Tekst źródłowy strony Miara Lebesgue’a

{{spis treści}}
'''Miara Lebesgue’a''' (czyt. „lebega”) – pojęcie [[teoria miary|teorii miary]] uogólniające pojęcia długości, [[pole powierzchni|pola powierzchni]] i [[objętość (matematyka)|objętości]] (np. wg [[Miara Jordana|Jordana]]). Historycznie pojęcie [[miara (matematyka)|miary]] (nazywanej dziś ''miarą Lebesgue’a'') pochodzi z pracy [[Henri Lebesgue|Henriego Lebesgue’a]]<ref>{{cytuj pismo |nazwisko = Lebesgue |imię = Henri |autor link = Henri Lebesgue |tytuł = Intégrale, longueur, aire |czasopismo = Univ. Paris |rok = 1902}} (dysertacja).</ref>, dotyczącej rozszerzenia pojęcia całki na klasy funkcji określonych także na innych zbiorach niż [[Przedział (matematyka)|przedziały domknięte]] (tzw. [[całka Lebesgue’a]]).

Miara Lebesgue’a to jedyna [[miara zupełna|zupełna]], [[miara wewnętrznie regularna|wewnętrznie regularna]] i niezmiennicza na przesunięcia (zob. [[#Własności|''Własności'']]) [[miara borelowska]] (określona na [[Przestrzeń mierzalna|σ-ciele]] zawierającym wszystkie [[zbiór otwarty|otwarte podzbiory]] przestrzeni), w której (jednostkowa) [[przedział wielowymiarowy|kostka wielowymiarowa]] ma miarę jednostkową.

Rodzina podzbiorów [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]], dla których sensowne jest określenie miary Lebesgue’a, nie może być opisana w sposób jawny. Elementy tej rodziny tworzą [[Przestrzeń mierzalna|σ-ciało]] nazywane ''σ-ciałem zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a''. Ewentualne istnienie zbiorów niemierzalnych w sensie Lebesgue’a ma podłoże [[teoria mnogości|teoriomnogościowe]]. Mówiąc wprost, zależy to od przyjętego rozszerzenia [[aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatyki Zermela-Fraenkla]] (zob. ''[[#Zbiory niemierzalne|Zbiory niemierzalne]]'').

== Motywacja ==
[[Miara (matematyka)|Miary]] stanowią uogólnienie [[Długość fizyczna|długości]], pola powierzchni i [[objętość|objętości]], a przy tym okazują się one przydatne do mierzenia bardziej abstrakcyjnych i nieregularnych zbiorów niż [[przedział (matematyka)|przedziały]] czy kule w [[przestrzeń trójwymiarowa|trójwymiarowej]] [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]]. Jednym z pierwszych problemów, które stawiała sobie teoria miary, było pytanie o to, czy istnieje miara <math>m</math> o następujących własnościach:
# <math>m</math> jest określona dla wszystkich podzbiorów [[Liczby rzeczywiste|prostej rzeczywistej]], to znaczy dziedziną <math>m</math> jest [[zbiór potęgowy]] zbioru liczb rzeczywistych,
# dowolny przedział liczb rzeczywistych <math>[a, b]</math> ma miarę <math>b - a,</math>
# miara [[translacja (matematyka)|przesunięcia]] dowolnego podzbioru o ustalony [[wektor]] (w prawo lub w lewo) jest taka sama jak miara zbioru, który jest przesuwany (innymi słowy, miara <math>m</math> jest [[miara niezmiennicza|niezmiennicza]] na przesunięcia).

Pod założeniem [[aksjomat wyboru|aksjomatu wyboru]] (bądź niektórych z jego słabszych form, na przykład [[twierdzenie o ideale pierwszym|twierdzenia o ideale pierwszym]]) nie istnieje miara <math>m</math> spełniająca te warunki 1. 2. i 3.

Przy użyciu ''miary zewnętrznej Lebesgue’a'' (tj. nieujemnej, [[funkcja addytywna zbioru|σ-podaddytywnej funkcji zbiorów]] <math>m^*,</math> określonej na [[zbiór potęgowy|zbiorze wszystkich podzbiorów]] prostej, która spełnia warunki 2. i 3.) można skonstruować (metodą pochodzącą od Carathéodory’ego) [[miara zupełna|miarę zupełną]] (tj. nieujemną funkcję σ-addytywną o tej własności, że podzbiór każdego zbioru, któremu funkcja ta przypisuje wartość 0, jest również mierzalny), określoną na pewnej rodzinie podzbiorów prostej, która również spełnia warunki 2. i 3. (nazywaną ''miarą Lebesgue’a'').

== Przegląd konstrukcji ==
; Konstrukcja przy użyciu twierdzenia Carathéodory’ego
Niech <math>d</math> będzie ustaloną dodatnią [[liczby całkowite|liczbą całkowitą]]. '''''D''-wymiarową objętością''' <math>d</math>-wymiarowego [[przedział wielowymiarowy|przedziału]]
: <math>P = [a_1, b_1]\times [a_2, b_2] \times \ldots \times [a_d, b_d]</math>

gdzie <math>b_i \geqslant a_i,</math> nazywana jest liczba
: <math>\operatorname{vol}_d(P) = (b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\cdot\ldots \cdot (b_d-a_d).</math>

Dla dowolnego zbioru <math>A \subseteq \mathbb R^d</math> można skonstruować [[miara zewnętrzna|miarę zewnętrzną]] <math>\lambda^*(A)</math> wyznaczoną przez funkcję <math>\rm{vol}_d,</math> nazywaną '''miarą zewnętrzną Lebesgue’a''':
: <math>\inf\Bigg\{\sum_{B\in \mathcal C} \operatorname{vol}_d(B)\colon \mathcal{C}</math> jest [[zbiór przeliczalny|przeliczalnym zbiorem]] przedziałów, których [[suma zbiorów|suma]] [[pokrycie zbioru|pokrywa]] <math>A\Bigg\}.</math>

O zbiorze <math>A</math> mówi się, że jest '''mierzalny w sensie Lebesgue’a''', jeżeli jest on [[miara zewnętrzna#Twierdzenie Carathéodory’ego|mierzalny w sensie Carathéodory’ego]] (spełnia ''warunek Carathéodory’ego'') względem <math>\lambda^*,</math> tzn. dla każdego zbioru <math>S\subseteq \mathbb R^d</math> zachodzi:
: <math>\lambda^*(S) = \lambda^*(S \cap A) + \lambda^*\big(S \cap (\mathbb R^d \setminus A)\big).</math>

Z [[Twierdzenie Carathéodory’ego (teoria miary)|twierdzenia Carathéodory’ego]] wynika, że <math>\lambda^*</math> obcięta do rodziny zbiorów spełniających warunek Carathéodory’ego jest [[miara zupełna|miarą zupełną]] – miara ta nazywana jest miarą Lebesgue’a w przestrzeni <math>\mathbb R^d.</math>

; Konstrukcja Lebesgue’a
W oryginalnej konstrukcji Lebesgue’a i jej wariantach wraz z niezbędnymi zmianami (a wśród nich, w nakreślonej wyżej konstrukcji Carathéodory’ego) nie korzysta się z jakiejkolwiek [[Całka|teorii całkowania]]. Operuje się jedynie na [[funkcjonał]]ach określonych na podzbiorach [[zbiór potęgowy|zbioru potęgowego]], a dopiero mając do dyspozycji miarę buduje się teorię całkowania funkcji.

; Konstrukcja reprezentacyjna
Dowód [[twierdzenie Riesza (przestrzenie Hilberta)|twierdzenia Riesza o reprezentacji]] sugeruje inne podejście. Rozpoczyna się od prostszej teorii całki (zwykle [[całka Riemanna|całki Riemanna]]), która umożliwia całkowanie szczególnie prostej klasy funkcji, [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] na [[nośnik funkcji|nośniku zwartym]]. Wychodząc od tych funkcji określa się miarę zbiorów otwartych, klasy zbiorów bogatszych niż [[prostopadłościan]]y, lecz mniejszych niż klasa [[zbiór borelowski|zbiorów borelowskich]]; następnie rozszerza się tę teorię miary do σ-ciała zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a w analogiczny sposób jak w dowodzie Lebesgue’a, lecz łatwiejszy technicznie. Dalsza konstrukcja ogólnej całki z miary przebiega identycznie jak w poprzedniej konstrukcji.

; Konstrukcja Younga-Daniella
{{Zobacz też|całka Daniella-Stone’a}}
Trzecie podejście, zapoczątkowane przez [[William Henry Young|Williama H. Younga]] i wznowione przez [[Percy Daniell|Percy’ego Daniella]], polega na konstrukcji teorii całki Lebesgue’a bez uciekania się do ogólnej teorii miary, mianowicie przez operowanie funkcjonałami określonymi dla odpowiednich rodzin funkcji ([[Funkcja półciągła|funkcji półciągłych]]), a następnie uzyskanie konstrukcji miary niejako przy okazji konstrukcji całki.

== Własności ==
Z definicji miary:
* jeżeli <math>A</math> jest mierzalny, to mierzalne jest też jego [[dopełnienie zbioru|dopełnienie]];
* <math>\lambda(A) \geqslant 0</math> dla każdego zbioru mierzalnego <math>A;</math>
* jeżeli <math>A</math> jest [[suma zbiorów|sumą]] [[zbiór przeliczalny|przeliczalnie wielu]] rozłącznych podzbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, to <math>A</math> też jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i <math>\lambda(A)</math> jest równa sumie (skończonej bądź [[szereg (matematyka)|nieskończonej]]) miar tych zbiorów mierzalnych;
* jeżeli <math>A</math> oraz <math>B</math> są zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue’a, przy czym <math>A</math> jest podzbiorem <math>B,</math> to <math>\lambda(A) \leqslant \lambda(B)</math> (konsekwencja trzech powyższych);
* przeliczalne sumy oraz [[Część wspólna|przekroje]] zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a są mierzalne w sensie Lebesgue’a; nie wynika to z powyższych własności, gdyż rodzina zamknięta ze względu na dopełnienia i przeliczalne sumy ''rozłączne'' nie musi być zamknięta ze względu na przeliczalne sumy: <math>\big\{\varnothing, \{1,2,3,4\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3\}, \{2,4\}\big\}.</math>

Z konstrukcji:
* jeżeli <math>A</math> jest [[iloczyn kartezjański|iloczynem kartezjańskim]] [[przedział (matematyka)|przedziałów]] <math>I_1 \times I_2 \times \ldots \times I_d</math> (innymi słowy: jest [[przedział wielowymiarowy|przedziałem wielowymiarowym]]), to <math>A</math> jest mierzalny w sensie Lebesgue’a oraz <math>\lambda(A) = |I_1| \cdot |I_2| \dots |I_n|,</math> gdzie <math>|I|</math> oznacza długość przedziału <math>I;</math>
* każdy [[zbiór borelowski]] (a więc w szczególności [[zbiór otwarty]] lub [[zbiór domknięty]]) w przestrzeni euklidesowej jest mierzalny w sensie Lebesgue’a;
* miara Lebesgue’a jest [[miara lokalnie skończona|lokalnie skończona]] i [[miara wewnętrznie regularna|wewnętrznie regularna]], jest więc [[miara Radona|miarą Radona]];
* każdy podzbiór zbioru miary zero Lebesgue’a jest mierzalny (a więc również miary zero). Innymi słowy, miara Lebesgue’a jest [[miara zupełna|miarą zupełną]].
* jeżeli <math>A</math> jest zbiorem mierzalnym oraz <math>\delta>0</math> i <math>x_0</math> jest dowolnym punktem, to zbiory <math>\delta A = \{\delta x\colon x\in A\}</math> i <math>A + x_0 = \{a + x_0\colon a \in A\}</math> są również mierzalne oraz są miary, odpowiednio, <math>\delta^d \lambda(A)</math> i <math>\lambda(A).</math> Ogólniej, jeśli <math>T\colon \mathbb R^d \to \mathbb R^d</math> jest [[przekształcenie liniowe|przekształceniem liniowym]], to obraz <math>T(A)</math> jest mierzalny oraz jest miary <math>|\det T| \lambda(A).</math>
* każdy [[zbiór analityczny|analityczny]] i [[zbiór analityczny|koanalityczny]] podzbiór przestrzeni euklidesowej jest mierzalny w sensie Lebesgue’a.
* miara Lebesgue’a w przestrzeni <math>\mathbb R^d</math> jest [[miara σ-skończona|σ-skończona]] bo, na przykład,
: <math>\mathbb R^d = \bigcup_{n=1}^\infty~[-n, n]^d.</math>

Dla dowolnego zbioru <math>A \subset \mathbb R</math> prawdziwe są zdania:
* dla [[zbiór miary zero|prawie wszystkich]] <math>x \in A</math>
*: <math>\lim_{k \to 0^+} \frac{\lambda^*\big(A \cap (x, x + k)\big)}{k} = \lim_{k \to 0^+} \frac{\lambda^*\big(A \cap (x-k, x)\big)}{k} = 1;</math>
* jeżeli <math>A</math> jest mierzalny, to dla prawie wszystkich <math>x \notin A</math>
*: <math>\lim_{k \to 0^+} \frac{\lambda^*\big(A \cap (x, x+k)\big)}{k} = \lim_{k \to 0^+} \frac{\lambda^*\big(A \cap (x-k, x)\big)}{k} = 0.</math>

Są to jednowymiarowe wersje [[Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości|twierdzenia Lebesgue’a o punktach gęstości]].

== Zbiory niemierzalne ==
Pod założeniem [[aksjomat wyboru|aksjomatu wyboru]] istnieją niemierzalne podzbiory prostej. [[Giuseppe Vitali]] udowodnił w 1905 roku<ref>{{cytuj pismo |nazwisko = Vitali |imię = Giuseppe |autor link = Giuseppe Vitali |tytuł = Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta |czasopismo = Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani |rok = 1905}}</ref>, że pod założeniem aksjomatu wyboru istnieje niemierzalny (w sensie Lebesgue’a) podzbiór prostej (tzw. [[zbiór Vitalego]]). Innym „przykładem” zbioru niemierzalnego jest [[zbiór Bernsteina]]<ref>[[Felix Bernstein]], ''[http://www.reference-global.com/doi/abs/10.1515/crll.1907.132.270 Zur Theorie der trigonometrischen Reihen]'', Sitzungsber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Natur. Kl. 60 (1908), s. 325–338.</ref>. Prawdziwe jest również zdanie ogólniejsze: każdy mierzalny podzbiór przestrzeni euklidesowej miary dodatniej zawiera podzbiór niemierzalny. Istnienie i natura zbiorów niemierzalnych są częstym przedmiotem badań w [[opisowa teoria mnogości|opisowej teorii mnogości]]. Następujące dwa twierdzenia są przykładami pytań rozważanych w tym kontekście:

; Twierdzenie ([[Wacław Sierpiński|Sierpiński]], [[1920]])
: Istnieją takie podzbiory <math>X</math> i <math>Y</math> zbioru liczb rzeczywistych, że zbiór
:: <math>X + Y = \{x + y\colon\, x \in X, y \in Y\}</math>
: jest niemierzalny.

; Twierdzenie ([[Jacek Cichoń|Cichoń]]-[[Michał Morayne|Morayne]]-Rałowski-[[Czesław Ryll-Nardzewski|Ryll-Nardzewski]]-Żeberski, [[2001]])
: Istnieje taki podzbiór <math>T</math> [[zbiór Cantora|zbioru Cantora]] <math>C</math> zawartego w [[przedział jednostkowy|przedziale]] <math>[0,1],</math> że zbiór <math>T + C</math> jest niemierzalny.

[[Stefan Banach]] rozważał problem możliwości rozszerzenia miary Lebesgue’a do rodziny wszystkich podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych bądź znalezienia miary, która zachowa pewne własności miary Lebesgue’a i będzie określona dla każdego podzbioru prostej. W szczególności Banach zadał następujące pytanie{{fakt|data=2011-06}}:
: Czy istnieje przeliczalnie addytywna miara mierząca wszystkie podzbiory <math>\mathbb R</math> znikająca na punktach, tzn. taka, że miara zbioru jednoelementowego jest 0?

W [[1929]] wraz z [[Kazimierz Kuratowski|Kazimierzem Kuratowskim]] wykazał on, że przy założeniu [[hipoteza continuum|hipotezy continuum]] taka miara nie istnieje<ref>[[Stefan Banach]], [[Kazimierz Kuratowski]]: ''[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/or/or1/or1122.pdf Sur une généralisation du probleme de la mesure]''. „[[Fundamenta Mathematicae]]” 14 (1929), s. 127–131.</ref>. Z drugiej strony, [[Stanisław Ulam]] udowodnił na gruncie teorii ZF z aksjomatem wyboru, że jeżeli istnieje [[liczba mierzalna|liczba rzeczywiście mierzalna]], to istnieje również przedłużenie miary Lebesgue’a do miary określonej na rodzinie wszystkich podzbiorów prostej<ref name=Ulam>{{cytuj pismo |nazwisko = Ulam |imię = Stanisław |autor link = Stanisław Ulam |tytuł = Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre |url = http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm16/fm16114.pdf |czasopismo = [[Fundamenta Mathematicae]] |numer = 16 |wydanie = |strony = 140–150 |rok = 1930}}</ref>. Rozszerzenie to nie jest niezmiennicze na przesunięcia (tzn. nie spełnia warunku 3.)

[[Robert M. Solovay]]<ref>[[Robert M. Solovay]]: ''Real-valued measurable cardinals''. „Axiomatic set theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967)”, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1971, s. 397–428.</ref> udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna, to pewne [[pojęcie forsingu]] <math>\mathbb P</math> [[forsing|forsuje]] pozytywną odpowiedź na pytanie Banacha (tzn. istnienie odpowiedniej miary). Ponadto wykazał on, że jeżeli teoria mnogości ZF jest [[niesprzeczność|niesprzeczna]], to ma ona [[struktura matematyczna|model]], w którym wszystkie podzbiory prostej są ''mierzalne w sensie Lebesgue’a''<ref name=Solovay>[[Robert M. Solovay|Solovay, Robert M.]] ''[https://www.jstor.org/stable/1970696 A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable]''. „Annals of Mathematics” 92 (1970) s. 1–56.</ref>.

Bez aksjomatu wyboru nie można udowodnić istnienia zbiorów niemierzalnych i przy pewnych alternatywnych założeniach wszystkie podzbiory prostej mogą być mierzalne. W [[1962]] polscy matematycy [[Jan Mycielski (matematyk)|Jan Mycielski]] i [[Hugo Steinhaus]]<ref>[[Jan Mycielski (matematyk)|Jan Mycielski]], [[Hugo Steinhaus]]: ''A mathematical axiom contradicting the axiom of choice''. „Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys.” 10 (1962), s. 1–3.</ref> zaproponowali badania [[Aksjomat determinacji|aksjomatu determinacji]] (AD). Jan Mycielski i Stanisław Świerczkowski<ref>[[Jan Mycielski (matematyk)|Jan Mycielski]], Stanisław Świerczkowski: ''[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm54/fm5417.pdf On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness]''. „[[Fundamenta Mathematicae]]”. 54 (1964), s. 67–71.</ref> wykazali, że przy założeniu AD wszystkie zbiory są mierzalne w sensie Lebesgue’a.

Jeśli istnieje [[liczba nieosiągalna]], to istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie [[zbiór rzutowy|rzutowe podzbiory]] prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’a<ref name=Solovay />. [[Saharon Szelach]]<ref>[[Saharon Szelach]]: ''Can you take Solovay’s inaccessible away?'' „Israel J. Math.” 48 (1984), s. 1–47.</ref> wykazał, że założenie istnienia liczby nieosiągalnej jest konieczne: mierzalność wszystkich zbiorów klasy <math>\Sigma^1_3</math> implikuje, że <math>\omega_1</math> jest liczbą nieosiągalną w [[Uniwersum konstruowalne|uniwersum zbiorów konstruowalnych]] ([[Kurt Gödel|Kurta Gödla]]).

== Związki z innymi miarami ==
; Miara Jordana
{{osobny artykuł|miara Jordana}}
Początkowo w definicji miary wymagano, aby miara zbioru będącego [[suma zbiorów|sumą]] [[zbiór skończony|skończenie wielu]] [[zbiory rozłączne|zbiorów rozłącznych]] była sumą ich miar, zgodnie z [[Intuicja|intuicją]] przedstawioną we [[#Wprowadzenie|Wprowadzeniu]] (miara Jordana nie jest miarą). Skonstruowanie tego rodzaju miary jest stosunkowo łatwe zarówno dla podzbiorów prostej, jak i podzbiorów płaszczyzny: tę właśnie miarę, nazywaną ''miarą Jordana'', wprowadza się niekiedy w [[Geometria|geometrii]] elementarnej nauczanej w szkołach.

Mimo iż miara Jordana umożliwia zdefiniowanie [[całka Riemanna|całki Riemanna]], która jest adekwatna do większości zastosowań, to w wielu ważnych wypadkach okazuje się niewystarczająca. Wśród nich można wymienić teorię [[szereg Fouriera|szeregów Fouriera]] – trudności napotkane w tej dziedzinie wymusiły przyjęcie współcześnie stosowanej definicji miary zaproponowanej właśnie przez Lebesgue’a. Z określenia miary Lebesgue’a wynika natychmiast, że zbiory mierzalne w sensie Jordana są mierzalne również w sensie Lebesgue’a. Wynikanie nie zachodzi jednak w drugą stronę: przykładem może być zbiór [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] z przedziału <math>[0, 1],</math> który nie jest mierzalny w sensie Jordana, lecz jest mierzalny w sensie Lebesgue’a (jego miara jest równa zeru; zob. [[funkcja Dirichleta]]).

; Miara borelowska
{{osobny artykuł|miara borelowska}}
Miara borelowska pokrywa się z miarą Lebesgue’a na zbiorach, na których jest określona. Wynika to z faktu, iż σ-ciało <math>\mathfrak L</math> zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a definiuje się jako σ-ciało <math>\mathfrak B</math> [[zbiór borelowski|zbiorów borelowskich]] generowane przez rodzinę [[zbiór otwarty|zbiorów otwartych]] ([[zbiór domknięty|domkniętych]]) za pomocą [[dopełnienie zbioru|dopełnień]] i przeliczalnych [[suma zbiorów|sum]] względem rozpatrywanej przestrzeni ([[przestrzeń topologiczna|topologicznej]]) oraz tworzących σ-[[ideał (teoria mnogości)|ideał]] <math>\mathfrak N</math> ''zbiorów miary zero'', tzn. zbiorów takich, które mogą być pokryte przedziałami o dowolnie małej łącznej objętości.

<!--Formalnie σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue definiuje się jako -->
Pokazać można, że σ-ciało podzbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math> pokrywa się z rodziną
: <math>\mathfrak L := \big\{B \triangle N\colon B \in \mathfrak B \land N \in \mathfrak N \big\},</math>

gdzie <math>\triangle</math> oznacza operację [[różnica symetryczna zbiorów|różnicy symetrycznej]]. Można powiedzieć, że jest to [[rodzina zbiorów]] ''zaniedbywalnie mało'' różniących się od zbiorów borelowskich; dowodzi się również, że zbiory mierzalne w sensie Lebesgue’a z punktu widzenia miary są ''niemal'' [[zbiór otwarty|otwarte]], jak i ''niemal'' [[zbiór domknięty|domknięte]].

Dowodzi się, że <math>\mathfrak L</math> jest najmniejszym (w sensie [[podzbiór|zawierania]]) σ-ciałem zawierającym <math>\mathfrak B</math> oraz <math>\mathfrak N.</math> Ponadto
: <math>\mathfrak L = \big\{G \triangle L\colon L \in \mathfrak L \land G</math> jest [[Zbiór typu G-delta|zbiorem typu G<sub>δ</sub>]]<math>\big\} = \big\{F \triangle L\colon L \in \mathfrak L \land F</math> jest [[Zbiór typu F-sigma|zbiorem typu F<sub>σ</sub>]]<math>\big\}.</math>

Istnieje dużo więcej zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a niż zbiorów mierzalnych borelowsko. Klasa <math>\mathfrak B</math> jest znacznie węższa od klasy <math>\mathfrak L,</math> gdyż przestrzeń <math>\mathbb R^d</math> zawiera zbiory miary zero [[moc zbioru|mocy]] [[Continuum (teoria mnogości)|continuum]], zaś [[zbiór potęgowy|rodzina wszystkich podzbiorów takiego zbioru]] jest mocy wyższej niż continuum. Ponieważ <math>\mathfrak B</math> jest mocy continuum, to przestrzeń ta zawiera podzbiory nieborelowskie miary zero (podobnie można argumentować, że istnieją zbiory miary zero, które nie są [[zbiór analityczny|analityczne]] czy też koanalityczne).

Miara borelowska jest [[miara niezmiennicza|niezmiennicza ze względu na przesunięcia]], ale nie jest [[miara zupełna|zupełna]].

; Miara Haara
{{osobny artykuł|miara Haara}}
Miarę Haara można zdefiniować na [[przestrzeń lokalnie zwarta|lokalnie zwartej]] [[grupa topologiczna|grupie topologicznej]]; jest ona uogólnieniem miary Lebesgue’a (w szczególności <math>\mathbb R^d</math> z dodawaniem jest grupą lokalnie zwartą).

; Miara Hausdorffa
{{osobny artykuł|miara Hausdorffa}}
Miara Hausdorffa jest uogólnieniem miary Lebesgue’a pomocnym w mierzeniu podzbiorów <math>\mathbb R^d</math> wymiarów niższych niż <math>d,</math> jak [[podrozmaitość|podrozmaitości]], np. [[powierzchnia|powierzchnie]], czy [[krzywa|krzywe]] w <math>\mathbb R^3,</math> czy [[fraktal]]e. Nie należy mylić miary Hausdorffa z odrębnym pojęciem [[wymiar Hausdorffa|wymiaru Hausdorffa]].

== Przypadek nieskończenie wymiarowy ==
Gdy <math>X</math> jest nieskończenie wymiarową [[przestrzeń unormowana|przestrzenią unormowaną]], to skonstruowanie na niej miary o analogicznych własnościach do miary Lebesgue’a okazuje się niemożliwe. Dokładniej: nie istnieje taka [[miara trywialna|nietrywialna miara]] <math>\mu</math> określona na pewnej [[przestrzeń mierzalna|σ-algebrze]] podzbiorów <math>X</math> (zawierającej [[zbiór otwarty|zbiory otwarte]]), która byłaby:
* [[miara niezmiennicza|niezmiennicza]] ze względu na [[translacja (matematyka)|przesunięcia]], tj. dla każdego punktu <math>x \in X</math> i [[Przestrzeń mierzalna|zbioru mierzalnego]] <math>A</math> zachodziłoby
:: <math>\mu(A) = \mu(x + A),</math>
* [[miara lokalnie skończona|lokalnie skończona]], czyli każdy punkt przestrzeni <math>X</math> miałby [[Otoczenie i sąsiedztwo|otoczenie]] skończonej miary,
* [[miara ściśle dodatnia|ściśle dodatnia]], tzn. każdy niepusty zbiór otwarty miałby dodatnią miarę<ref>{{cytuj pismo |nazwisko = Hunt |imię = Brian R. |nazwisko2 = Sauer |imię2 = Tim |nazwisko3 = Yorke |imię3 = James A. |tytuł = Prevalence: a translation-invariant „almost every” on infinite-dimensional spaces |czasopismo = [[Bulletin of the American Mathematical Society]] |wolumin = 27 |rok = 1992 |numer = 2 |strony = 217–238 |doi = 10.1090/S0273-0979-1992-00328-2}}</ref>.

W pewnym sensie nieistnienie tego typu ''porządnych'' obiektów w przypadku nieskończeniewymiarowym oddaje głębokie różnice w geometrii przestrzeni skończonego i nieskończonego wymiaru. Na przestrzeniach tych można jednak rozpatrywać inne naturalne miary, na przykład [[miara Gaussa|miary gaussowskie]].

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Miary (teoria miary)|Lebesgue’a]]