Tekst źródłowy strony Model Blacka-Scholesa

'''Model Blacka-Scholesa''' – matematyczny model rynku opisujący dynamikę cen [[instrument finansowy|instrumentów finansowych]] w czasie, służący do wyceny [[Instrument pochodny|instrumentów pochodnych]]. Wyceniając opcje europejskie na rynku Blacka-Scholesa, otrzymuje się [[wzór Blacka-Scholesa]]. Praca zawierająca ten wzór została opublikowana przez Fishera Blacka i Myrona Scholesa w 1973 roku. Aksjomaty procesu cen, na których opiera się model zostały zaproponowane już w 1965 r. przez [[Paul Samuelson|Paula Samuelsona]]. Udział w tworzeniu modelu miał również [[Robert C. Merton]], dlatego model ten bywa też nazywany modelem Blacka-Scholesa-Mertona.

Model ten jest często wykorzystywany do wyceny z powodu swej prostoty. Założenia, na których się opiera są jednak mało realistyczne, przez co model w swojej klasycznej postaci niezbyt dobrze dopasowuje się do rynkowej rzeczywistości.

== Model ==
=== Klasyczny model Blacka-Scholesa ===
Klasyczny model Blacka-Scholesa to model rynku złożonego z jednego instrumentu bezryzykowego (rachunku bankowego), którego cenę w chwili <math>t</math> oznaczamy <math>B_t</math> oraz instrumentu ryzykownego ([[Akcja (finanse)|akcji]]) o cenie w chwili <math>t</math> równej <math>S_t.</math> Dokonujemy następujących założeń:
# Na rynku nie ma możliwości [[arbitraż (ekonomia)|arbitrażu]].
# Można bez ryzyka pożyczać i lokować dowolną ilość gotówki po tej samej, stałej stopie procentowej.
# Można handlować dowolną liczbą akcji, nawet niecałkowitą lub ujemną (dopuszczamy [[krótka sprzedaż|krótką sprzedaż]]).
# Nie ma [[koszt transakcyjny|kosztów transakcyjnych]].
# Spółki nie wypłacają [[Dywidenda|dywidend]].

Zakładamy ponadto, że ceny instrumentów są procesami stochastycznymi na [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega,\mathcal{F},P).</math> Proces cen akcji <math>S_t</math> spełnia następujące warunki:
* <math>S_0</math> jest stałą (znamy cenę akcji w chwili <math>0</math>),
* dla każdego <math>t\geqslant 0 \quad S_t > 0</math> (cena akcji jest w każdym momencie dodatnia),
* dla każdych <math>t,h\geqslant 0</math> zmienna <math>\frac{S_{t+h}}{S_t}</math> jest niezależna od <math>\sigma</math>-ciała <math>\mathcal{F}^S_t = \sigma(S_u\colon u \leqslant t),</math> tzn. stopa zysku z akcji w okresie od <math>t</math> do <math>t+h</math> nie zależy od zachowania się cen do momentu <math>t,</math>
* dla każdych <math>t,h\geqslant 0</math> zmienne <math>\frac{S_{t+h}}{S_t}</math> i <math>\frac{S_h}{S_0}</math> mają ten sam rozkład, tzn. [[rozkład prawdopodobieństwa|rozkład]] stopy zysku z akcji w okresie od <math>t</math> do <math>t+h</math> zależy jedynie od długości tego okresu,
* proces <math>S_t</math> ma ciągłe trajektorie.

Powyższe założenia implikują, że proces <math>S_t</math> jest rozwiązaniem [[stochastyczne równanie różniczkowe|stochastycznego równania różniczkowego]]:
:: <math>d S_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t,</math>

gdzie <math>S_0>0,</math> <math>\mu,\sigma> 0,</math> zaś <math>W_t</math> jest [[proces Wienera|procesem Wienera]].

Proces ceny rachunku bankowego, jako aktywa pozbawionego ryzyka spełnia
:: <math>d B_t = rB_t dt,</math>

gdzie <math>B_0=1,</math> zaś <math>r>0</math> jest stopą procentową (kapitalizacja ciągła).

Powyższe równania można rozwiązać, otrzymując
:: <math>B_t = e^{rt},</math>

:: <math>S_t = S_0e^{(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t}.</math>

=== Ogólny model Blacka-Scholesa ===
Klasyczny model Blacka-Scholesa można uogólnić do modelu rynku złożonego z jednego instrumentu bezryzykowego o cenie <math>B_t</math> oraz <math>d</math> instrumentów ryzykownych o cenach <math>S^i_t, i=1, \dots, d.</math>

Walor bezryzykowy jest opisany [[Proces stochastyczny|stochastycznym równaniem]]:
:: <math>d B_t = r(t) B_t dt,</math> przy czym <math>B_0 = 1.</math>

Cena <math>i</math>-tej akcji spełnia równanie:
:: <math>d S^i_t = S^i_t [\mu_i(t) dt + \sum_{j=1}^n \sigma_{ij}(t) d W^j_t],</math> <math>S^i_0 > 0, i = 1, \dots, d,</math>

gdzie <math>W_t</math> jest <math>n</math>-wymiarowym [[Proces Wienera|procesem Wienera]]: <math>W_t = (W^1_t, \dots, W^n_t).</math>

Zakładamy, proces stopy procentowej <math>r(t)</math> jest procesem deterministycznym (nielosowym), proces dryfu <math>\mu(t)</math> oraz proces dyfuzji <math>\sigma(t)</math> są progresywnie mierzalne i spełniają warunek regularności:
:: <math>\int\limits_0^T (|r(t)| + \|\mu(t)\| + \|\sigma(t)\|^2) dt < \infty.</math>

== Wycena w modelu Blacka-Scholesa ==
W klasycznym modelu Blacka-Scholesa instrumenty wycenia się, korzystając z równoważnej miary [[Martyngał (strategia)|martyngałowej]] <math>P^*,</math> o gęstości
:: <math>\frac{dP^*}{dP} = \exp \left(\frac{r-\mu}{\sigma}W_T - \frac{1}{2}\left(\frac{r-\mu}{\sigma}\right)^2T\right),</math>

w której proces cen opisuje równanie stochastyczne
:: <math>dS_t = rS_tdt + \sigma S_tdW_t.</math>

Z istnienia dokładnie jednej równoważnej miary martyngałowej wynika, że klasyczny model Blacka-Scholesa opisuje rynek pozbawiony możliwości [[arbitraż (ekonomia)|arbitrażu]] i zupełny.

Cenę wypłaty w wysokości <math>X</math> następującej w chwili <math>T</math> wyliczamy w następujący sposób:
:: <math>\Pi_0(X) = e^{-rT}\mathbb{E}_{P^*}(X),</math>

w szczególności, jeżeli wielkość wypłaty w chwili <math></math> zależy jedynie od ceny akcji <math>S_T</math> w chwili <math>T,</math> tzn. <math>X=f(S_T)</math> dla pewnej [[funkcja mierzalna|funkcji mierzalnej]] <math>f,</math> cena tej wypłaty jest równa
:: <math>\Pi_0(X) = e^{-rT}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f\left(S_0e^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma\sqrt{t}x}\right)e^{-\frac{x^2}{2}}dx.</math>

Podstawiając <math>f(x) = (x-K)^+</math> lub <math>f(x) = (K-x)^+,</math> otrzymujemy [[wzór Blacka-Scholesa|wzory Blacka-Scholesa]] na wycenę europejskich opcji kupna i sprzedaży odpowiednio.

== Równanie Blacka-Scholesa ==
W obliczeniach numerycznych często cenę instrumentu pochodnego w modelu Blacka-Scholesa wylicza się, rozwiązując pewne [[równanie różniczkowe cząstkowe]], tzw. równanie Blacka-Scholesa. Okazuje się, że cena <math>V(S_t,t)</math> na moment <math>t</math> instrumentu finansowego o wypłacie zależnej jedynie od ceny akcji w chwili <math>T</math> spełnia:
:: <math>\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}+rS\frac{\partial V}{\partial S}-rV = 0,</math> ze znanym warunkiem końcowym <math>V(S_T,T).</math>

=== Wyprowadzenie ===
Ze [[wzór Itô|wzoru Itô]] otrzymujemy
:: <math>dV(S_t,t) = \left(\mu S_t\frac{\partial V}{\partial S}(S_t,t) + \frac{\partial V}{\partial t}(S_t,t) + \frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}(S_t,t)\right)dt + \sigma S_t\frac{\partial V}{\partial S}(S_t,t)dW_t.</math>

Konstruujemy w chwili <math>t</math> portfel w sposób następujący: pozycja krótka w jednym instrumencie pochodnym, [[pozycja długa]] w <math>\frac{\partial V}{\partial S}(S_t,t).</math> Wartość tego portfela w chwili <math>s\in[t,t+\Delta t]</math> to

:: <math>\Pi_s = -V(S_s,s) + \frac{\partial V}{\partial S}(S_t,t)S_s,</math>

stąd
:: <math>d\Pi_t = -dV(S_t,t) + \frac{\partial V}{\partial S}(S_t,t)dS_t.</math>

Wstawiamy znane wyrażenia na <math>dV(S_t,t),</math> <math>dS_t,</math> otrzymując

:: <math>d\Pi_t = -\left(\frac{\partial V}{\partial t}(S_t,t) + \frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(S_t,t)\right)dt.</math>

Widzimy zatem, że proces ceny tak skonstruowanego portfela jest deterministyczny (zniknął człon zawierający <math>dW_t</math>), zatem ten portfel jest pozbawiony ryzyka. Wobec założenia braku arbitrażu stopa zysku z tego portfela musi być równa rynkowej stopie bezryzykowej. Musi być zatem spełnione
:: <math>d\Pi_t = r\Pi_tdt,</math>

co możemy przepisać jako

:: <math>-\left(\frac{\partial V}{\partial t}(S_t,t) + \frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(S_t,t)\right)dt = r\left(-V(S_t,t) + \frac{\partial V}{\partial S}(S_t,t)S_t\right)dt.</math>

Redukując z obu stron człon <math>dt,</math> przenosząc na jedną stronę i porządkując, otrzymujemy równanie Blacka-Scholesa.

== Aproksymacja za pomocą drzew dwumianowych ==
Klasyczny model Blacka-Scholesa można przybliżać za pomocą modeli dyskretnych, tzw. [[drzewo dwumianowe (ekonomia)|drzew dwumianowych]]. Ciąg modeli dwumianowych przybliżających model Blacka-Scholesa konstruuje się następująco:
# Dzielimy odcinek <math>[0,T]</math> na <math>n</math> równych części długości <math>\delta_n = \frac{T}{n}.</math>
# Na każdym odcinku czasu przyjmujemy stopę procentową <math>r_n = e^{r\delta_n} - 1.</math>
# Konstruujemy proces <math>\{S^{(n)}_k\}_{k=0,1,\dots,n}</math> w sposób następujący:
:: <math>S_0^{(n)} = s_0,</math>

:: <math>S^{(n)}_{k+1} = S^{(n)}_k U,</math> gdzie <math>\mathbb{P}(U = e^{\sigma\sqrt{\delta_n}}) = p_n = 1 - \mathbb{P}(U = e^{-\sigma\sqrt{\delta_n}}),</math> zaś <math>p_n = \frac{e^{r\delta_n} - e^{-\sigma\sqrt{\delta_n}}}{e^{\sigma\sqrt{\delta_n}} - e^{-\sigma\sqrt{\delta_n}}}.</math>

Wówczas proces <math>\{\hat{S}^{(n)}_t\}_{0\leqslant t\leqslant T}</math> otrzymany poprzez liniową interpolację procesu <math>\{S^{(n)}_k\}_{k=0,1,\dots,n}</math> zbiega słabo w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku <math>[0,T]</math> do procesu <math>S_t</math> spełniającego
:: <math>d S_t = r S_t dt + \sigma S_t dW_t,</math>
:: <math>S_0 = s_0.</math>

Oznacza to, że ceny Blacka-Scholesa wypłat zależnych jedynie od trajektorii ceny akcji, tzn. postaci <math>X = f(\{S_t\colon 0\leqslant t\leqslant T\})</math> można przybliżać za pomocą skonstruowanych jak wyżej modeli CRR.

== Kalibracja modelu ==
Jedynym nieznanym parametrem modelu jest współczynnik dyfuzji (zwany także zmiennością) <math>\sigma.</math> Do obliczenia zmienności można stosować dwie metody:
# metoda zmienności historycznej,
# metoda zmienności implikowanej.

=== Zmienność historyczna ===
Estymujemy parametr <math>\sigma</math> z historycznych cen akcji. Z danych <math>S_{t_0},\dots,S_{t_n},</math> gdzie <math>t_i = t_0 + i\tau</math> konstruujemy zmienne
:: <math>U_i = \log\frac{S_{t_i}}{S_{t_{i-1}}}.</math>

Z założenia postaci procesu <math>S_t</math> zmienne <math>U_i</math> mają rozkład <math>\mathcal{N}\left( \left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau,\sigma^2\tau\right).</math> Jako [[estymator]] zmienności możemy więc przyjąć
:: <math>\hat\sigma = \frac{1}{\sqrt\tau}\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(U_i - \bar{U_i})^2}.</math>

Problem z taką estymacją polega na tym, że należy brać duże <math>n,</math> aby zmniejszyć błąd estymacji (który maleje proporcjonalnie do <math>\sqrt{n}</math>), a jednocześnie dane nie mogą pochodzić ze zbyt długiego przedziału czasowego, gdyż badania empiryczne dowodzą, że zmienność nie jest stała w czasie.

=== Zmienność implikowana ===
Polega na wyczytaniu zmienności z notowań cen [[opcja europejska|opcji europejskich]] przy użyciu [[wzór Blacka-Scholesa|wzoru Blacka-Scholesa]] na wycenę opcji. Wzór ten uzależnia cenę opcji od jej parametrów:
:: <math>C = C(S_0,T,K,\sigma,r),</math>

gdzie:
: <math>S_0</math> – bieżąca cena akcji,
: <math>T</math> – czas do zapadalności,
: <math>K</math> – cena wykonania,
: <math>\sigma</math> – zmienność,
: <math>r</math> – stopa procentowa pozbawiona ryzyka.

Istotne jest to, że jest to funkcja rosnąca ze względu na argument <math>\sigma,</math> zatem można ją odwrócić, tzn. dla danych <math>S_0,T,K,r</math> znaleźć wielkość <math>\sigma_{imp}</math> taką, że
:: <math>C_{obs} = C(S_0,T,K,\sigma_{imp},r),</math>

gdzie <math>C_{obs}</math> jest obserwowaną (rynkową) ceną opcji. Dla danych cen rynkowych opcji <math>C_1,C_2,\dots,C_n</math> jako wartość zmienności implikowanej dla rynku można przyjąć:
* ważoną średnią zmienności implikowanej dla poszczególnych opcji,
* rozwiązanie problemu optymalizacyjnego <math>\min_\sigma\sum_{i=1}^n(C_i - C(S_0^i,T^i,K^i,\sigma,r))^2.</math>

Zaobserwowano, że zmienność implikowana nie jest stała dla wszystkich opcji, ale zależy od ceny wykonania <math>K</math> oraz czasu do zapadalności <math>T.</math> Mając to na uwadze, dla ustalonego czasu zapadalności <math>T</math> szuka się funkcji <math>K\mapsto\sigma_{imp}(K),</math> wyliczając wartość <math>\sigma_{imp}(K^i)</math> w pewnych punktach <math>K^i,</math> a następnie przeprowadzając [[interpolacja (matematyka)|interpolację]] (np. [[Metoda vanna-volga|metodą vanna-volga]]) pomiędzy nimi.

== Zobacz też ==
* [[model CEV]]
* [[współczynniki greckie]]

== Bibliografia ==
* {{Cytuj pismo |nazwisko = Black |imię = Fisher |nazwisko2 = Scholes |imię2 = Myron |tytuł = The Pricing of Options and Corporate Liabilities |czasopismo = Journal of Political Economy |wolumin = 81 (3) |strony = 637–654}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Jakubowski |imię = Jacek |tytuł = Modelowanie rynków finansowych |data = 2006 |wydawca = Script |miejsce = Warszawa |isbn = 83-89716-06-2}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Matematyka finansowa]]
[[Kategoria:Instrumenty pochodne]]