomów w sieci krystalicznej można uważać za harmoniczne. Dlatego można ją przybliżyć układem [[Kwantowy oscylator harmoniczny|harmonicznych oscylatorów kwantowych]]. W modelu Debye’a rozkład liczby oscylatorów w zależności od częstości dany jest przez zależność:
:: <math>g(\omega) = \left\{\begin{matrix}
\frac{3 V}{2 \pi^2 v_0^3} \omega^2 & \omega \leqslant \omega_D \\
0 & \omega > \omega_D
\end{matrix}\right.,</math>

gdzie:
: <math>\omega_D = v_0 \left(6\pi^2\frac{N}{V} \right)^{\frac{1}{3}}</math> '''[[Częstotliwość Debye’a|częstość Debye’a]]''',
: <math>V</math> – objętość ciała,
: <math>N</math> – liczba atomów w ciele,
: <math>v_0</math> – uśredniona [[prędkość dźwięku]] w ciele stałym.

[[Plik:DebyeVSEinstein.jpg|thumb|300px|Zależność ciepła właściwego od temperatury w modelu Deby'a oraz Einsteina.]]

[[Energia wewnętrzna|Energię wewnętrzną]] ciała stałego określa wzór:
:: <math>U = \int\limits_0^{\omega_D} {g(\omega)} \frac{\hbar \omega} {e^{\frac{\hbar \omega}{k T}} -1} \;d{\omega} \,\,\, </math> (dla każdej [[polaryzacja fali|polaryzacji]]),

gdzie:
:* <math>k</math> – [[stała Boltzmanna]],
:* <math>\hbar</math> – [[stała Plancka]] podzielona przez <math>2\pi,</math>
:* <math> \frac{\hbar \omega} {e^{\frac{\hbar \omega}{k T}} -1} \,\,\, </math> - [[Prawo Plancka|rozkład Plancka]] 

a ciepło właściwe:
:: <math>c_V = \frac{1}{N} {\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right) }_{N,V},</math>

więc:
:: <math>c_V = 9 k \left(\frac{T}{T_D}\right)^3 \int\limits_0^{\frac{T_D}{T}} { \frac{x^4 e^x}{{(e^x - 1)}^2} } \;dx,</math>

gdzie: <math>T_D = \frac{\hbar \omega_D}{k}</math> '''temperatura Debye’a'''.

=== Granica wysokiej temperatury ===
Jeżeli <math>T \gg T_D</math> &nbsp;&nbsp;to:&nbsp;&nbsp; <math>c_V \approx 3k\cdot N_A=3R\quad{}</math> ([[prawo Dulonga-Petita]]),

gdzie:
: <math>R</math> – [[stała gazowa]],
: <math>N_A</math> – [[stała Avogadra]].

=== Granica niskiej temperatury ===
Jeżeli <math>T \ll T_D</math> &nbsp;&nbsp;to:&nbsp;&nbsp; <math>c_V \approx \frac{12}{5} \pi^4 R\cdot \left(\frac{T}{T_D} \right)^3</math>

czyli
:: <math>c_V \thicksim {T}^3</math> ('''prawo Debye’a)'''

== Temperatura Debye’a ==
Temperatury Debaye’a dla wybranych substancji:
{| class="wikitable" style="border: none"
| aluminum
| 426 K
! rowspan=9 style="border: none; background-color: White"|
| platyna
| 240 K
|-
| kadm
| 186 K
| krzem
| 640 K
|-
| chrom
| 610 K
| srebro
| 225 K
|-
| miedź
| 344,5 K
| cyna (biała, β)
| 195 K
|-
| złoto
| 165 K
| tytan
| 420 K
|-
| α-Żelazo
| 464 K
| wolfram
| 405 K
|-
| ołów
| 96 K
| cynk
| 300 K
|-
| α-Mangnez
| 476 K
| diament
| 2200 K
|-
| nikiel
| 440 K
| lód
| 192 K
|}

== Zobacz też ==
* [[ciepło właściwe]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Fizyka ciała stałego]]
[[Kategoria:Narzędzia fizyki]]
[[Kategoria:Termodynamika]]