Tekst źródłowy strony Miara niezwartości

'''Miara niezwartości''' – funkcjonał mówiący o ''stopniu'' w jakim [[Przestrzeń zwarta|niezwarty]] jest dany [[zbiór ograniczony|ograniczony]] podzbiór [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]]. Pomimo iż pojęcie miary niezwartości odnosi się do struktury metrycznej danej przestrzeni, to jednak jest ono użyteczne głównie w kontekście [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]] i innych [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzeni liniowo-metrycznych]]. Po raz pierwszy funkcję tego typu rozważał [[Kazimierz Kuratowski]] w [[1930]]<ref name="kura">Kuratowski K.: ''Sur les espaces complets'', [[Fundamenta Mathematicae]] 15 (1930), 301-309 [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm15/fm15130.pdf do pobrania stąd].</ref> (tzw. '''miara niezwartości Kuratowskiego'''). Innym ważnym przykładem jest tzw. '''miara niezwartości Hausdorffa''', która to została wprowadzona w [[1957]]<ref>Gohberg I.T., Goldenštein L.S., Markus A.S.: ''An existence theorem for the equations x'=f(t,x) in Banach space'', Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Math. Astronom. Phys., 18, 7 (1970), 367-370.</ref> przy okazji badania istnienia roziązań [[równanie różniczkowe|równań różniczkowych]] w przestrzeniach Banacha. Własności tych dwóch obiektów doprowadziły do sformułowania aksjomatycznej definicji miary niezwartości.

W dzisiejszej matematyce, miary niezwartości są efektywnym narzędziem w teorii równań operatorowych w przestrzeniach Banacha, [[równanie funkcyjne|równaniach funkcyjnych]], [[równanie różniczkowe cząstkowe|równaniach różniczkowych cząstkowych]], [[teoria sterowania|teorii sterowania]], [[teoria punktu stałego|teorii punktu stałego]] i wielu innych.

== Miara niezwartości Kuratowskiego ==
Niech <math>X</math> będzie [[przestrzeń zupełna|zupełną]] przestrzenią metryczną. Funkcja dana wzorem
: <math>\alpha(B)=\inf\{\delta>0\colon\, B\subset B_1\cup \ldots \cup B_n, \mbox{diam}(B_i)\leqslant \delta,\; 1\leqslant i \leqslant n;\; n\in \mathbb{N}\}</math>
dla każdego ograniczonego zbioru <math>B\subset X,</math> nazywana jest '''miarą niezwartości Kuratowskiego'''.

Innymi słowy, miara niezwartości Kuratowskiego ograniczonego zbioru <math>B</math> to [[Kresy dolny i górny|infimum]] z liczb nieujemnych <math>\delta</math> takich, że zbiór <math>B</math> można pokryć skończoną liczbą zbiorów o [[Średnica|średnicy]] niewiększej niż <math>\delta.</math>

=== Podstawowe własności ===
Jeśli <math>B, C\subseteq X</math> są zbiorami ograniczonymi, to mają miejsce następujące zależności (w przypadku punktów 8.-12. zakładamy, że <math>X</math> jest przestrzenią Banacha):
# <math>\alpha(B)=0 \iff \mbox{cl} B</math> jest zbiorem zwartym,
# <math>\alpha(B)=\alpha(\mbox{cl}B),</math>
# <math>B\subseteq C\Rightarrow \alpha(B) \leqslant \alpha(C),</math>
# <math>\alpha(B\cup C) = \max\{ \alpha(B), \alpha(C)\},</math>
# <math>\alpha(B\cap C) \leqslant \min\{ \alpha(B), \alpha(C)\},</math>
# ''Uogólnienie [[twierdzenie Cantora|twierdzenia Cantora]] dokonane przez Kuratowskiego<ref name="kura" />'': Jeśli <math>(B_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> jest [[zstępująca rodzina zbiorów|zstępującym]] ciągiem zbiorów, tj. <math>B_{n+1}\subseteq B_n</math> dla każdego ''n'', które są niepustymi, domkniętymi i ograniczonymi podzbiorami zupełnej przestrzeni metrycznej o tej własności, że <math>\alpha(B_n)</math> → 0, to zbiór <math>B=\bigcap_{n=1}^\infty B_n</math> jest niepusty i zwarty, a przy tym <math>B_n \to B</math> w sensie [[metryka Hausdorffa|metryki Hausdorffa]],
# <math>\alpha(A) \leqslant \operatorname{diam}(A),</math> gdzie diam(''A'') oznacza [[Średnica#Średnica zbioru|średnicę]] zbioru ''A'',
# <math>\alpha(rB)=|r|\alpha(B)</math> dla każdej liczby rzeczywistej <math>r,</math>
# <math>\alpha(\mbox{conv}B)=\alpha(B),</math> gdzie <math>\mbox{conv}B</math> oznacza [[otoczka wypukła|otoczkę wypukłą]] zbioru <math>B,</math>
# <math>\alpha(B+C)\leqslant \alpha(B)+\alpha(C),</math>
# <math>\alpha(\,\bigcup\{\lambda B\colon\, 0\leqslant \lambda \leqslant h\}\,)=h\cdot\alpha(B)</math> dla każdej liczby <math>h>0,</math>
# <math>\alpha(K(x,r))=2r.</math>

== Miara niezwartości Hausdorffa ==
Podobnie, jak miarę niezwartości Kuratowskiego definiuje się miarę niezwartości Hausdorffa – zastępując warunek ''zbiór <math>B</math> można pokryć skończoną liczbą zbiorów o średnicy niewiększej niż <math>\delta</math>'' warunkiem ''zbiór <math>B</math> ma skończoną [[epsilon-sieć|''δ''-sieć]]'' (może być pokryty ''δ''-kulami). Formalnie:

Niech <math>X</math> będzie zupełną przestrzenią metryczną. Funkcja dana wzorem
: <math>\chi(B)=\inf\{\delta>0\colon\, B\subset K(x_1, \delta)\cup\ldots \cup K(x_n, \delta),\, x_1, \dots, x_n \in X;\; n\in \mathbb{N}\}</math>
dla każdego ograniczonego zbioru <math>B\subset X,</math> nazywana jest '''miarą niezwartości Hausdorffa'''.

Miara niezwartości Hausdorffa ma własności 1.-11. miary Kuratowskiego (symbol <math>\alpha</math> można zastąpić symbolem <math>\chi</math>), a miarę kuli w przestrzeni Banacha daje:
: 12'. <math>\chi(K(x,r))=r.</math>

Nazwa tej funkcji nie pochodzi bezpośrednio od nazwiska [[Felix Hausdorff|Felixa Hausdorffa]], ale od [[metryka Hausdorffa|metryki Hausdorffa]], używając której można podać równoważną definicję <math>\chi(A)</math> jako odległości zbioru
<math>A</math> do rodziny podzbiorów zwartych.

=== Związki z miarą Hausdorffa ===
Funkcje <math>\alpha</math> i <math>\chi</math> są w pewnym sensie równoważne. Mówiąc ściślej, jeśli <math>B\subseteq X</math> jest zbiorem ograniczonym, to
: <math>\chi(B)\leqslant \alpha(B) \leqslant 2\chi(B).</math>
W przypadku, gdy <math>X</math> jest [[przestrzeń Hilberta|przestrzenią Hilberta]], to można otrzymać jeszcze lepsze szacowanie:
: <math>\sqrt{2}\chi(B)\leqslant \alpha(B) \leqslant 2\chi(B).</math>

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* Józef Banaś, [[Kazimierz Goebel]]: ''Measures of noncompactness in Banach spaces'', Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences, Warszawa 1979
* [[Kazimierz Kuratowski]]: ''Topologie Vol I'', PWN. Warszawa 1958
* R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S. Potapova, A.E. Rodkina, B.N. Sadovskii, ''Measure of Noncompactness and Condensing Operators'', Birkhäuser, Basel 1992

[[Kategoria:Analiza funkcjonalna]]
[[Kategoria:Przestrzenie metryczne]]
[[Kategoria:Równania różniczkowe]]