Tekst źródłowy strony Miara σ-skończona

'''Miara skończona''' – [[miara (matematyka)|miara]] przypisująca skończoną wartość [[przestrzeń mierzalna|przestrzeni mierzalnej]], na której jest określona.

'''Miara σ-skończona''' ('''półskończona''') – miara, dla której przestrzeń może być przedstawiona w postaci [[suma zbiorów|sumy]] [[zbiór przeliczalny|przeliczalnie wielu]] zbiorów miary skończonej. Każda miara skończona jest σ-skończona. Pojęcie σ-skończoności uogólnia się ''[[mutatis mutandis]]'' na dowolne [[funkcja addytywna zbioru|funkcje zbiorów]].

Miary, które nie są σ-skończone uznawane są w praktyce matematycznej za miary w pewnym sensie ''patologiczne''. Większość zasadniczych twierdzeń [[teoria miary|teorii miary]] (przykładowo [[twierdzenie Fubiniego]] czy [[Twierdzenie Radona-Nikodýma|twierdzenie Radona-Nikodyma]]) wymaga założenia σ-skończoności miary.

== Przykłady ==
* [[Miara Lebesgue’a]] w przestrzeni <math>\mathbb R^n</math> nie jest skończona, ale jest σ-skończona, gdyż
: <math>\mathbb R^n = \bigcup_{k=1}^\infty~\underbrace{[-k,k] \times \ldots \times [-k,k]}_{n\;\mathrm{razy}}.</math>
* [[Miara licząca]] jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy jest określona na zbiorze skończonym oraz σ-skończona wtedy i tylko wtedy, gdy jest określona na zbiorze przeliczalnym.

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Halmos |imię = Paul |autor link = Paul Halmos |tytuł = Measure Theory |wydawca = D. Van Nostrand Company, Inc. |rok = 1950 |strony = 56}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Łojasiewicz |imię = Stanisław |autor link = Stanisław Łojasiewicz |tytuł = Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych |rok = 1973 |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |strony = 140}}

[[Kategoria:Miary (teoria miary)|Półskończona]]